海文高数赵达夫强化班讲义

1、高等数学强化讲义函数极限 连续1 函数一 函数的基本概念 是一个非空实数集合，设有一个对应规则，使每一个 x D ，都有一个确定的实 数与之对应， 则称这个对应规则为定义在上的一个函数关系， 或称变量是变量的 函数，记作 y f (x), x D .二 函数的基本性态1 奇偶性(1) 定义：偶 f( x) f(x)；奇 f( x) f (x)。(2) 导函数：奇导偶，偶导奇 .(3) 原函数：奇原偶 , 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数 , 其中x偶, f (x)奇f (t)dt 偶奇,ff(xx)偶奇2 有界性(1) 定义： M 0 , x X ，有 f (x) M .(2)无界： M 0

2、, x X ，有 f (x) M .(3) 无界与无穷： 无界的本质是有一个子列趋向于无穷； 无穷的本质是任意的子列趋向无穷。(4) 常见有界的判定：设 f (x)在 a,b 连续, 则 f (x)在 a,b 有界.设 f(x)在(a,b)连续, 且lim f ( x), lim f(x)存在, 则 f(x)在(a,b)有界.x a x b3 周期性(1) 定义： f (x T) f(x)(2) 导函数：导函数还是周期函数并且周期相同 注：周期函数的原函数不一定为周期函数。4 单调性(1) 定义：递增 (递减) 当 x1 x2时，均有 f(x1) f (x2) 或f(x1) f (x2)(2)

3、 导函数：f(x) ( )0f(x)单增(减)；f (x) ( )0f (x)单增(减).题型一 无界与无穷的判定例1 设 f(x) xecosx sin x,则f ( x)是( )A) 偶函数B)有界函数C) 周期函数D)单调函数 .例 2 当 x 0 时，变量 2 sin 是( x2 xA) 无穷小C)有界的，但不是无穷小量B) 无穷大(D)无界的，但不是无穷大题型二 函数性态的判定例 3 设 f (x)是一个奇的连续函数，则下面必定是奇函数的是A) f (t) f( t) dtB) f(t) f( t) dtC) f (x)D)根据上面条件无法判断例 4 设函数 f(x) 具有二阶导数，

4、并满足 f (x) f ( x),且 f (x) f (x 1). 若f (1) 0, 则()(A) f ( 5) f ( 5) f( 5). (B) f (5) f ( 5) f ( 5).(C) f ( 5) f( 5) f ( 5). (D) f ( 5) f ( 5) f ( 5).练习：设 f(x)在( , )内可导，且对任意 x1,x2，当 x1 x2时，都有f(x1) f (x2 )，则( )(A) 对任意 x, f (x) 0(B)对任意 x, f( x) 0(C)函数 f( x)单调增加(D)函数 f ( x)单调增加 .例5 设函数 f (x) | x | sin( x 2

5、)2 在下列哪个区间内有界 ( )x(x 1)(x 2)2A (-1,0) B (0,1) C (1,2) D (2,3) 三各种其他的函数1 分段函数：函数关系要用两个或多于两个的数学式子来表达2 复合函数 (x)： y f(u)与u (x)复合而成的复合函数 ,为中间变量 .3 反函数、隐函数(1) 原来的函数为 y f (x) ,若把作为自变量，作为因变量，便得一个函数 x (y)，且 f (y) y，称 x (y)为y f (x)的反函数.(2) 隐函数 : F(x, y) 0.4 初等函数(1) 基本初等函数：常数，幂，指数，对数，三角，反三角 .(2) 由基本初等函数经过有限的四则

6、运算和复合所构成的函数，称为初等函数 题型三 分段函数的复合 方法：各种情形分别讨论 .2例6 设f(x) 0, x 0, g(x) 2 x , x 1， 试求 fg(x),gf(x).1, x 0 | x| 2, x 12 极限一 极限的概念1 数列极限： lim xn a 对于 0 N 0 当 n N 时有 xna .n2 函数的极限(1) x x0( 自变量趋向于有限值的情形 )(a) lim f(x) A x x0, f (x) A0，0，当 0 |x x0 | 时，有| f (x) A| .(b) lim f (x) A1(左极限) x x0 , f(x) A1.x x0lim f(

7、x) A2(右极限) x x0 , f (x) A2.x x0(c) lim f (x) A xlimx f (x) xlimx f(x) A.(2) x( 自变量趋向于无穷大的情形 )(a) lim f(x) A x , f(x) A 0， M 0，当|x| M 时， x有| f (x) A| .(b) lim f (x) A1 x, f (x) A1.f (x) A2 x, f(x) A2.(c) lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A. x x x(3) 常见有不同极限的函数：分段函数、 ex,arctan x二 极限的性质1 有界性： lim xn a xn

