11-1常数项级数概念

1、第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 一、常数项级数一、常数项级数 二、幂级数二、幂级数 三、傅立叶级数三、傅立叶级数 引引 言言 无穷级数是用来表示函数、研究函数的无穷级数是用来表示函数、研究函数的 性质以及进行数值计算的一种工具性质以及进行数值计算的一种工具. . 本章讨论常数项级数，介绍无穷级数的本章讨论常数项级数，介绍无穷级数的 一些性质；讨论函数项级数，着重介绍如何一些性质；讨论函数项级数，着重介绍如何 将函数展开成幂级数与三角级数的问题将函数展开成幂级数与三角级数的问题. . 第一节第一节 常数项级数的概念常数项级数的概念 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 二、收敛级数的性质

2、二、收敛级数的性质 23 1111 2222 n 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 引例引例：一个人向距他一米远的目标走去一个人向距他一米远的目标走去, , 如果每次前进该距离的一半路程如果每次前进该距离的一半路程. . 记录他记录他 走过的路程之和走过的路程之和, , 问他在有生之年能够到问他在有生之年能够到 达目标吗？达目标吗？ 第第n步步第第3步步第第1步步 不可能达到不可能达到! 1 谬论谬论？ 所走路程之和为：所走路程之和为： 1. 级数的定义级数的定义 123n uuuu 称为称为(常数项常数项)无穷级数无穷级数，简称，简称(常数项常数项)级数级数， 由数列由数列 n uu

3、u, 21 构成的表达式构成的表达式 记为记为 1 , n n u 其中第其中第n项项un称为称为一般项一般项. 23 1111 2222 n 1 1 2n n 例如例如 常数项级数举例常数项级数举例 135(21)n 111 231n 21 111 1 333 n 1 )1(1111 n 1 11( 1) 1 23 n n 1 (21) n n 1 1 1 n n 1 1 1 3n n 1 1 ( 1)n n 1 1 ( 1)n n n n i inn uuuus 1 21 级数的级数的部分和部分和 , 11 us , 212 uus 3123 ,suuu 12 , nn suuu 部分和数

4、列部分和数列 n s 23 1111 2222 nn s , 例如例如 2. . 级数的收敛与发散级数的收敛与发散: : n s 1n n u如果如果没有极限没有极限, ,则称无穷级数则称无穷级数发散发散. . 321 uuus lim n n ss ，即即 定义定义 1n n u n s, s的部分和数列的部分和数列有极限有极限如果如果 1n n u 则称无穷级数则称无穷级数收敛收敛, , 常数项级数收敛常数项级数收敛(发散发散) 这时极限这时极限s叫做叫做级数的和级数的和. .并写成并写成 n n s lim存在存在(不存在不存在) 常数项级数收敛常数项级数收敛( (发散发散) ) n n

5、 s lim存在存在( (不存在不存在) ) 23 1111 2222 nn s 1 1 2n n 1 1( ) 1 2 1 2 1 2 n lim1, n n s 引例中引例中 收敛收敛, ,和为和为1.1.故故 1 1.(21)135 n n 1 1 2.( 1) n n 发散发散. . 2 )121( 2 nn n sn 故级数发散故级数发散. . sn极限不存在极限不存在, , 又例如又例如 1, 0, n n s n 为奇数时，为奇数时， 为偶数时，为偶数时， 解解1q 如如果果时时, , 12 n n aqaqaqas q aqa n 1 12 0 nn n aqaaqaqaq )

6、0( a 例例1 1 的收敛性的收敛性. . ,1 ,1 1 q a q q 讨论等比级数讨论等比级数( (几何级数几何级数) ) 1q 当当时时, , 1,q 当当时时 1,q 当当时时 , n sna 级数级数发散发散. . aaaa 级级数数变变为为 lim n n s 不不存存在在, , 级数级数发散发散. . 因此因此 0 1,; 1 1, n n a q q aq q 当当时时 收收敛敛, ,和和为为 当当时时 发发散散. . 1,q 当当时时 lim 1 n n a s q 1,q 当当时时 级数级数发散发散 级数级数收敛收敛 lim n n s 0 n n aq 2(1)1 2

