概率论基础复习题及问题详解

1、标准概率论基础本科填空题(含答案)1设随机变量的密度函数为 p(x), 则 p(x) 0; p(x)dx = 1 ； E= xp(x)dx 。考查第三章2设 A,B,C 为三个事件， 则 A,B,C 至少有一个发生可表示为： A B C ；A,C 发生而 B 不发生可表示ABC ；A,B,C 恰有一个发生可表示为： ABC ABC ABC 。考查第一章3设随机变量 N(0,1) ，其概率密度函数为0 (x) ，分布函数为 0 (x) ，则 0(0) 等于 1 ， 20(0)等于 0.5 。考查第三章4设随机变量具有分布 P=k= 15， k=1,2,3,4,5 ，则 E=3，D=56考查第五章

2、已知随机变量 X，Y 的相关系数为 rXY ,若 U=aX+b,V=cY+d,其中 ac0. 则 U ，V 的相关系数等于考查第五章设 X N( , 2 ) ，用车贝晓夫不等式估计： P(| X | k ) 1 12 k文案标准考查第五章7 设随机变量的概率函数为P= xi = pii1,2,.,则pi0 ；pi= 1； E=xi pi 。i 1 i 1考查第一章8 设 A,B,C 为三个事件，则 A,B,C 都发生可表示为： ABC ；A 发生而 B,C 不发生可表示为： ABC ； A,B,C 恰有一个发生可表示为： ABC ABC ABC 。考查第一章9 X N(5,4)，P(X c)

3、P(X c)，则 c5 。考查第三章2410 设随机变量 在1 ， 6上服从均匀分布，则方程 x2 x 1 0 有实根的概率为 。5考查第三章 较难11 若随机变量 X，Y的相关系数为 rXY ,U=2X+1,V=5Y+10则 U，V 的相关系数 = rXY。考查第三章112 若 服从 , 的均匀分布， 2 ，则 的密度函数 g(y) g(y) y 。2 2 2考查第五章文案标准13设 P(A) 0.4，P(A B) 0.7，若 A与B互不相容，则 P(B) 0.3 ；若 A与 B相互独立， 则 P(B) 0.5 。14将数字 1，2，3，4，5 写在 5 卡片上， 任意取出三排列成三位数，这

4、个数是奇数的概率 P( A )=考查第一章考查第一章15若 B(10,0.8) ， E8 ， D1.6 ，最可能值 k016考查第二、五章设随机变量 X 的概率密度为 f (x) xe0000，则 E(3X)=E(e3X ) = 116考查第四、五章17任取三线段分别长为 x,y,z 且均小于等于 a，x,y,z 可构成一三角形的概率考查第一章(较难)18设随机变量 X，Y的相关系数为 1，若 Z=X-0.4, 则 Y与 Z的相关系数为 1 考查第五章文案19 若 N(3,0.16) ， E0.16标准考查第五章20. 若 B(10,0.7) ， E( 9) 16 ， D(2 3) 8.4考查

5、第五章21. 某公司有 A、B、C三个生产基地生产同一种产品， 产量分别占 20% ，45%和 35% 三个基地的产品各有 30%，20% ，25% 在市场销售则该公司任取此产品一件，它可能在销往市场的概率为0.2475 考查第二章22. f (x)为一维连续型随机变量 X 的概率密度函数，则有f (x)dx 1 ；若离散型随机变量 Y 具有分布列 P(Y yk ) pk, 则pk1kn1,p及 n2,p，则 X Y 服从参数为 参数为考查第三章23. 若 X ,Y 是相互独立的随机变量，均服从二项分布，参数为n1 n2, p 的二项分布分布考查第四章24. 设随机变量 X服从参数为 0和2的

6、正态分布 N (0,2) ,则 EX =0; DX =2考查第五章25 设 A,B,C 为任意三个事件，则其中至少有两个事件发生应表示为ABC ABC ABC ABC 。考查第一章27 若二维随机向量( , )的联合密度函数文案标准P(x,y)=2r2 exp 2(1 r1 (x a1)22 2)12r(x a1)(y a2)12(y a22)2 2则 E = a1, D21 , E = a2 , D22 Cov(, )= r 1 2 .考查第五章28 两人相约 7 点到8 点在某地会面，先到者等另一个人 20分钟，过时就可离开，则两人能会面的概率为5/9 。考查第一三章选择题（含答案）1.