8、 有界；lim f(x) a 0,0 |x x0| ,f (x)有界x x02 有理运算性质：(1) 若lximx f(x) A, xlimx g(x) B, 则 (a) lim f(x) g(x) A Bx x0x x0x x0(b) lximx f(x)g(x) AB (c) lim f(x) A(B 0) .x x0 x x0 g(x) B(2) 推广：加减法只要其中的一个极限存在， 乘除法只要其中一个极限存在且不 为 0 ，上述运算法则就成立 .(3) 延伸：若 lim f(x) A，则x x0 g(x)(a) lim g(x) 0 lim f (x) 0; (b) lim f (x)

9、 0,A 0 lim g(x) 0.x x0 x x0 x x0 x x0例 设 lim x a2x b 3 ，求和 .x 设f(x)、g(x)都是x x0时的无穷小量 , 若且lim f x l，0 x x0 g x(a) l 0 ，称 f x 是比 g x 高阶的无穷小，记以 f x o g x ,(b) l 0 ，称 f x 与 g x 是同阶无穷小。(c) l 1 ，称 f x 与 g x 是等阶无穷小，记以 f x g x . sin x2 13 保号性： lim f (x) ( )00, 当 0 |x x0 | , 有 f (x) ( )0x x0三 极限的两个存在准则(1) 单调

10、有界定理 : 若数列 xn 单调且有界 , 则 xn 有极限 .(2) 夹逼准则 : 设在的领域内恒有 (x) f (x) (x), 且lim (x) lim (x) A, 则 lim f(x) A.x x0x x0x x0四 无穷小和无穷大1 无穷大量 : 若 lximx f (x), f (x) 称为 x x0 的无穷大量 .x x0正无穷： lim f (x) ； 负无穷： lim f(x) .x x0x x02 无穷小量： 若 lximx f(x) 0, 称 f (x) 是 x x0 时的无穷小量。(2) 若 f (x), g(x)为无穷小,且lim f x k c 0,称 f(x)是

11、g(x)的阶无穷小 . x x0 g x k(3) 无穷小的性质：无穷小乘以有界为无穷小 ;有限个无穷小的和 ( 乘积) 仍然为无穷小 .(4) 等价无穷小的作用 : 若 , , 则 lim lim .(5) 如何得到加减的等价无穷小：泰勒定理 .3 无穷小和无穷大关系 : 非零无穷小的倒数为无穷大 ; 无穷大的倒数为无穷小 .题型一：极限概念、性质和存在准则的讨论 核心点：相关定理、定理的反问题、定理减少条件后的情形存在但不一定为 0 不一定存在 则下面断言正确的是 ( )例 1 设对 x, 有 (x) f (x) g(x)且lim g(x) (x) 0, 则lim f (x)( ) xxA

12、 存在且为 0BC 一定不存在D例2 设数列xn与yn满足lnim xnyn 0,A 若 xn 发散，则 yn 必发散，若 xn 无界，则 yn 必有界C 若xn有界， 则yn 必为无穷小1若 1 为无穷小，则 yn 必为无穷小 xn例3 设an, bn, cn均为非负数列 ,且 lim an 0, lim bn 1 ， lim cn, 则 ( )n n nA an bn, nbn cn, nC lim ancn 不存在 nlim bncn 不存在 n例 4 设函数 f (x) 在 , 内单调有界 , xn 为数列 , 下面命题正确的是 ( )A 若xn收敛，则f(xn) 必收敛 B 若xn单

13、调，则f(xn) 必收敛C 若f(xn)收敛， 则xn收敛 D 若 f(xn) 单调， 则xn收敛题型二 求函数的极限步骤 1：四则运算和等价无穷小注 1 ：四则运算特别要注意左右极限不同的情形 注 2 ：常见的等价无穷小arctan x x ，1 cosx 当 x 0 时， sin x x ， tanx x ， arcsin x x ， 1x2，ex 1 x，lim1 x x， 1 x a 1ax当 x时, anxn an 1xn 1a0 anxn .例5 求极限lxim0| sinx x|ex11 ex1例 6 若x 0时, 1 ax2 4 1与xsin x是等价无穷小，则 a 例 7li