7、3 nn n u 1 4 , 3 n 已知级数为等比级数，已知级数为等比级数， 4 , 3 q 公公比比 | 1,q 2(1)1 1 23. nn n 发发散散 问级数问级数的敛散性的敛散性. . 2(1)1 1 23 nn n 1 1 () , 3 n n 1 1 (). 3 n n 收收敛敛 1 , 3 q 公公比比| 1,q 无穷级数收敛性举例：无穷级数收敛性举例：KochKoch雪花雪花 做法：先给定一个正三角形做法：先给定一个正三角形,然后在每条然后在每条 边上对称的产生边长为原边长的边上对称的产生边长为原边长的1/3的小的小 正三角形正三角形.如此类推在每条凸边上都做类如此类推在每

8、条凸边上都做类 似的操作似的操作,我们就得到了面积有限而周长我们就得到了面积有限而周长 无限的图形无限的图形“Koch雪花雪花” 分形分形 观察雪花分形过程观察雪花分形过程 1 1 3, 3 ; 4 P A 设设等等边边三三角角形形 周周长长为为 面面积积为为 作分形作分形 观察雪花分形过程观察雪花分形过程 第一次分叉：第一次分叉： 21 4 , 3 PP 周周长长为为 面面积积为为 211 1 3 9 AAA 观察雪花分形过程观察雪花分形过程 第二次分叉：第二次分叉： 周周长长为为 2 321 1 34 ( ) 9 AAA 2 31 4 ( ) 3 PP 面面积积为为 观察雪花分形过程观察雪

9、花分形过程 第三次分叉：第三次分叉： 23 431 1 34 ( ) 9 AAA 3 41 4 ( ) 3 PP 周周长长为为 面面积积为为 观察雪花分形过程观察雪花分形过程 第四次分叉：第四次分叉： 34 541 1 34 ( ) 9 AAA 4 51 4 ( ) 3 PP 周周长长为为 面面积积为为 依次类推依次类推 观察雪花分形过程观察雪花分形过程 第五次分叉：第五次分叉： 45 651 1 34 ( ) 9 AAA 5 61 4 ( ) 3 PP 周周长长为为 面面积积为为 , 2 , 1) 3 4 ( 1 1 nPP n n ) 9 1 (43 1 12 1 AAA nn nn 1

10、12 1 2 11 ) 9 1 (43) 9 1 (43 9 1 3AAAA nn , 3 , 2 n 周长为周长为 面积为面积为 22 1 1444 11( )( )( ) 3999 n A 第第n次分叉：次分叉： 1 4 1( ) 1 9 (1) 4 3 1 9 n A 0 于是有于是有 1 1 4 limlim( ) 3 n n nn PP ) 9 4 1 3 1 1(lim 1 AA n n . 5 32 ) 5 3 1( 1 A 结论：雪花的周长是无限的结论：雪花的周长是无限的, ,而面积有限而面积有限. . 雪花的面积存在极限（收敛）雪花的面积存在极限（收敛） 发散发散 例例2 判

11、别级数判别级数 的敛散性的敛散性: 1 1 ln n n n 解解 2 ln 1 n S (ln2 ln1) (ln3 ln2) ln(1)n (n ） 所以级数发散所以级数发散 . . 3 ln 2 4 ln 3 1 ln n n 技巧技巧: : 利用利用“拆项相消拆项相消” ” 求求 和和 ln(1)lnnn 解解 1 (21)(21) n u nn ), 12 1 12 1 ( 2 1 nn )12()12( 1 53 1 31 1 nn sn ) 12 1 12 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 1( 2 1 nn 例例3 )12()12( 1 53 1 31

12、 1 nn 的收敛性的收敛性. . “拆项相消拆项相消” ” 求求 和和 判别无穷级数判别无穷级数 ) 12 1 1( 2 1 limlim n s n n n ), 12 1 1( 2 1 n , 2 1 1 ,. 2 级级数数收收敛敛 和和为为 ) 12 1 12 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 1( 2 1 nn 二、收敛级数的基本性质二、收敛级数的基本性质 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, , 敛散性不变敛散性不变. . 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. . 1 () nn n uv s 则级数

