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1、傅里叶级数的推导傅里叶级数的推导2016 年 12 月 14 日 09:27:47傅里叶级数的数学推导首先,隆重推出傅里叶级数的公式,不过这个东西属于“文物”级别的, 诞生于19世纪初,因为傅里叶他老人家生于 1768年,死于1830年。但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、 声学、光学等领域都有着广泛的应用,这不由得让人肃然起敬。一打开信号 与系统、锁相环原理等书籍,动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅 里叶变换”,弄一长串公式,让人云山雾罩。如下就是傅里叶级数的公式:+辺 cos(2trf)$in(2拠)+=吗+ 乞毎cos(nai) + 或口(刃曲)2 fto+

2、T/(f)不客气地说,这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布一一又臭又长”,而且来 历相当蹊跷,不知那个傅里叶什么时候灵光乍现,把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个式,就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍3的sin和cos函数、2倍3的sin和cos函数等、至U n倍 3的sin和cos函数等一系列式子的和,且每项都有不同的系数,即An和Bn,至于这些系数,需要用积分来解得,即式,不过为了积分方便,积分区 间一般设为卜n , n,也相当一个周期T的宽度。能否从数学的角度推导出此公式,以使傅里叶级数来得明白些,让我等能 了解它的前世今生呢?下面来详细解释一下此公

3、式的得出过程:1、把一个周期函数表示成三角级数:首先,周期函数是客观世界中周期运动的数学表述,如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等,大多可以表述为:f(x)=A sin( 31+ 书)这里t表示时间,A表示振幅,3为角频率,书为初相(与考察时设置原点位 置有关)。然而,世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单,如方波、三角波等。傅叶里就想,能否用一系列的三角函数 An sin(n 31+书)之和来表示那个较复杂 的周期函数f(t)呢?因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。于是, 傅里叶写出下式:(关于傅里叶推导纯属猜想)f(t) = 4 +三4血0叔+昭)H

4、=1这里,t是变量,其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比,5式中多了一个n,且n从1到无穷大。这里f(t)是已知函数,也就是需要分解的原周 期函数。从公式5来看,傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线 性叠加,这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量(即式中An)、有不同的周期或说是频率(是原周期函数的整数倍,即n)、有不同的初相角(即),当然还有一项常数项(即 A0)。要命的是,这个n是从1到无穷大,也就是是 一个无穷级数。应该说,傅里叶是一个天才,想得那么复杂。一般人不太会把一个简 单的周期函数弄成这么一个复杂的表示式。但傅里叶认为,式子右边一大堆的 函数,其实都是最简单的正

5、弦函数,有利于后续的分析和计算。当然,这个式 能否成立,关键是级数中的每一项都有一个未知系数,如A0 An等,如果能把这些系数求出来,那么5式就可以成立。当然在5式中,唯一已知的就是原周 期函数f(t),那么只需用已知函数f(t)来表达出各项系数,上式就可以成立, 也能计算了。于是乎,傅里叶首先对式5作如下变形:儿 金11(加处十 诲)二 川用宙口您呂(旳血)十/附cos假呂in(n凶) 这个变换并不陌生,源自于三角公式,sin(a)= sincz cos/? cos tz sinp式中左蓝色项朋vin诈和加豊厲均为営数*写作陽*血伦 皤4伦且令守M这样,公式5就可以写成如下公式6的形式:几)

6、= + 吗 5(刖血)* S 血(问) 工 n=l这个公式6就是通常形式的三角级数, 接下来的任务就是要把各项系数 an和bn 及a0用已知函数f(t)来表达出来。2、三角函数的正交性:这是为下一步傅里叶级数展开时所用积分的准备知识。cosx , sinx , cos2x , sin2x ,,cos nx , sinnx ,一个三角函数系:1, 如果这一堆函数 n 上的积分等于零,co s nxdx - 01C)_打| ITs in r?xdx = 0-57打s in kx cos nxdx 0cos kx cos nxdx - 0(血卫二1, Z 3,.工门一宜(包括常数1)中任何两个不同函

7、数的乘积在区间 卜n, 就说三角函数系在区间卜n , n 上正交即有如下式子:sin kx - sin= 0(k, n = 1,2, 3* ;k 4-门)cos和。除了4第5两个式中,k不能等 变成同一函以上各式在区间卜n , n的定积分均为0,第1第2式可视为三角函数 sin与1相乘的积分;第3-5式则为sin和cos的不同组合相乘的积分式 这5个式子外,不可能再有其他的组合了。注意,第 于n,否则就不属于“三角函数系中任意两个不同函数”的定义了, 数的平方了。但第3式中,k与n可以相等,相等时也是二个不同函数。下面通 过计算第4式的定积分来验证其正确性,第 4式中二函数相乘可以写成:cos

8、fcx= cos( + h)a + cos(A-/i)这牛就是三角公式中的”积化和差力当kHTl时,有:cos kx - cos mdx =cos(jfr + ri)x + cos(A: - n)xdx_ 1 rsin(t+J?)x i sin(i-22)jL1Jr,|=2 k+n+ 厂J =10+0 = 0可见在指定-n , n的区间里,该式的定积分为 0。其他式也可逐一验证3、函数展开成傅里叶级数:先把傅里叶级数表示为下式,即式:几)=牛+叫 心3创)十血 血(如)对式从卜n , n积分,得:CgjJT/(O = 74 + tZK g出叔)+4 sin()匸k=i上式右边第二个积分项,由于

9、三角函数系的正交特性 各项在-貳到谕分时均为所以有这就求得了第一个系数a0的表达式,即最上边傅里叶级数公式里的式。接下 来再求an和bn的表达式。用cos(k 31)乘式的二边得:COti 他曲) /(;) = 2g+化.cos( Jtftt) - c os(/&r) + bti cos(jt6rf) - s in (ncet)M=1然后对上式从-;r到用逐项积分:COE如I)学ggg+兀务 | con(ktt)t)-IsiriQ/f.rfA n-l同样*根据三角函数系的正交性,红色项积分为0蓝色项里仅当k7这一项积分不为其余顼也为0.所以有:J cos(4ii)=0 cos(jtzc) co

10、s(j?oA一勺 =计2并二爼7T从而有:(把氏写Qco飙昇曲丿-爲=打:同样,再把式二端乘以対讥畑巧,可以得到:至此,已经求得傅里叶级数中各系数的表达式,只要这些积分都存在,那么 式等号右侧所表示的傅里叶级数就能用来表达原函数f(t)。上述过程就是整个傅里叶级数的推导过程。事实上,如果能够写出式,不难求出各个系数的表 达式,关键是人们不会想到一个周期函数竟然可以用一些简单的正弦或余弦函 数来表达,且这个表达式是一个无穷级数。这当然就是数学家傅里叶的天才之 作了,我等只有拼命理解的份了。综上,傅里叶级数的产生过程可以分为以下三步:1、设想可以把一个周期函数f(t)通过最简单的一系列正弦函数来表示,即5式;2、通过变形后用三角级数(含 sin和cos )来表示;3、通过积分,把各未知系数用f(t)的积分式来表达;4、最后得到的4个表达

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