14、m xln(1 x)x 0 1 cosx例8 求I lim (2x 1)4(x 1)6 105x(x8 x) x (x 2)1011例9 求I lim x2(ex ex 2 cosx例 14lim 3(-1)x 0 x3 3)例 10 求 limx0sinx x eex31x1(2) 有理化变形ababab3 a2 3 b2 3 ab21例 11 求 lim x 2 (arctan arctan xx例12 设lim ln(1 fx(x)sin5x) 1, 求lim f(x)x 02x 1 x 0步骤 2：恒等变形 (1) . 含u(x)v(x)的极限.(a) 若直接计算 lim u(x)v(

15、x)且u(x) 1, 直接利用公式lim u(x)v(x) exp(u(x) 1)v(x)(b) 将u(x)v(x)写成u(x)v(x) exp(v(x)ln u(x)求解.1例13 求lim arcsin x 1 cosx.x 0 3例 15 I lim 3 x2 ( 3 x 8 3 x 1) x(3) 分子、分母同时除以最大的无穷大常见的无穷比较 : x，lnx x ( 0) x ( 0) ax (a 1)例 16求 lim 4x2 x 1 x 1 xx2 cosxnx例 17 设 f (x)lim sin2x 2enx cosx , 求lim f(x).x x enxx 0nx xe步骤

16、 3：洛必达法则和导数定义(1) 先进行步骤 1 和 2，然后再用第 3步, 符合洛必达法则用洛比达法则 ;(2) 若洛必达法则无法使用 , 则利用导数定义求解 , 此类问题一般为抽象型问 题.x2x2cost2dt例18 求lxim0 si0n10 x56例 19 设函数 f x 例 21 设 f(x) 0且可微, 求极限 lim f (x xy)y 0 f (x) 步骤 3： 泰勒定理 含： sin x,cos x,(1 x) ,ln(1 x),ex 可直接利用 Peano形式的泰勒定理 .0 cosx sin t 2 dt,g x x x ，则当 x 0 时， f x56是 g x 的(

17、) 无穷小量的比较 A)低阶无穷小( B)高阶无穷小( C)等价无穷小( D)同阶但不等价的无穷小例 20Ilim (1 x)x ex 0 x例 22求lxim0(题型三 求数列的极限 方法 1：将换成 , 直接利用求函数极限的方法求解例23 lim tann(2).n 4 nn3 n 2(1 cos 12 )例 24 求 lim nnn2 1 n方法 2：单调有界必有极限 , 应用在递推数列求极限 例25 设0 x1 3, 且xn 1 xn(3 xn), 证明xn极限存在并且此极限 方法 3：夹逼准则 .例 26 求 lim n a1n a2napn ，其中 p 0,ai 0.题型四 求数列

18、连加和的极限 方法 1：直接合并例 27 求 limnn123 n223nn32nn方法 2：夹逼准则一般情况下只放分母不放分子 , 且必须使左右两边的放缩项极限相同 .例 28 求 limn12n6 n n6 2n2n62nn方法 3：定积分定义 . 若函数 f (x)在区间0,1 上可积, 则lim 1 fn n i 1i1(i ) f (x)dx, lim 1 f n 0 n n i 1 nf x dx1例 29 求 lim 1n n 11111n 2 n nsin n n 1 n2例 30 lim nsin n sin n11 n2n练习： lim n (1 1)(1 2) (1 n)

19、 n n n n题型五 已知极限求未知参数1 若是 x 的多项式型问题，考虑多项式的最高次数 .2 若是 0型, 根据分子或分母极限为 0 得到一个参数再求解其他参数 . 0例 31 设 lim x5 3x4 2 c x l , 求 .例32 确定a,b,c值，使 lim ax sin3xC C 0 .ln 1 t3dtbt3 连续一 连续与间断1 连续的概念(1) 若 xlimx f x f x0 ，则称 f x 在点处连续(2) 若 lim f x f x0 ，则称函数 f x 在点处左连续；如果 lim f x f x0 ， x x0x x0则称函数 f x 在点处右连续 . 如果函数

20、y f x 在点处连续，则 f x 在处既是 左连续，又是右连续 .2 间断点的分类：非连续点 lim f x f x0x x0(1) 第一类间断点 : lim f (x) 与 lim f (x) 都存在的间断点：x x0x x0若 lim f (x) lim f(x) ，则称为跳跃型间断点 .x x0x x0若 lim f (x)= lim f (x) ，则称为可去间断点 .x x0x x0(2) 第二类间断点 : lim f (x) 与 lim f (x)中至少有一个不存在的间断点x x0x x0若 lim f(x)与 lim f(x) 中至少有一个为无穷大，则称为无穷型间断点 .x x0