13、则级数收敛收敛, ,其和为其和为 线性性线性性 1n n u 1n n ku性质性质1 1 如果级数如果级数收敛收敛, ,则则亦收敛亦收敛. . 1 , n n su 1n n v性质性质2 设两收敛级数设两收敛级数 , 解解 1 5 (1) n n n 收收敛敛， 例例4 4 求级数求级数 1 2 1 )1( 5 n n nn 的和的和. . 1 1 2 n n 也也收收敛敛. . 1 51 . (1)2 n n n n 收收敛敛 1 51 5(1)5 (1)1 n n k s k kn 由线性性质由线性性质, 1 51 516. (1)2n n n n 1 5 =5 (1) n n n ，

14、 1 1 =1. 2n n 0 (1), 1 n n a aqq q 1 51 (1)2n n n n 1 )1( 5 n nn 1 2 1 n n 证明证明 12 1 nkkk n n k uuuu nkkkn uuu 21 , kkn ss limlimlim nn kk nnn ss . k ss 类似地可以证明在级数前面加上有限项类似地可以证明在级数前面加上有限项 不影响级数的敛散性不影响级数的敛散性. . 1n n u 1kn n u )1( k性质性质3 若级数若级数收敛收敛,则则也收敛也收敛 且其逆亦真且其逆亦真. 证明证明 )()( 54321 uuuuu , 21 s lim

15、lim. mn mn ss 则则 , 52 s , 93 s , nm s 性质性质4 4 收敛级数加括弧后所成的级数收敛级数加括弧后所成的级数 仍然收敛于原来的和仍然收敛于原来的和. . 注意注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. . (11)(11) 例例如如 1111 收敛收敛 发散发散 推论推论 如果加括弧后所成的级数发散如果加括弧后所成的级数发散, , 则原来级数也发散则原来级数也发散. . lim0. n n u 证明证明 设设 1 , n n su 1,nnn uss 则则 1 limlimlim nnn nnn uss ss . 0 n

16、 u即即收收敛敛级级数数的的一一般般项项趋趋于于零零. . 性质性质5（级数收敛的必要条件）（级数收敛的必要条件） 若级数若级数 收敛，则收敛，则 1 n n u 注意注意 1. .如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零, ,则级数发散则级数发散; ; 1 123 ( 1) 2341 n n n 例例如如 故级数发散故级数发散. . 2. .一般项趋于零一般项趋于零, ,则级数不一定收敛则级数不一定收敛. . lim0,? n n u 有有级级数数是是否否收收敛敛 111 1 23n 例例如如调调和和级级数数 必要条件的逆否命题必要条件的逆否命题 1 1 limlim ( 1) 1

17、n n nn n u n 0, 逆命题逆命题 讨论讨论 2 111 122 nn ss nnn , 2 1 2 n n ,. s假假设设调调和和级级数数收收敛敛其其和和为为 2 lim() nn n ss 于于是是ss , 0 . 调调和和级级数数发发散散 1 0() 2 n 便便有有 .这这是是不不可可能能的的 111 1. 23n 调调和和级级数数的的敛敛散散性性 级数收敛的必要条件的应用级数收敛的必要条件的应用 1 n n u 级数级数收敛收敛lim0. n n u lim0. n n u 1 n n u 级数级数发散发散 （判定级数发散的方法判定级数发散的方法） 5 1 (1), n n 1 1 (3), 1 n n 1 (2),(0) n k k n 1 11 (4)() 2n n n 例例 指出下列级数的敛散性指出下列级数的敛散性 发散发散发散发散 发散发散 发散发散 1 n n u 1 n n v 1 () nn n uv 收敛，收敛， 发散，发散， 则则收敛收敛. 发散，发散， 收敛，收敛， 发散，发散，不一定不一定. 发散发散.收敛，收敛， 小小 结结 一、常数项级数的基本概念一、常数项级数的基本概念 基本审敛法基本审敛法 3. .按基本性质判定敛散按基本性