高三数学第十二章-概率与统计知识点归纳

1、f ( x)高中数学知识点第十二章-概率与统计考试内容：抽样方法.总体分布的估计总体期望值和方差的估计考试要求：（1） 了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题 进行抽样（2） 会用样本频率分布估计总体分布（3） 会用样本估计总体期望值和方差12. 概率与统计知识要点一、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个， 但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可

2、以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 .若是一个随机变量，a，b 是常数.则h=ax+b也是一个随机变量.一般地，若是随机变量， 是连续函数或单调函数，则f (x)也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量可能取的值为：x , x , l , x , l 1 2 i取每一个值x1(i =1,2, l )的概率p (x=x ) =p ii，则表称为随机变量的概率分布，简称的分布列.xx1x2xixxc=kxapp1p2pi有性质p10, i =1,2, l； p1+p +l+p +l =1 2 i.注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变

3、量叫做连续型随机变量.例如：x0,5即 可以取 05 之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3. 二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n次 独 立 重 复 试 验 中 这 个 事 件 恰 好 发 生 k 次 的 概 率 是 ：p( =k) =cknp k qn -k其中k =0,1, l , n, q =1 -p于是得到随机变量的概率分布如下：我们称这样的随机变量服从二项分布，记作 b（np），其中 n，p为参数，并记knpk q n -k=b(k;n p).二项分布的判断与应用.二项分布，实际是对 n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复，且每次试

4、验只有两种结果，如果不满足此两条件， 随机变量就不服从二项分布.当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复 试验，利用二项分布求其分布列.4. 几何分布：“ ”表示在第 k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把 k 次试验时事件 a 发生记为 ，事 a 不发生记为kak, p(a ) =qk，那 么p( =k) =p(a1a l a2k -1a )k. 根 据 相 互 独 立 事 件 的 概 率 乘 法 分 式 ：p( =k) =p(a )p(a ) l p(a1 2k -1)p(a )k=q k -1p ( k =

5、1,2,3, l )于是得到随机变量的概率分布列.ha +bhcx123kpqqpq2pqk -1p我们称服从几何分布，并记g(k, p) =qk -1p，其中q =1 -p.k =1,2,3 l5. 超几何分布：一批产品共有 n 件，其中有 m（mn）件次品，今抽取n(1 n n)件，则其中的次品数是一离散型随机变量，分布列为p( =k) =ck c n -k m n -mc nn(0 k m,0 n -k n -m).分子是从 m 件次品中取 k 件，从 n-m 件正品中取 n-k件的取法数，如果规定 m r 时 c r =0m，则 k 的范围可以写为 k=0，1，n.超几何分布的另一种形

6、式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今 抽 取 n 件 （ 1 n a+b ）， 则 次 品 数 的 分 布 列 为p( =k) =c k cn-k a bc na +bk =0,1, l , n.超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取 n 件时，其中次品数服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数 的分布列可如下求得：把 个产品编号，则抽取 n 次共有( a +b)n个可能结果，等可能：( =k)含ckna k bn -k个结果 ，故p( =k) =c k a k b n -k n(a +b) n=c k (na a) k (1 - ) n

7、-k , k =0,1,2, l , n a +b a +b，即 b (n aa +b).我们先为k个次品选定位置，共 k 种选法；然后每个次品位置有 a 种选法，每个n正品位置有 b 种选法 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，p( =k) p( =k)，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.二、数学期望与方差.x当 时，当 时，b =0 e ( ax) =aexex= k xxxx，故1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量的概率分布为xx1x2 i pp1p2pi则称ex=x p +x p +l+x p +l1 1 2 2 n n为的数学期望或平均数、