21、x x0当 x x0 时函数值在摆动 , 称为摆动型间断点 .3 间断点可能情形：定义域的端点、分段函数分段点 .二 连续函数的性质1 连续函数运算的性质 .(1) 若 f (x), g(x)在连续, 则 f(x) g(x) , f(x)g(x) 在连续，若还有条件g(x0) 0，则 f (x)在在也连续 .g(x)(2) 若 f(x)在连续, g(x)在 f(x0)连续, 则g(f (x)在在连续.(3) 初等函数在定义域内都连续 .2 闭区间连续函数的性质 : 闭区间 a,b 上的连续函数 f(x)(1) (有界性定理) f (x) 在a,b 上有界。(2) ( 最值定理 ) f (x)

22、在a,b 上有最大值和最小值 .(3) ( 介值定理 )设m,M 为 f (x)在a,b 上的最小值最大值，则对 c(m c M)，至少存在一点(a,b)，使 f ( ) c.(4) ( 零点定理)若 f(a) f(b) 0 ，则至少存在一点 a,b ，使 f( ) 0.注：若 f(a) f(b) 0 ，则至少存在一点(a,b) ，使 f( ) 0.题型一：讨论连续性与间断点的类型 具体函数：一般利用连续与间断的定义 抽象函数：一般利用连续函数运算性质 例1 设f x 和 x 在 内有定义， f x 为连续函数，且f x 0, x 有 间断点，则（A）f x 必有间断点。（B） f x 2 必

23、有间断点。（C） fx 必有间断点。（ D） x 必有间断点。1x例2 设函数 f（x） lim 1 x2n ，讨论函数 f （x）的间断点，其结论为 （ ） n 1 x2nA）不存在间断点（ B）存在间断点 x 11 sin ,x 0,x则f x 在x 0处( )C）存在间断点 x 0 （D）存在间断点 x 112 ln 1 x3x2例 3 设 f x 0,x 0,2sin t 2 dt,x 0,（ A）极限不存在（ B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导 （D）可导x sint sint sin x例4 求lim sint sint sinx f x的间断点，并判别其类型t x sin

24、 x题型二：证明 ,F（ ） c 或者方程 F（x） c有根.若具体已知了某些函数值或者函数值的等式 , 用零点定理 ; 若没有这些信息 , 一般采取介值定理 , 只要证明 m c M .例5 设f（x）在a,b连续，且 x1,x2, ,xn a,b ，求证存在 a,b 使得f ( ) n f (x1) f(x2) f (xn) .例6设 f （x）是0,1上非负连续函数，且 f（0） f（1） 0.证明：对任意实数0 r 1)，必存在 x0 0,1，使得 x0 r 0,1 ，且 f(x0) f (x0 r)例5设 f ( x)在0,1上连续,且f (0) f(1) ，1(1) 证明：存在0,

25、1,使f ( ) f( )；1(2) 证明：存在 0,1,使f ( ) f( 1) (n 2且为正整数) n第二章一元函数微分学1 导数与微分一 导数与微分的基本概念1 导数的概念： f (x0 ) lim f x0 x f x0 lim f x f x0x 0 x x x0 x x0左导数：f (x0) lxim0f x0 x f x0x右导数：f (x0) lxim0f x0 x f x0x导数存在 左右导数存在且相等2 微分的基本概念(1) f(x)在x0可微：f(x0 x) f (x0) A x o( x) ( x 0).f(x)在x x0的微分 df (x) x x0 A x Adx

26、(2) f(x)在x0可微 f(x)在x0可导且A f (x0)df (x) x x0 f (x0 ) x f (x0 )dx3 可导(微) 、连续关系： f (x0 )存在f (x)在可微f (x)在连续.4 导数的几何意义：切线的斜率 题型一：可导性的讨论 核心点：导数定义，特别要对于分段函数要分左右导数讨论 .例1 设函数 f(x)在x 0连续, 则下面命题错误的是 ( )(A)若lim f(x)存在, 则 f(0) 0(B)若mil f(x) f(x) 存在, 则f(0) 0(C)x 0 x x 0 x 若lxim0 f(x)存在, 则f (0)存在 (D)若lxim0 f (x) x