7、一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐” ）的红球数与黑球数之比为 2：1 ，另一罐（取 名“乙罐”）的黑球数与红球数之比为2： 1，今任取一罐并从中依次取出50 只球，查得其中有 30 只红球和 20 只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的 （ D ）（A）2 倍 （ B） 254 倍（C）798 倍（D）1024 倍2. 在 0,1 线段上随机投掷两点，两点间距离大于 0.5 的概率为 （ A ）（A）0.25（B）0.5（C） 0.75（ D ） 13. 设独立随机变量 X，Y 分别服从标准正态分布，则 X + Y 服从（ C ）2（A）N（2,0）

8、（B）自由度为 2 的 2 分布（ C）N（0,2）（D ）不能确定4. 设 P（X=n ）=a n （n 1,2,.）且 EX=1 ，则 a 为（ B ）3 5 1 5 1（A）1 （B）（ C）（ D）2 3 25下列论述不正确的是 （ B ）文案标准（A）若事件 A 与 B 独立则 A 与 B 独立（B）事件 A B 不相容则 A 与 B 独立（C） n 个事件两两独立不一定相互独立（ D）随机变量 和 独立则二者不相关6甲乙两人各投掷 n 枚硬币，理想状态下甲乙两人掷得正面数相同的概率为（ C ）n11（A）0 （B）Cnk（C） （ ）2 n C2nn （D） （ ）2nk 0 2

9、27.设独立随机变量 X，Y 分别服从标准正态分布，则 X + Y 服从 （ C ）2（A）二项分布（B） 2 分布（ C）N（0,2）（D）不能确定）。8.对于任意事件 A与 B ，有 P（A B） （ CA) P(A) P(B)B) P(A)P(B) P(AB)C) P(A) P(AB)D) P(A)P(AB)9.在0, a 线段上随机投掷两点，两点间距离大于a的概率为 （ D ）2A）1(B) 0.75C)0.5D ) 0.2510.设P( X=n )=a n (n1,2,.) ，其中a 为 3 5 ，则 EX= ( B )2A）5 ( B) 1C)0.5D）11 下列论述不正确的是A

10、） n 个事件两两独立不一定相互独立B）若事件 A 与 B 独立则 A与 B 独立C）事件 A B 不相容则 A 与 B 独立D）随机变量 和 独立则二者不相关12 掷 n 枚硬币，出现正面的概率为p ，至少出现一次正面的概率为 （ A ）A) 1 (1 p)n(B) Cn1p(1 p)n 1(C) 1(D)1 p文案标准13.设 A， B为两个互斥事件，且 P（A）0，P（B）0 ，则下列结论正确的是（ C ）。14. 事件 A，B 相互独立，1P(AB)911（A）（B）3215.随机变量X 服从（ D）分布时，（A）正态（B）指数,P(AB)P（AB） ，P（A）=（ D ）。（C）20

11、(D )3DXEX 。( A ) P(B|A)0,( B) P(A|B)=P(A)(C ) P(A|B)=0（D）P(AB)=P(A)P(B)考查 第二章（C）二项（D ）泊松（ Poisson ）16.设 X N(,42),Y N( ,52) ，记 p1 P(X4), p2 P(Y5），则（A )A ）对任何实数 ，都有 p1 p2B）对任何实数，都有 p1 p2C）只对 的个别值，才有 p1 p2D ）对任何实数 ，都有 p1 p217 若有十道选择题，每题有 A、B、C、D 四个答案，只有一个正确答案，求随机作答恰好答对六道的概率为（B ）A）18 某课程考试成绩 XB) C10 (1)

12、 (3)446D ) e 6!2N（72, 2）, 已知 96分以上占 2.3% ，则 6084 分所占比例为（ A）已知 2 0.977 )（A） 2 （1） 1（B）1（2）（C） 2 （2） 1（D） 0.519. 设独立随机变量 X，Y 分别服从标准正态分布，则 X Y 服从（ C ）2（A）泊松分布（B） 2 分布（ C）N（0,2）（D）不能确定 20.对于任意事件 A B，有 P（A B） （ A ）。文案标准A) P(A) P(B)B)0C)1D)P(B)21. 设随机变量 的密度函数为p(x)acosx2其它则常数 a 为（ B ）1 A)31B)2C）D)122 下列述不正