8、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. 随机变量h=ax+b的数学期望：eh=e ( ax+b) =aex+ba =0 e (b) =b，即常数的数学期望就是这个常数本身.a =1 e (x+b) =ex+b 期望与这个常数的和.，即随机变量与常数之和的期望等于的当 时，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.单点分布： .p (x=1) =cex=c 1 =c其分布列为：p0q1p两点分布：ex=0 q +1p =p，其分布列为：（p + q = 1）二项分布： n! k !( n -k )!pkqn -k=np其分布列为 b( n,

9、p ).（p 为发生 的概率）几何分布：ex=1p其分布列为 q( k , p ).（p 为发生 的概率）3. 方 差 、 标 准 差 的 定 义 ： 当 已 知 随 机 变 量 的 分 布 列 为p (x=x ) =p ( k =1,2, l ) k k时，则称dx=(x -ex)2p +(x -ex)2p +l+(x -ex)2p +l 1 1 2 2 n n为的方差.显然dx0 sx=d x.sx为的根方差或标准差.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程d xex ehhexx =bx =a度. 越小，稳定性越高，波动越小. 4.方差的性质.随机变量h=a

10、x+b的方差d (h) =d ( ax+b) =a2dx.（a、b 均为常数） 单 点 分 布 ：dx=0其 分 布 列 为01p (x=1) = p两点分布：dx=pq其分布列为：（ppqp+ q = 1）二项分布：dx=npq几何分布：dx=qp 25. 期望与方差的关系.如果 和 都存在，则e (xh)=exeh设和 是互相独立的两个随机变量，则e (xh)=exeh,d(x+h)=dx+dh期望与方差的转化：dx=ex2-(ex)常数）.=ex-ex=02（因为 为一e (x-ex) =e (x) -e ( ex)三、正态分布.（基本不列入考试范围）1.密度曲线与密度函数：对于连续型随

11、机变量，位于x 轴上方，落在任一区间a, b )内的概率等于它与 x 轴.直线 与直线 所围成的曲边梯形的面积y（如图阴影部分）的曲线叫的密度曲线，以其作为y=f(x)图像的函数f ( x)叫做的密度函数，由于“x (-,a+)”bx是必然事件，故密度曲线与 x 轴所夹部分面积等于 1.2. 正态 分布与正 态曲 线： 如果随 机变 量 的概率 密度 为：2m,sf0sn ( , )x ms2x n (x =mx =mmmxxms ssx当阴f ( x ) =12 pse-( x -m) 2s2. （x r,m,s为常数，且 ），称服从参数为 的正态分布，用 表示 .f ( x )的表达式可简

12、记为n ( m,s2)，它的密度曲线简称为正态曲线.正态分布的期望与方差：若 .ex=m,dx=s2m,s2)，则的期望与方差分别为：正态曲线的性质.1 曲线在 x 轴上方，与 x 轴不相交.2 曲线关于直线 对称.3 当 时曲线处于最高点，当 x 向左、向右远离时，曲线不断地降 低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.4 当 时，曲线上升；当 时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以 x 轴为渐近线，向 x 轴无限的靠近.当 一定时，曲线的形状由 确定， 越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散； 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集 中.3. 标 准 正 态 分 布 ：

13、如 果 随 机 变 量 的 概 率 函 数 为j( x ) =12 pe-x 22( -px p+)，则称服从标准正态分布 . 即 n (0,1)有j(x) =p(xx )，j(x) =1 -j(-x)求 出 ， 而 p （ a b ） 的 计 算 则 是.p ( a pxb ) =j(b) -j(a)注意：当标准正态分布的f( x )的 x 取 0 时，有f( x) =0.5 f( x )的 x 取大于 0的数时，有f( x) f0.5.比如f(0.5 -ms) =0.0793 p0.5则0.5 -ms必然小于 0y ， sxa标准正态分布曲线 s =0.5 sa=0.5+sxss如图.正态分布与标准正态分布间的关系：若 n (m,s2)则的分布函数通常用f ( x)表示，且有p( x) =f(x) =j(x -).4.“3 ”原则.假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布n (m,s2).确定一次试验 中 的 取 值a