27、f( x)存在, 则f (0)存在 例2 设f(0) 0, f(x)在x 0可导的充要条件的是 ( )A)lhim0f 1 cosh存在B)lhim0f 1 ehh存在limh0存在D) lhim0f 2h f h 存在 h例3 设f x 可导,F(x) f x(1 |sinx|),则f(0) 0是F(x)在x 0可导的( ) 条件(A) 充分必要 (B) 充分非必要 (C) 必要非充分 (D) 即非充分也非必要 注：若 f(x) |x a| (x)且 (x)在 x a连续, f (a)存在(a) 0.例 4 函数 f xx2 x 2 x3 x(A)3；(B) 2；二 导数与微分的计算公式1

28、导数的有理运算和复合运算法则(1) ( f1 f2) f1 f2(2)f1f1 f2 f1 f2 (3) ( 1 ) 1 2 2 1 2 (4)f2f22 微分的有理运算和形式不变性(1) d(u v) du dv,d(uv) vdu udv,d(u) vv(2) df (u) f (u)du , 不管是最终变量还是中间变量有 ( ) 个不可导点 .(C) 1；(D)0.(f1 f2) f1 f2 f1 f2 f1(f2(x) f1(f2(x) f2 (x)vdu udv3 特殊函数求导法(1) 反函数求导： x(y) 1 , x(y)y(x)3y(x) y(x) 32(2) 参数函数求导：

29、dy y(t), d22y y(t)x(t) x3(t)y(t) 。dx x(t) dx2x(t) 3(3) 隐函数求导三大方法：直接求导、直接微分、公式法 .(4) 变上限函数求导：设 f x 在 a,b 上连续，则 f t dt f x .a推广 : 2x f t dt f 2 x 2 x f 1 x 1 x4 连环相乘的对数求导法： 应用在形如 f(x) u1 ( x)v1 ( x) u2 (x) v2( x) un(x)vn(x) 的函数两边取对数 ln f (x) v1(x)ln u1(x) v2( x)ln u2(x)vn (x)ln un(x)f (x)从而(v1(x)ln u1

30、(x) v2 (x )ln u2(x)vn(x)ln un(x)f (x)题型二：求显函数的导师(1) 定义：讨论可导性、分段函数求导；求函数在一点的导数(2) 公式：四则、复合、对数 .例 5 设 f(x) x 3 3 x2 , 求 f (x)1 x (3 x)2例6 设 f(x) xx 11 (xx 22) (xx 110000), 求 f (1)例7 设 f(x) (1 x2 )sin x , 求 f (x).例8 设F(x)在x 0连续,且lim f(x)x 0 x1f (xt)dt,x 002, 令F(x)0 ,x 0sint dt,x 0求 F (x) .例9 设 (x) x co

31、sx,x 0,且 f(x)在x 0可导, 令F(x) f( (x),求F(0) .0,x 0题型三：隐函数和参数函数求导隐函数求导有三种方法 : 一般情形下求导和求微分的方法等价 . 但若只要求隐函 数在某点的高阶导数 (或导数)一般采取直接求导得到 y,y的关系 , 不采取解出 再求导的方法而采取直接对关系式求导的方法 .例 10 函数 y y(x)由方程 y tan(x y)确定, 求 y,y.y例 11 设可导函数 y y(x)由方程 sinx (u)du 0确定, 其中可导函数 (u) 0, x且 (0)(0) , 求 y(0) .22x 3t 2 2t 3d 2y例12 设设可导函数

32、 y y(x)由参数方程 yx 3t 2t 3 所确定, 求d 2y|t 0.ey sint y 1 0dx2三 高阶导数(1) f x 在点处的导数称为 f x 在点处的二阶导数，记以 f x0 . 若 f x的 n 1 阶导数的导数存在，称为y f x 的阶导数，记为 y n x 或dnydxnn(2) 运算法则： (u(x) v( x)(n) u(x)(n) v(x)(n)，(u(x)v(x)(n)Cnku(x)(k)v(x)(n k)k0(3) 常见函数的高阶导数： (ax)(n) ax(ln a)n, (ex)(n) ex,sin(ax )(m) am sin(ax m ),2(1

33、x)m nm(m 1) m n 1 (1 x)m n,m n0 ,m n题型四 求高阶导数1 直接将函数写成常见函数的加减式 , 然后利用常见函数的公式求解 .2 若函数为 f (x) xk g(x) , 利用莱布尼茨公式求解 .3 若只求某点的高阶导数 f (n)(a), 利用泰勒公式 f(x)f (n)(a)(x a)nn0例13 设f(x) x2 5xx 6, 求f(n)(x).例 14 求函数 f (x) x2 ln(1 x) 在点的 100阶导数 f (100) (0) .2 中值定理和导数的应用一 微分中值定理1洛尔定理 : 设函数 f (x) 在闭区间 a,b 上连续 ,在开区间