13、确的是（ D）A）两两独立不一定相互独立B）若事件 A 与 B 独立则 A 与 B 独立C）事件 A B 独立则 P（A|B）P(A)D ）随机变量二者不相关则和 独立23. 下列数列可以构成分布列的是（C）A) (1)n n 1,2,. (B)31,2,. (C)(1)n n 1,2,. 02D)1n 1,2,.24 下列述不正确的是B）A ） 和 不相关则D(D(D（ ） （B）随机变量二者不相关则独立C） 和 不相关则cov( ,D）随机变量二者不相关则E(25事件 A,B,C 中，A发生且 B与C 不发生的事件为： （ C ）A) A B C ；B) ABC ABC ABC ；(C)

14、A BC；D ) A B C.26设 A,B 为相互独立的两事件，则下列式子中不正确的是：(A) P(A B) P(A)P(B) ；B) P( AB) P(A)P(B) ；C) P(B|A) P(B)；D) P(AB) P(A)P(B).27 工厂每天从产品中随机地抽查50 件产品，已知这种产品的次品率为0.1% ，则在这一年平均每天抽查到的次品数为：（ A ） （A）0.05; （B）5.01 ; （C）5; （D）0.5 . 文案标准28 X U(0,1),Y 3X 2,则Y服从分布：( C )A) U ( 2,3); (B)U( 1,1);(C)U ( 2,1);D)U ( 1,0).2

15、9 设随机变量 X,Y 的联合概率密度为 f (x,y)(2x y)2e , (0 x, y). 则：( B )A) X,Y 不相关； (B)X,Y 相互独立；C) X,Y 相关；D) X,Y 不相互独立30事件 A，B 互不相容，是指(A) P (AB)= P (A) P (B)(B) A B=(C) AB=(D) A B=计算题(含答案)设随机变量只取非负整数值，其概率为Pkk (1 a)k 1， a0 是常数，试求 E 及 D解：记 t= a 11akE = k 1k(1 aa)k1(1 aa)2 k 1k (1k1ak1a)k 1(1a)2ktk1(1aa)2(tk)k1a t a(

16、t )=(1 a)2 1 t (1 a)2 (1 t) = aE22 akk 1 k (1 a)k 1k(kk1k1)(1 aa)k1kkakk k 11 (1 a)k 12a(1 a)3 k(t k) a12a2(1 a)3 (11t)3a= 2a 2D E 2 (E )2= a2a二炮战中，在距离目标 250 米，200 米， 150米处射击的概率分别为 0.1, 0.7, 0.2, 而在各处射击时命中目标的概率分别为 0.05, 0.1, 0.2 。任射一发炮弹，求目标被击中的概率。若已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标250 米处射出的概率。解：1) 设A1, A2 , A3分别

17、表示炮弹从 250 米，200 米，150 米处射击的事件文案标准B 表示目标被击中。则由全概率公式P(B) P(A1)P(B|A1) P(A2)P(B| A2) P(A3)P(B |A3)= 0.1 0.05 0.7 0.1 0.2 0.2 0.1152) 由 Bayes 公式P(A1|B)P(A1)P(B | A1)P(A1)P(B|A1) P(A2)P(B| A2) P(A3)P(B|A3)0.1 0.050.11510.04323X 服从分22 ) 已知 90 分以上有 359 人，60 分以下有 1151 人，问被录用者中最低分为多少？X 的分布函数为 f (x)(x2)22某单位招

18、聘 2 500 人，按考试成绩从高分到低分依次录用，共有 10 000 人报名，假设报名者的成绩2XX N( , 2), N(0,1)XPX 90 P901(90359100090 359( ) 11000(60 ) 1151 ( ) 100000.96410.1151标准正态分布表可得到=72 和 2 =100 的值，然后令录取的最低分为 x0 ，则XP X x0 Px0x0250010000从而得到 x0 79, 即录取的最低分为 79 分。四从 1 到 2000 这 2000 个数字中任取一数，求1 )该数能被 6 整除的概率；2 )该数能被 8 整除的概率；3 )该数能被 6 和 8

19、整除的概率；文案标准4 )该数能被 6 或 8 整除的概率。解：利用古典概型的公式P(A) m A所含样本点数P(A) n 样本点总数 有利于 A的场合数样本点总数1)333250；2)200020001 838 ； 3) 2000 ；4)P(能被8整除)P(能被6整除)P(既能被6整除又能被 8整除) 333 2000141 838 2000五空战中，从 A1 ， A2 ， A3处射击的概率分别为 0.2, 0.7, 0.1, 而在各处射击时命中敌机的概率分别为0.2, 0.1, 0.05 。任射一发炮弹，求敌机被击中的概率。若已知敌机被击中，求击中敌机的炮弹是由A3 处射出的概率。解：1)

