椭圆相关知识点复习

1、第一部分椭圆相关知识点讲解椭圆的定义及椭圆的标准方程 ：1. 椭圆的定义：平面内一个动点 P到两个定点 F1、 F2 的距离之和等于常数( PF1 PF2 2a F1F2 ) , 这个动点 P 的轨迹叫椭圆 . 这两个定点叫椭圆的焦 点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距 .注意：若( PF1PF2 F1F2 )，则动点 P的轨迹为线段 F1F2；若( PF1 PF2F1F2 ) ，则动点 P的轨迹无图形 .2. 椭圆的标准方程(1)当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：2x2 a2 y b21(ab 0) ，其中2 2 2c a b(2)当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：2 y2 a2 x b21(

2、ab 0) ，其中2 2 2 c a b ；注意： 1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系 时，才能得到椭圆的标准方程；2在椭圆的两种标准方程中，都有 (a b 0)和 c2 a2 b2；3椭圆的焦点总在长轴上 .当焦点在 x轴上时，椭圆的焦点坐标为 (c,0) ，( c,0)；当焦点在 y轴上时，椭圆的焦点坐标为 (0,c)， (0, c)3. 圆的参数方程： xy bascions (其中 为参数 ).4. 方程 Ax2 By2 C表示椭圆的充要条件是什么？ (ABC 0，且 A，B，C同号， AB)。点与 椭圆的位置关系 ：22(1)点 P(x0, y0) 在椭圆外x

3、02 y20 1；ab22(2)点 P(x0, y0 )在椭圆上x02 y20 1；ab22(3)点 P(x0, y0 )在椭圆内x02 y20 1ab 三椭圆的简单几何性质22椭圆： x2 y2 1 (a b 0)的简单几何性质 abx 2 y 2(1)对称性： 对于椭圆标准方程 2 2 1 (a b 0) ：说明：把 x 换 a 2 b 2成 x 、或把 y 换成 y 、或把 x 、 y 同时换成 x 、 y 、原方程都不变， 22所以椭圆 x2 y2 1是以 x轴、 y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原 a 2 b2点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。(2)范围：椭圆

4、上所有的点都位于直线 x a和 y b所围成的矩形内， 所以椭圆上点的坐标满足 x a ， yb 。(3)顶点： 椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。22椭圆 x2 y2 1 (a b 0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点， a 2 b 2A1( a,0)， A2(a,0)，B1(0, b)，B2(0,b)线段 A1 A2 ， B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，A1A22a , B1B2坐标分别为2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。三直线与椭圆的位置关系 ：(1)相交：0直线与椭圆相交；(2)相切：0直线与椭圆相切；(3)相离：0直线与椭圆相离；2222四椭圆xy a 2 b

5、 21与y2 x2 1 (a b 0)的区别和联系 a 2 b 2图形性质标准方程焦点焦距范围对称性顶点轴长注意： 椭圆2x2a的关系都有不相同。6. 弦长公式2x2a2y 2 1 (a b 0) bF1( c,0)， F2 (c,0)F1F22ca，yb关于 x轴、 y 轴和原点对称( a,0) ， (0, b)长轴长 = 2a，短轴长 =2b2 y b2b22y2a2x2 1 (a b 0) b2F1(0, c)， F2(0,c)F1F22c(0, a) ，( b,0)21， y 22ac2 ( a b2x2 1 (a b 0) 的相同点：形状、大小都相同；参数间 b20) ；不同点：两种

6、椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也若直线 y kx b与圆锥曲线相交于两点 A、B，且 x1,x2 分别为 A、B的横坐标，则 AB 1 k2 x1 x2 ，若 y1, y2分别为 A、B的纵坐标，则 AB 17. 圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用 “韦达定理” 或“点差法”求解。y1k2y2 。2 2 2 在椭圆 x2 y2 1中，以 P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率 k= b2x0 ； a ba y0第三部分 典型例题分析类型一：求椭圆的方程221 、已知椭圆 mx 3y 6m 0 的一个焦点为（ 0，2）求 m 的值分析： 把椭圆的方程化为标准方程，由 c 2，根据关系 a

7、2 b2 c2可求出 m 的值22解：方程变形为 x y 1 因为焦点在 y 轴上，所以 2m 6，解得 m 36 2m又 c 2，所以 2m 6 22 ， m 5适合故 m 52、 已知椭圆的中心在原点，且经过点P 3，0 ， a 3b ，求椭圆的标准方程分析： 因椭圆的中心在原点， 故其标准方程有两种情况根据题设条件， 运用待定系数 法，求出参数 a和b（或 a 2和b2 ）的值，即可求得椭圆的标准方程22解： 当焦点在 x 轴上时，设其方程为 x2 y2 1 a b 0 a2 b2由椭圆过点 P 3，0 ，知 92 02 1又 a 3b ，代入得 b2 1， a2 9 ，故椭圆的方 a2