34、 (a,b)内可导f(a) f(b), 则存在 (a,b)，使得 f ( ) 0 .2 拉格朗日定理：设函数 f x 在闭区间 a,b 上连续 ,在开区间 a,b 内可导， 则 存在 a,b ，使得 f b f a f .ba推论: 若在 a,b 内可导，且 f x 0 ，则 f x 在 a,b 内为常数。例 证明 arctanex arctane x .23 柯西中值定理 : 设函数 f x 和 g x 在闭区间 a,b 内皆连续，在开区间 a,b 内皆可导，且 g x 0，则存在a,b 使得 f b f a f a b 。gb g a g二 泰勒定理(泰勒公式)(1) Lagrange 余

35、项： 设 f x在包含的区间 a,b内有n 1阶导数，在 a,b上有阶连续导数，则对 x a,b ，有公式(2) 皮亚诺余项 :设f x 在处有阶导数，则有f x0 x x0f x f x0 1!nn11! x x0n1x0 x x0 2 f n x0 x x0 n 2! n!f x f x0 1!f x0f x00 x x02! 0 x x0nx0n nn! 0 x x0o x x0注：上面展式称为以为中心的阶泰勒公式 ; x0 0 时，也称为麦克劳林公式。(3) , sin x, cosx ，ln 1 x 和 1 x 等的阶泰勒公式 .三 极值1 若对点 , 存在它的某一邻域 , 使得其中

36、 x x x0 ，总有 f x f x0 ，称f x0 为函数 f x 的一个极大 ( 小) 值，称为极大 ( 小) 值点 .2 必要条件: f(x0)为极小值 f x0 0(驻点)或 f x 的不可导点 .3充分条件 : 一阶判别法和二阶判别法(1) 为可能极值点 , f x 在 x0 ,x0 和 x0,x0异号，左边小于 0 右边大于 0 为极大值， 反之为极小值 .(2) f x 在处有二阶导数，且 f x0 0 ， f x0 0，则当 f x0 0 ， f x0 为极大值，为极大值点 .题型一：极值的判断与求解1 若只知道函数的连续性 , 利用极值的定义求解 .2 若已知函数可导 ,

37、先求可能的极值点 , 然后再用充分条件判断 . 注：极值的两个充分条件不能互相替代 , 例如求隐函数的极值问题只能用二阶导 数判别法 .例 1 设 f x 在 x 0处连续，若 lim f 2x 1, 问(1) 当x 0时, f x 是否存在 ?(2) x 0是否为 f x 的极值点 ?例2 设 y y(x)由方程 2y3 2y2 2xy x2 1确定, 求y y( x)的极值点和极值 .x2例 3 求函数 f x(x2 t)e t dt 的单调区间与极值 .1四 最大值和最小值1 闭区间 a,b 上最值(1) 求出 f x 在 a,b 内所有驻点，和不可导点 x1, ,xk ；(2) 计算

38、f x1 , , f xk , f a , f b ；(3) 比较上面的值，最大者就是最大值；其中最小者就是最小值 .2 开区间 a,b 上最值(1) 求出驻点, 利用图表法划分单调区间 ;(2) 作出草图, 求出最值 .x2例 4 求函数 f x (2 t)e tdt 的最大值与最小值 .0五 凹凸性与拐点1 若 f (x) 0称 f (x)是凸的，若 f (x) 0则称 f (x)是凹的. 曲线上凹与凸的分 界点，称为曲线的拐点 .2 必要条件： f (x) 0或 f ( x)不存在。充分条件：去心邻域二阶可导， f (x)在 x x0左右变号。 题型二：判断凹凸性和拐点f x例5 设 f

39、 x 有二阶连续导数且 f 0 0 ，又lim 1, 则( )x 0 |x|(A) f 0 是 f x 的极大值 (B) f 0 是 f x 的极小值(C) 0,f 0 是曲线 y f x 的拐点(D) f 0 不是 f x 的极值, 0,f 0 不是曲线 y f x 的拐点例6设 f x 在 , 连续, 且在 ,0) (0, 内有二阶连续导数 , f x的图形如右 , 则 y f x 的驻点、极值点、拐点的个数为 ( ) (A) 4 ，4,4 (B) 4,4,3 (C) 4，3,4 (D) 5,4,4六 渐进线1 垂直渐近线 x c： lim f (x) 或 lim f(x) .x c x

