离散时间系统状态稳定性附判别法

1、5.4 离散时间系统状态稳定性及判别法1. 离散时间系统的平衡状态 (点 ) 设x(k 1) Ax(k), x(0) x0, k 0, 1, 2, L ,(5.17) 称 Axe 0的 xe为 (5.17)的平衡状态 (点 ). 当 A 奇异时 , 有无数个平衡状态 .2. 平衡状态 (点 )的稳定性(1)稳定：0,0,使当 x0 xe时 ,有x(k) xe, k 0；1 / 10(2)渐近稳定：0,使当 x0 xe时 ,有lkim x(k) xe 0；(3)全局渐近稳定：任意 x0 Rn,都有 lim x(k) xe 0；k(4)不稳定： 0 0, 无论 多小正数 , 总有 k1 0, 使

2、x(k1) xe 0对定常系统 , 渐近稳定 全局一致渐近稳定 .3. 稳定性判别对定常系统 x(k 1) Ax(k)若 xe 0稳定 (渐近稳定 )，则其它 xe也稳定 (渐近稳定 )；若 xe 0渐近稳定，则 xe必为一致全局渐近稳定；简单介绍 xe 0稳定性条件 设(5.17)的解x(k) Ak x0, k 0, 1, 2, L 则渐近稳定lkim x(k) 0 lkim Ak x0 0(x0 0), kkk k 1 k lim Ak 0 lim TJ kT 1 0 lim J k 0 k k kA 的所有特征值的模全小于 13 / 10A 的所有特征值都位于复平面上的单位圆内 其中 J

3、 为 A 的若当形 .kJ1 如JkJ1k且再如1k0kkCk1 k 1Ck2 k 2J1k010kCk1 k 10000kJr0JrkA 的所有特征值的模全小于 1A 的所有特征值都位于复平面上的单位圆内例 设 A 有互不相同特征值 1, 2,L则 T, 使Ak Tkk1T -1 T由此可得5 / 10n,L,2,1n,L,2,1i,0lim Ak 0.k定理 5.12 系统为 (5.17)的稳定性判定如下：(i) xe 0稳定 A 所有特征值的模全小于 1 或等于 1, 且模等于 1 的特征值对应的约当块是一阶的；(ii) xe 0渐近稳定 A 的所有特征值模全小于 1. 对一般非线性系统

4、(5.18)x(k 1) F(x(k), k 0, 1, 2, L 在 xe 0(设 F(0) 0)的稳定性判定方法有定理 5.13 对(5.18), 若 x(k)的标量函数 V ( x(k ) ,满足(i) V(x(k)为正定；(ii) V(x(k) V(x(k 1) V(x(k) 负定；(iii) 当| x(k)|时,有V(x(k).则 xe 0全局渐近稳定的 .若无 (iii), 则 xe 0是渐近稳定的；再若 (ii) 中 V(x(k)为半负定 , 则 xe 0仅是稳定的 . 定理用于定常系统 (5.17), 即得7 / 10定理 5.14 线性定常离散 (5.17)的 xe 0为渐近

5、稳定对 Q 0, 李雅普诺夫方程AT PA P Q有唯一正定解 P.证 只证充分性 ,即已有对 Q 0, AT PA 令V(xk ) xkT Pxk , 则有V(xk ) V(xk 1) V(xk )PQ有唯一解 P 0,xkT 1Pxk 1 xkT PxkxkT (AT PA P)xkxkTQxk,显见 V(xk )为负定 , 故 xe 0渐近稳定 .例 5.6 设x(k 1)试分析稳定的条件 .解 选 Q = I, 则有 AT PA a 0 p11 p12 a 0 b p21 p22 0x(k)0bPI, 即0p11 p1210bp21 p2201a09 / 10整理且比较 , 得p11(1 a2) 1, p12(1 ab) 0, p22(1 b2) 1, 要 P 为正定 , 需满足|a| 1, |b| 1,