A01专题一集合与简易逻辑

1、专题一集合与简易逻辑【考点聚焦】考点1:集合中元素的基本特征，集合的表示法，元素与集合的关系，集合与集合之间的包含关系，集合的交、并、补运算。考点2 :绝对值不等式、一元二次不等式及分工不等式的解法。考点3 :简单命题与复合命题的相关概念，真假命题的判断，四种命题及其关系，反证法 的证题思想。考点4 :充分必要条件的有关概念及充分条件与必要条件的判断。【自我检测】1、 ，称集合A是集合B的子集；2、 ，叫做集合U中子集A的补集；3、 ，叫做A与B的交集；4、 ，叫做A与B的并集；5、 如果已知 ，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件；如果，那么p是q的充分且必要条件；【重点难点热点】问题1:

2、集合的相关概念1解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于 用描述法给出的集合x|xP,要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P;要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题2注意空集一的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，女口 A二B,则有A=._或A壬一两种可能，此时应分类讨论2 2例 1:设 A=( x,y)|y x-仁0, B=( x,y)|4x +2x 2y+5=0, C=( x,y)|y=kx+b,是否存在 k、 bN，使得(AUB) 00= 一，证明此结论思路分析：由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判

3、别式对根的情况进行限制，可得到b、k的范围，又因b、kN，进而可得b、k的值寸=x +1 =kx +b解(AUB) PC=._ , A0C= 一 且 B AC=._2 2 2kx+(2bk 1)x+b 1=0A CC=.1=(2bk 1)2 4k2(b2 1)0 4k2 4bk+10, 即b21f 2.4x +2x 2y +5 =0-丿y =kx +b24x +(2 2k)x+(5+2b)=0B AC=;:二, A2=(1 k)2一 4(5 一 2b)0k2 2k+8b 190,从而 8b20, 即b2 5由及b N，得b=2代入由A0和A0图所示，则p必须且只需满足0解得2v pv 1 或

4、3v pv 4,即 p ( -2,-1) 一 (3,4).2点评：一般地，若方程f (x)二ax bx 0(a - 0)有两个实根，一个根大于m, 个 根小于 m u f (m) : 0 .、23演变3:方程x - x=k在(一 1,1 )上有实根，求k的取值范围。2点拨与提示：本题主要考查二次方程的解与二次函数和x轴交点横坐标之间的关系，以及考生运用转化和化归的思想分析问题、解决问题的能力。问题3 :充要条件1要理解 充分条件”必要条件”的概念，当 若p则q”形式的命题为真时，就记作p= q, 称p是q的充分条件，同时称 q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为 判断命题的真假2

5、要理解 充要条件”的概念，对于符号 匕”要熟悉它的各种同义词语等价于”，当且仅当”，必须并且只需”，“，反之也真”等.3数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的 性质4从集合观点看，若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A、 B互为充要条件5证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的 逆命题成立(即条件的必要性).例4：已知p： |1 匸11 0)，若p是q的必要而不充 3分条件，求实数m的取值范围.思路分析 利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使

6、问题解决解：由题意知，命题 若- p是- q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件x -1x - 1X -1p: |1| 2 2W K2 1W W3 2$W 103332 2 q : :x 2x+1 m 0 x (1 m) x (1 + m) 0 *p是q的充分不必要条件，不等式|12解集是x2 2x+1 m20)解集的子集”3又/m0不等式*的解集为1 m(9实数m的取值范围是9, +8)点评本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充 分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性。本题解题的关健是利 用等价命题对题目的文字表述

7、方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了演变4：已知数列a.的前n项Sn=pn+q(pz Cp丰1求数列an是等比数列的充要条件 点拨与提示本题重点考查充要条件的概念及解答充要条件命题时思维的严谨性，因 为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明 专题小结1 解答集合有关问题，理解集合的意义是关键，其次注意集合中元素的互异性，空 集是任何集合的子集等问题，此外还要注意转化与化归，分类与整合，数形结合等数学思 想的运用2 命题真假的判断，先应分清所给命题是简单命题还是复合命题，若是复合命题则 依据复合命题真值表来判定3 充分不必要条件、必要不充分条件、