40、c2 有斜率的渐近线： lim (f (x) ax b) 0或 lim ( f(x) ax b) 0,xx其中a lim f(x),b lim (f(x) ax)或a lim f(x),b lim ( f(x) ax)x x x x x x题型三 求渐近线方程1 垂直渐进线： 先求可能点 ( 定义域的端点 )+ 定义判断2 有斜率的渐近线：先求 x 的情形 , 再求 x 的情形1例7 设 f(x) (x2 2x 3)e ， 求 f(x)的渐近线.(x2 1)arctan xx例8 设 f(x) arc tan xx x ，则 f ( x)具有渐近性的条数为 ( )1e(A) 1(B) 2 (C

41、) 3(D) 4题型四 方程根的讨论1 写出方程对应的函数 f (x).2 求 f (x) 的驻点, 利用图表法将函数分解成几个小的单调区间 .3 作 f (x)草图, 分析各单调区间端点值 (或极限值 )的符号，得到根的个数例 9 试讨论方程 ln x x 1 的实根个数 .e例 10 试确定方程 x aex(a 0) 的实根个数 .题型四 中值定理的等式证明 情形一： 一个中值点、一阶导数1 参数放在等式右边，左边为 f(b) f(a)或 f(b) f (a)的形式，直接利用拉格b a g(b) g(a) 朗日或者柯西中值定理 .2 辅助函数法 注：特别要注意变上限函数的情形 .例 11

42、证明：(a,b) 使得 , aeb bea (1 )e (a b)例 12 设 f (x) 在a,b 连续，在 a,b 可导，证明：(a,b) 使得ab bf(a) af(b) 将两个参变量分离在等式的两边， 与形式 f ( ) f ( ) h(b) h(a) 作对比， 确 g( ) h( ) g(b) g(a)定 g (x), h( x) ，利用柯西中值定理即得 .f ( ) f ( ).ba132例13 f (x)在0,1连续，在 0,1 可导， f(1) 3 e1 x f (x)dx ，证明0(0,1)使得 f ( ) 2 f( )1例14 f (x)在0,1连续，在 0,1 可导，且满

43、足 f(0) f(1) 0, f( ) 1，证明11)存在 ( ,1), f ( ) ；2) ,存在， f ( ) ( f ( ) ) 1.1例15 f (x)在0,1连续，在 0,1 可导, 且 f(x)dx 0，证明：0(0,1)使得 f(x)dx f ( )0情形二 阶导数一个中值点 方法：多次利用洛尔定理 .例 16 f (x)在0,1 上有三阶连续导数， f (0) f(1) 0,F(x) x例 17 设 f(x)在a,b连续，在 a,b 可导，证明 :f(x)，证明： (0,1)使得 f ( ) 0.情形三 阶导数 2 个中值点1 三个点，用二次 Lagrange 中值定理 . 本

44、情况下的中值点必定是相异的 ., a,b 使得 f ( ) a b f ( ).例18设f ( x)在 a, b连续，在 a,b 可导， f (x) 0,证明f ( ) eb ea, a,b 使得 e .f ( ) b a例19设f (x)在0,1连续，在 0,1 可导，且满足 f(0) 0, f (1) 1,，证明(1) 存在 (0,1), f ( ) 1 ；(2) 存在不同的点 1, 2 (0,1), f ( 1) f ( 2) 1. 题型五 不等式的证明 情形一： 不含中值点 方法 1 参数放在等式右边，左边为 f(b) f (a) 或 f(b) f (a) 的形式，b a g(b) g

45、(a) 直接利用拉格朗日或柯西中值定理 .例20 若 0，证明： 2 tan tan .2 cos2例21 设e a b e2 ，证明： ln2b ln2 a 42 (b a).e 方法 2：辅助函数法1 设置一个自变量 , 构造自变量的函数；2 对函数求导，通过研究导数求最值 ,(1) 具体而言，要么求出 f (x) 0 的根设法证明其中一个根为最值点 ;要么证明 f(x) 0或 f (x) 0 ,得到单调性.(2) 如果无法把 f (x)研究清楚, 就通过研究 f(x)得到 f (x)的性质.3 将最值和要证明的值做比较例 22 若 x 0，证明 (x2 1)ln x (x 1)2.例 2

46、3 若 x 1 ，证明 (1 x)n 1 nx例 24 证明：当 0 x时 ,2tanx xx sin x情形二：含中值点或者 max f (n) (x)核心点： Lagrange 中值定理和泰勒定理 , 在导数和高阶导数信息最多的点展开例25 若 f (x)在a,b上二阶可导， f(a) f (b) 0，证明：a,b 使得|f( )| 4| f(b) f2(a)|.(b a)例26 若f (x)在0,1上二阶连续可导，且 f(0) f(1) 0, min f(x) 1，证明： 0 x 1a,b 使得m0 axx1 f (x) 8.三 积分及其应用1 不定积分一 不定积分的基本概念1 定义：