8、 b22程为 x y2 1 922当焦点在 y 轴上时，设其方程为 y2 x2 a2 b290由椭圆过点 P 3，0 ，知 92 02 1 又 a a2 b23b ，联立解得 a281， b29，故椭圆22 的方程为 y x 1 81 93、 ABC的底边 BC 16， AC和 AB两边上中线长之和为 30，求此三角形重心 G的轨 迹和顶点 A 的轨迹分析：（ 1）由已知可得 GC GB 20 ，再利用椭圆定义求解2）由 G的轨迹方程 G、 A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程y，由 GC GB 20，知 G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点 因 a10，c 8 ，有 b

9、6 ，22 故其方程为 x y100 361y02）设 A x，y ， Gx，y2 ，则 x 1002y36x由题意有x，3 代入，得 A 的轨迹方程为 y32x9002y3241 y 0 ，其轨迹是椭圆解：（1）以BC所在的直线为 x轴，BC中点为原点建立直角坐标系 设G 点坐标为 x，去 x 轴上两点）4 、已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为45和25，33过 P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程解：设 两 焦 点 为 F1 、 F2 ， 且 PF1453，253从椭圆定义知2aPF1PF2 2 5即 a 5 sin从 PF1PF1F

10、2可求出PF2PF2PF1PF1F2所求椭圆方程为知 PF2 垂 直 焦 点所在的对称轴，所以在Rt PF2F1 中 ，1，2，2c PF1 cos2 5 ，从而 b2a2c21033y2101或3x102y2 152x21 已知椭圆y22类型二：过中点弦直线方程111 ，（ 1）求过点 P 1，1 且被 P 平分的弦所在直线的方程；222）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；3）过 A 2，1 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；14）椭圆上有两点 P、 Q ， O为原点，且有直线 OP 、 OQ斜率满足 kOP kOQ1，2求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程分析： 此题中四问都跟弦

11、中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：设弦两端点分别为 M x1，y1 ， N x2，y2 ，线段 MN 的中点 R x，y ，则2x122y122，得x1x2x1x22 y1y 2y1y20 2 x22y222，y2 yx1x1y2 0x2x1x22x，由题意知 x1x2 ，则上式两端同除以 x1 x2 ，有 x1 x2 2 y1y1y22y，将代入得x 2y y1 y2 0 x1 x21）将 x 1 ，y 1 代入，得 y1 y 222x1 x22x 4y 3 0 11 ，故所求直线方程为：2将代入椭圆方程2 2 2 1x2 2y2 2得 6y2 6y 14 0，136 4 6 0 符合

12、题意，42x 4y 3 0 为所求2）将 y1 y2 2 代入得所求轨迹方程为： x1 x2x 4y 0 （椭圆内部分）（3）将 y1 y2 y x1 x2 x11 代入得所求轨迹方程为：2x2 2y2 2x 2y 0 （椭圆内部分）（4）由得 ：22x1 x2 2y12 y22 2 ， 将平方并整理得2 2 2 x1 x2 4x2 x1x2 ，2 2 2y1 y2 4y 2y1y2 ，将代入得：4 x2 2x1 x24y22y1y22，1再将 y1y2x1x2 代入式得：222xx1x2214y2 2x1x2 2 ，2即22yx2 1 12此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还

13、可用其它方法解决222. 已知一直线与椭圆 4x2 9y2 36相交于 A、B两点，弦 A、B的中点坐标 M 1,1 , 求直 线 AB 的方程。4x2 x m 2 1 ，类型三：弦长公式221 已知椭圆 4x2 y2 1及直线 y x m （1）当 m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为2 10 ，求直线的方程5解：（ 1）把直线方程 y x m代入椭圆方程 4x2 y2 1得即 5x2 2mx m2 1 0222m 2 4 5 m2 1216m2 20 0 ， 解 得2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1 ，x2，由（1）得 x1 x22m，x1x25m2根据弦

14、长公式得： 1 1222mm2 12 10解得 m0方程为2、 已知长轴为 12 ，短轴长为 6，焦点在 x 轴上的椭圆， 过它对的左焦点 F1 作倾斜解为 的 3 直线交椭圆于 A， B两点，求弦 AB 的长分析： 可以利用弦长公式 AB 1 k2 x1 x2(1 k2)( x1 x2)2 4x1x2 求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解：(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解AB 1 k 2x1 x2(12k 2 )( x1x2) 2 4x1x2因为 a 6 ，b3，所以 c 3 3 因为焦点在 x 轴上，2所以椭圆方程为 x362y2 1，9左焦点F( 3 3