8、充要条件、既非充分又非必要条件的判定必须坚持双向”考查的原则，也可以转化为判断原命题与其等价的逆否命题的真假【临阵磨枪】一.选择题1设集合 M = x|x2, P=x|x3,则 xM 或 xP”是 x M c p ”的()A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D非充分也非必要条件x22 若集合 S= y|y=3 ,X R ,T=y|y=X -1,X R,则 ST 是（ ）ASB TC D 有限集3 （06 年天津）已知集合 A=x|-3_x_1 , B=x|x|_2，则 A B=（）Ax|-2_x_1 Bx|0_x_1 Cx|-3_x_2 Dx|1_x_2X 14 （05 年湖南）集合

9、 A = x|v 0, B = x | x-b|v a，若 a = 1”是 “AQ B沖”X +1的充分条件，则b的取值范围是（）A - 2V 0B 0v bW2 C - 3v bv- 1D1lv 25方程mx2 （2m 1）x m = 0有两个不等的实根，贝U实数m的取值范围是（）1 111A （B （-二，）C ，:D （,0）（0,匸：）4 4_4426 若a R，且对于一切实数x都有ax ax a 30 ,那么a的取值范围是（）A （0, a）B0，亠 C （ - ： ：, -4）D （-二，-4） L （0,：）2 27下列四个命题：若x y =0,则实数x,y均为零”的逆命题； 相

10、似三角形的 面积相等”的否命题； 若A B二A，则A B”的逆命题； 末位数不为零的数 可被3整除”的逆否命题其中真命题有（）ABCD1, （XO）&给出命题：p: f（x）3,q: f（X）=丿在R上是连续函数，则在下列三个-1,（0）复合命题“p且q” ,或q”，非p”中，真命题的个数为（）A 0个B 1个C 2个D 3个9 （ 06年江苏）若A、B、C为三个集合，A B =B - C，则一定有（）A A_CB CAC A=C（ D） A =：10 设A、B是集合，A非空，已知“A的元素都是B的元素”是假命题，则下列命题中，可能成立的是（）A的元素都不是B的元素；存在 A的元素不是B的元素

11、；存在 A的元素是B 的元素；不是 B的元素都不是 A的元素。ABCD二填充题11. 设U是全集，非空集合 P, Q满足 P p =U, 若含P, Q的一个集合运算表达式， 使运算结果为空集 0，则这个运算表达式是 (只要写出一个表达式)。2 * 2 *12. 设集合 A = X|x=a +1,a N , B = yy=b +4b + 5,b N ,则 A 与 B的关系是13. 关于x的方程x2 (2a1)x+a2 2 = 0至少有一个非负实根的充要条件是14. 已知命题p:函数y =log0.5(x2+2x+a)的值域为R，命题q：函数y = (5 2a)x是减函数若p或q为真命题，p且q为

12、假命题，则实数 a的取值范围是三.计算题、 2 215已知集合 A = (x，y) |ax+y=1 ,B=(x,y)|x+ay=1,C=(x,y)| x y = 1,试问：(1 )当a取何值时，(A 一 B) C为含有两个元素的集合？(2)当a取何值时，(A B) C为含有三个元素的集合？2 216. 已知三个集合 E =x| x -3x 2 = C ， F =x | x - ax (a - 1) = 0，2G二x|x -bx，2 = C，同时满足F二E,G E的实数a和b是否存在？若存在， 求出a,b所有值的集合；若不存在，请说明理由2 2 217. 集 合 A=x|x -ax a -19=

13、C ， B=x|log2(x -5x 8)=1，C =x|x2 2x C，求a的值使A B N，且A C = 同时成立。18. 已知关于x的实系数二次方程 x2+ ax+ b=0有两个实数根 a 3,证明：| a|2且| 32是2|a|4+ b且|b|4的充要条件答案与提示：1. B 提示：M N 二x |2 ： x ： 32. A 提示：S =y | y 0, T =y | y 一13. A 提示：集合 B -x| 2 Ex E2 , A B=x|2Ex14. D 提示：由题意得：A: -1x1,B:b-axa+b ,由” a=1是 A BC的充分条件.则A : -1x1与B: b-1x1+