47、F x f x 在区间上成立，则称 F x 为 f x 在区间的原函数 . f x在区间中的全体原函数称为 f x 在区间的不定积分，记为 f xdx F x C.2 充分条件：若 f x 连续则必有原函数 .注：sinx2,cosx2,sinx,cosx, 1 ,e x2等函数有原函数但原函数不能用初等函数表示x x lnx3 不定积分的性质 f x dx F x C(1) F x dx F x C(2) f x dx f x(3) kf x dx k f x dx(k 0) (4)f x g x dx f x dx g x dx二 第一类类换元法1 公式：设 f u du F u C ，又

48、 x 可导，则 f x x dx f x d x .2 常用的凑微分1(1) dx d(ax b) (2) sin xdxd cos x,cos xdx dsin xa2 x x x 1 x(3) sec2 xdx d tan x,sec x tan xdx dsecx (4) exdx dex,axdxdaxdx d arctan x1xln a (5) dx d arcsin x, 21 x22(6)x dx1dx , 1dln|x|, 1特别的 1, 21, 2要记处 .11 sin 例 求 21 2dx , 2xdx a x x2练习：1注： 2 2 dx 和a2 x211 dx 很有

49、用要记住 .二 第二类类换元法x (t)1 公式：若 (t )可导、单调且 (t) 0则 f ( x)dxf t (t)dt .2 常见代换模式(1) a2 x2 ，令 x asint, t , 2222(2) a2 x2 , 令 x atant, t , 22(3) x2 a2 ，令 x asect ,t 0, ) t ( , 22(4) f(x,nax b)或 f (x, n caxx db)，令t nax b或t ncaxx db3 说明：第二类换元法并不局限于上面的代换模式 , 其他类型的复杂 函数也可尝试此法 .1例 求 1 dx .x x2 1三 分部积分法1 公式：设 u x ，

50、 v x 均有连续的导数，则u x dv x u x v x v x du x 。2 在选用分部积分法时，选取的顺序为三角、2例求 arccos x dx.指、幂、有理、反对数、反三角四 特殊函数的积分1 有理函数积分(1) 特型方法：除、拆 .(2) 一般情形下，低次问题才会用特型方法, 高次问题用第一类换元法 .例 求 x2(x 1)(x 2) dx2 三角函数的积分3n 1和 1x x2n dxt tanx2(1) 万能公式法： f (sin x,cos x)dx f (22t ,1 t2 ) 2 dt1 t2,1 t2)1 t2 dt(2) 一般情形下，式子比较简单才会用万能公式 ,其

51、他用凑微分 . sin x例 求 dx 。sinx cosx题型一 求解不定积分arctan x例1 求Ixe 3dx(1 x2)2例2 求Iarcta2nx ex dx .e1x例 3 计算不定积分 ln(1 )dx(x 0)例 4 设 xf xdxdx arcsin x C ，则 fx例5 求解 dx8 和 dx 4x xsin xcos x题型二 求分段函数的不定积分 1 在各段先求出不定积分2 分界点的连续性 (少数时候用到可导性 ) ，得到一系列方程并求解求f x 的原函数F x .例6 设f x sin2x,x 0,ln 2x 1 ,x 0,2 不定积分定积分的基本概念1 定义：b

52、na f (x)dx lim f ( i) xi .1 特别的： 011 f(x)dx nlinm1n f(ni)或 0 f(x)dx n1lim 1n f(in1).i 1n n 0 n n i 1 n n2 充分条件：函数在 a,b 连续或函数在 a,b 有界且仅有有限个间断点 必要条件：函数有界3 定积分的重要性质bbb(1) Af(x) Bg(x)dx A f (x)dx B g(x)dx.aaab a b c b(2) f(x)dx f (x)dx, f(x)dx f (x)dx f (x)dx.a b a a cbb(3) 若 f(x) g(x),x a, b, 则 f (x)dx g(x)dx.特别的： aa又有 f (x),g(x)连续，但两个函数不全相等，则f (x)dx g(x)dx .aa(4) 中值定理 . 设 f x 在 a,b 上连续，则存在(a,b) 使得ba f x dx f b a .(5) 定积分是一个数 题型一 定积分的概念和基本性质2k例 1 lim sincos2n n k 1 n1例 2