15、,0) ，从而直线方程为由直线方程与椭圆方程联立得：13x272 3x 368 0 设 x1 ，x2为方程两根，所以x1 x 272 313x1x236 8 ， k 3 ，13从而AB 1 k 2x1x2(1 k2 )(x1 x2 )2 4x1x2 148313(法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解2 由题意可 知椭圆 方程为 x362y2 1 ，9设 AF1m，BF1n，则 AF212m，BF212 n AF1F2AF22AF12F1F22 AF1 F1F2 cos3(12m)236 32m6 3 12 ；所以同理在BF1F2 中，用余弦定理得 n6 ，所以 AB43481323. 过椭圆

16、x y2 1的左焦点作直线与椭圆交于 A 、 B 两点，若弦 AB 的长恰等于短轴长，9求直线方程。22xy4. 若 PQ是椭圆 2 2 1a b 0 不平行于对称轴的弦， M 是PQ中点，O为椭圆中心， a2 b2求证：直线 PQ、 OM 的斜率之积为定值。2x25、设 A、B 是椭圆y 2 1 上的两点， O 为坐标原点，4（1）若直线 AB 的斜率为 -1，且经过椭圆左焦点，求 AB ;（2）若直线 AB 在 y轴上的焦距为 4，且 OA，OB 的斜率之积等于 2，求直线 AB 的斜率 .2x6、椭圆252y 1 上的点 M 到焦点9F1的距离为 2， N 为 MF1的中点，则 ON （

17、O为坐标原点）的值为（）4B2C82y 1 恒有公共点，则 m 的取值范围是 m27、直线 ykx1=0 与椭圆 x5答： 1，8、 知圆 x 25）（ 5，+）；y2 1 ，从这个圆上任意一点 P向y轴作垂线段，求线段中点 M 的轨迹分析： 本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题这种题目一般利用中间变量（相关点 ）求轨迹方程或轨迹解：设点 M 的坐标为 （x, y），点 P的坐标为 （x0 , y0），则 x x0 ， y y022 2 2 2因为 P（x0 , y0 ）在圆 x2 y2 1上，所以 x02 y02 1将x02x，y0 y 代入方程 x02 y02 1得4x2 y2 1所以点 M

18、 的轨迹是一个椭圆 4x 2y2 1 229、已知方程xy1表示椭圆，求 k 的取值范围k53kk5 0,解： 由 3k 0,得 3 k 5，且 k 4 k53k,满足条件的k 的取值范围是 3 k 5，且 k 4 说明： 本题易出现如下错解：由k 5 0,得 3 k 5 ，故 k 的取值范围是 3 k 53 k 0,出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 椭圆a b 0这个条件， 当 a b时，并不表示2210、已知 x sin y cos 1 (0) 表示焦点在 y 轴上的椭圆，求 的取值范围分析： 依据已知条件确定的三角函数的大小关系再根据三角函数的单调性，求出取值范围2解： 方程可化为

19、x12y1cos1 因为焦点在 y 轴上，所以1 cos1sin0因此 sin0 且 tan1从而( , 3 )24sin说明： (1)由椭圆的标准方程知10 ， 10 ，这是容易忽视的地方sincos2(2)由焦点在 y 轴上，知 a 21， b2 1 (3) 求 的取值范围时，应注意题目cossin中的条件 0 2x11、已知椭圆 C：41，试确定 m 的取值范围，使得对于直线 l： y4x m ，椭圆 C上有不同的两点关于该直线对称分析： 若设椭圆上 A ， B两点关于直线 l对称，则已知条件等价于： (1)直线 AB l ；(2) 弦 AB的中点 M 在l 上利用上述条件建立 m的不等

20、式即可求得 m 的取值范围解：(法1)设椭圆上 A(x1, y1)，B(x2, y2 )两点关于直线 l对称，直线 AB与l交于 M(x0, y0)点 l 的斜率 kl4 ，设直线 AB的方程为 yyn 由方程组1x42y3n,消去 y 得1,13x28nx16n248112ny0x04n13 ，即点M 的坐标为13(143nn4m0将式代入式得 13x212n12n) 点 M 在直线13。x1x28n13于是x0x1x24n ，13 ，26mx169 m2 48 04x m上，4n13解得A ， B 是 椭 圆 上 的 两 点 ，( 26m)2 4 13(169m2 48) 0 解 得2 13 2 13m13 1313413(法 2)同解法 1 得出 nm， x0(m) m ，41341 13113y0x0m(m)m3m ，