14、b交集不为空，所以-2b 0恒成立；当a0时，由0或a0 ;当 aQ7. C 提示：即 实数x,y均为零，则x2 y0 ”命题成立；即 两个三角形不相 似，则面积不相等”不成立；原命题成立，则逆命题也成立；原命题不成立，逆命题也不成立.8. B 提示：只有p或q是真命题9. A 提示：由 A B =B C 知，A B B, A B C A B C，选(A)10. D 提示：因为“A的元素都是B的元素”是假命题，即 A中元素不全是B中元素, 故、正确。11. CU (QQP) 提示：根据真子集的定义即可写出Cu (QQP).12.B宇 A 提示：注意 a,b 都是正整数，A = 2,5, 10,

15、17,26, B = 10,17,26,13.- 、2 Ea兰9 提示：当有一个负实根时，x1 x0，即一 J2 Ex兰丁2 ；当9a 二一41a -2：-、2 或 a242 2也=(2a1) -4(a 2)0有两个负根时，*x1 +x2 =2a -1 0, 即=2X1 X2 = a - 2 a 01即2 : a _ 9，综合得-. 2 _ a _ 94414.1a2 提示：命题p为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数x2 2x a的判别式 4 -4a 0 ,从而a空1 ；命题q为真时，5 - 2a 1 = a ： 2。若p或q为真命题，p且q为假命题，故p和q中只有一个是真命

16、题，一个是假命题 若p为真，q为假时，无解；若 p为假，q为真时，结果为1a0 = b2_80ll或b或b，解得-2J2vbc2寸2或b=3.1 EG2G17 解 log2(x2 5x+8)=1,由此得 x2 5x+8=2 ,.B=2,3由 x2+2x 8=0,.C=2, 4, 又A QC=._ ,.2和一4都不是关于 x的方程x2 ax+a2 19=0的解，而 APB f 即AQBK ,3是关于x的方程x2 ax+ a2 19=0的解，可得a=5或a= 2 当a=5时，得A=2 , 3, A PC=2，这与A PC= _不符合，所以a=5(舍去)；当a=2 时，可以求得 A=3 , 5,符合

17、 APC=._ , A QB 二.一， a= 2 18.证明：(1)(充分性)由韦达定理，得|b|=a护aiv 2X2=4 设f(x)=x+ax+b,贝y f(x)的图象是开口向上的抛物线又 av 2,| 日v 2,.f( )0即有也 E 0= 4+b2a (4+b) 彳2a +b a0又 |b|v 4= 4+b0 二 2|a|v 4+b(2)必要性由2|a|v4+b二f( )0且f(x)的图象是开口向上的抛物线 方程f(x)=0的两根a, B同在(一2, 2)内或无实根.a B是方程f(x)=0的实根，a B同在(2, 2)内，即|a|v 2且用0得 m3或 m0 知，方程只有负根，不符合要

18、求当m0及X1x2=10知，方程只有正根，且必有一根在区ABC间(0, 1内，从而方程至少有一个根在区间0, 2内故所求m的取值范围是 mW 1演变2：设A, B, C分别表示参加数学、物理、化学竞赛的学生 的集合，全体学生的集合中U , U被划分为8个彼此交集为空集的集合(如右图)AQ BQC：三种竞赛均参加的学生集合的213人；AQ BQ (CuC):只参加数学、物理竞赛的学生的集合的593 213 = 380人；(CuA) Q(BQC):只参加物理、化学竞赛的学生集合有267 213 = 54人；(AQC ) Q ( CuB):只参加数学、化学竞赛的学生集合有371 213= 158人；AQCu (B UC):只参加数学竞赛的学生集合的807 380 213 158= 56人；BQCu (A UC):只参加物理竞