20、 设 B 表示目标被击中。则由全概率公式P(B) P(A1)P(B|A1) P(A2)P(B| A2) P(A3)P(B |A3)= 0.2 0.2 0.7 0.1 0.1 0.05 0.1152) 由 Bayes 公式P(A3)P(B| A3)P(A3 |B) P(A1)P(B|A1) P(A2)P(B| A2) P(A3)P(B| A3)0.1 0.05 1 0.0430.115 23六一地区农民年均收入服从500 元，20元的正态分布，求：该地区农民年均收入在 500元 520 元间的人数的百分比；如果要使农民的年均收入在( a, a) 的概率不小于 0.95 ，则 a至少为多大？3 个

21、农民中至少有一个年均收入在 500 元 520 元间的概率。2 N 500,202文案标准解：（1）P 500520520 500500 5000 1 0 0 0.84130.5 0.3413 ( 2 )0 200 20Paa 0.95 ，Pa0.95， 2 01 0.9520200 20可得a1.96，a 39.220（3）考虑反面没有一个年收入在围中的情形，其概率为：C30 ( p1)0 (1p1)3，1 C30 (0.3413)0 (10.3413)31 0 1七设随机变量X i : 1 1 1（ i=1,2 ） ,且满足P X1X2 01，则求概率P X1 X2 。424解：由 PX1

22、X2 0 1，得 PX1X20 0 ，即PX11,X2 1PX1 1,X21 PX1 1,X21 PX11,X 2 10再根据联合分布与边际分布的关系可以求得X1和 X2 的联合分布。X2X1101PX1 xi pi1014014010114421014014PX2yi p j111424所以 P X1 X2 0.文案标准八、有一袋麦种，其中一等的占 80% ，二等的占 18% ，三等的占 2% ，已知一、二、三等麦种的发芽率分别为0.8，0.2，0.1 ，现从袋中任取一粒麦种： 试求它发芽的概率； 若已知取出的麦种未发芽，问它是一等麦种的概率是多少？解：设事件 A1 “取出来的种子是一等种子

23、”A2 “取出来的种子是二等种子A3 “取出来的种子是三等种子”B “取出的种子发芽”B “取出的种子未发芽”由题：P(A1) 80% P(A2) 18% P(A3) 2%P(B| A1)0.8 P(B|A2) 0.2 P(B| A3) 0.1P(B | A1)0.2 P(B |A2) 0.8 P(B |A3) 0.91 ）全概率公式P(B) P(A1)P(B |A1) P(A2)P(B|A2) P(A3)P(B|A3)=67.8%2 ）贝叶斯公式P(A1|B)P(A1)P(B | A1)P(A1)P(B|A1) P( A2)P(B | A2) P( A3 )P(B |A3)=0.497202

24、P0.20.30.30.2求22 1 的分布列。解：九、 设随机变量的分布列为文案标准1 ( 2)2 1 02 1(2)20.20.30.30.2整理得的分布列十、某师院的毕业生，其中优等生，中等生，下等生各占20% ， 65% ， 15%. 毕业后十年，这三类学生能成为优秀教师的概率各为 80% ，70% ，55%. 求该学院毕业的学生十年后成为优秀教师的概率。解：记 B= 成为优秀教师 P(B) P(A1)P(B| A1) P(A2)P(B|A2) P(A3)P(B|A3)80 20 70 65 55 15 6975100 100 100 100 100 100 10000一、将一颗均匀的

25、骰子连掷两次，以表示两次所得点数之和。求1)的分布列； 2)E。解：1)23456789101112pi123456543213636363636363636363636122) E kP kk21212 3 . 12363636252736十二、设二维离散型随P机向量(，)的联合分布列为：文案0.3 0.5 0.2标准0121CCC1010102C2C2010102CC3100101 ) 求常数 C;2) 求，的边缘分布列；3)求2 的条件下，的条件分布列；4 ) 判断与是否相互独立。解： 1 ) C=1;2)012pig10.10.10.10.3200.20.20.430.200.10.3

26、pgj0.30.30.4和 的边沿分布列为：123P0.30.40.3012文案十三、一个篮球运动员的投篮命中率为0.6，以 X 表示他首次命中时累计的投篮次数。写出X 的分布律解：分布律为 P X k (0.4)k 1(0.6)1,2,十四、已知连续型随机变量有密度函数p(x)kx0x2其他求系数 k 及分布函数，并计算P1.5 2.5解：由密度函数的性质2 k 2 p( x) dx(kx 1)dx ( xx)2k 2当x0时，p(t)当0文案xF(x)0, F(x)x 2时， F(x)x(10p(t)dt1t)dt2(t14t2)12x4标准P0.30.30.43)|2012P00.50.

27、5整理得：|212P0.50.54）因为 P 2,00 0.4 0.3 P2P 0所以 与 不相互独立标准当 x 2 时， F(x) 10 x 0 12F(x) x x2 0 x 241 x 212P1.5 2.5 F(2.5) F(1.5) 1 1.5 (1.5)2 0.06254五、设随机变量 X,Y 的联合分布为YXY123400.000.030.050.0210.120.050.070.0120.080.030.080.1130.050.04x0.06求 x, 及 X,Y 的边际分布(直接填写在表中) ，给出 X 在Y 2的条件下的条件分布解：x = 0.2X 在 Y 2 的条件下的条

28、件分布为X|Y 212344141115101530六、设二元连续型随机向量( X ,Y )的联合密度函数为求 X,Y 的数学期望、方差和相关系数x解：当 0x1 时， P (x)x1dy 2x文案f (x, y)而x1当 -1y0 时， P (y) 1y1dx 1 y1,0,0 x 1,| y| x,其它.0,或 x 1时， P (x) 0标准当0y 1,P (y)1y1dxy而1,P (y)10x2xdx23x3101y(1y)dy001y(1y)dy 0 ，(E)210x2xdx22(23)22(23)118(E)2Cov()E10(xx xy 1dy)dx) DDCov( r综合应用题

29、(含答案)1.设二维连续型随机向量, )的联合密度函数为Axy30p(x,y)x20 x 1,0 y 2其它其中 A 为常数，求：常数 A;, 的边沿密度函数 , 的条件密度函数1)2)3)p1(x), p2(y); p(x y), p(y x)所以文案4)解：判断 与 是否相互独立；1)由密度函数的性质：1dx0p(x, y)dxdyx2x22x2y101 2xA3xy dxdyAxy3Axy26dy20 dy23x32Ax3Ax3dx2A3331标准2)由边沿密度的计算公式，及p(x, y)0 的直观图形：p1(x)p(x, y)dy当x当00或 x 1时 p(x, y) 0,所以 p1(

30、x) x 1 时，所以p1(x)2x2p1( x)x2xy32x2dy2xy0x其它p2(y)p(x, y)dx2xy6当y当00；0或 y 2时， p(x,y) 0，此时 p2 (y) y 2 时所以：1p2( y) 0x2p1(x)xy3dx13x32x6yy 其它3 )由条件密度的计算公式：当 0 y 2 时 p2 (y) 0 ，此时条件密度存在，且p(x, y)p(x y) p2(y)x2xy31y600x其它20x其它6x 2 2xy 2y 0当 0 x 1时， p1(x) 0 ，此时条件密度存在，且文案标准4)显然： p(x,y)所以 与 不独立。文案p(yx) pp(1x(,yy

31、)p1(x)p2(y)2. 设 (X,Y) 服从单位圆上的均匀分布，1, f(x,y) ,0,y2 1其它2x2xy30y2其它23x xy6x2 2x00y2其它3x y6x 200y2其它概率密度为：试求 fY|X ( y | x) ，并讨论 X，Y 的独立性。解： (X,Y)fX (x)当 | x | 1关于 X 的边际密度为：f (x,y)dy 10,时,有fY|X(y|x) f (x,y)fX (x)1(2 ) 112 1 x2当 | x| 1 时 , 有fY|X(y| x)2x,|x|x|x21 x212 1 x20,1 x2y 1 x2y 取其它值标准fY|X (y |x)f (x,y)fX (x)fY(y) ，X，Y 不独立。3.设二维随机变量 （X,Y） 的概率密度为22f(x, y)A(x2 y) x2 y 10 其它1 ） 求常数 A ；fX (x)32(1 2x2 3x4)1x1其它fY (