高三复习二项式定理知识点题型方法归纳

1、nn0 c 1 c 2nnnn n nn nnn1r 1rnrnnnn n绵阳市开元中学高 2014 级高三复习(1)对称性：与首末两端“等距离” 的 两 个 二 项 式 系 数 相 等 即 c r =c n -rn n(2) 增减性与最大值：二项式系数二项式定理 知识点、题型与方法归纳ck ，当 kn12时，二项式系数逐制卷：王小渐增大由对称性知它的后半部分 是逐渐减小的；当 n 是偶数时，中凤 学生姓名：_ 一知识梳理n 间一项 c 2n取得最大值；当 n 是奇数1二项式定理：(ab)nc0anc1n时，中间两项 cn -12n=cn +12n取得最大an 1b crnan rbr cnn

2、bn(n值 n*) 这个公式所表示的定理叫二(3) 各二项式系数和： cn n n项式定理，右边的多项式叫 (a b)ncr cn2n；的二项展开式其中的系数 cr (rc0 c 2 c 4 c1 c 30,1，n)叫二项式系数 式中c52n1.的 cr anrbr叫二项展开式的通项，一个防范用 t 表示，即通项 t cr an rbr. 运用二项式定理一定要牢记通项 tr2二项展开式形式上的特点 1 crnan rbr，注意 (a b)n 与 (b(1) 项数为 n1.(1) 各项的次数都等于二项式的a)n虽然相同，但具体到它们展开式幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n.(3)字母

3、a 按降幂排列，从第一项 开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的 ( 字母 ) 系数是两个字母 b 按升幂排列，从第一项起，不同的概念，前者只指 c，而后者次数由零逐项增 1 直到 n.是字母外的部分前者只与 n 和 r(4)二项式的系数从 到 cn1，cn.c0，c1，一直有关，恒为正，后者还与 a，b 有关，3二项式系数的性质可正可负y83 3( )r，-1 cxyr令 82228一个定理3，二项式定理可利用数学归纳法证3(n5)6，n7.故选 b.明，也可根据次数，项数和系数利例 2：(2014大纲)x y 8的展

4、开y x用排列组合的知识推导二项式定式中 x2y2 的系数为 _.( 用数 字作答)理因此二项式定理是排列组合知解：x y y x8展开式的通项公识的发展和延续式为 tr 1x 8r c r y xr两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的8- r r -42 283 3 r2，解得 r4，此时 r通项可求指定的项或指定项的系数42，所以展开式中 xy2的系数为等(1)4c470.故填 70. 【题型二】求 (a +b )m+( x +y )n展(2)展开式的应用：利用展开式可证明与二项式系数有关的等式；开特定项例 1： 在(1x)5 (1x)6 (1可证明不等式；可证明整除问题；x)7(1

5、x)8的展开式中，含x3的项的系数是( )可做近似计算等三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项a74 b121 c74 d121式系数的和；解析展开式中含 x3项的系数二题型示例为 c35( 1)3 c36( 1)3 c37( 【题型一】求 ( x +y )n展开特定项1)3c38(1)3121.例 1：(13x)n(其中 nn*且 n6) 的展开式中 x5 与 x6 的系数相等，则【题型三】求 ( a +b )m(x +y )n展n( )a.6c.8 d.9b.7开特定项例 1 ： ( 2013全国课标卷 ) 已解： 由条件得 c5n35 c6n36， n！ n！ 5！（n5）！

6、 6！（n6）！知(1ax)(1x)5 的展开式中 x2 的系 数为 5，则 a( )a. 4 b. 3 c.2 d.151525x 1 2 x5x 1 2 x2105210mn36 466 41236 445x 113254x 112222253.解：(1ax)(1x)5的展开式中【题型四】求 ( x +y +z )n展开特x2项为 c2x2ax cx10x25ax2定项(105a)x .x2 的系数为 5 ， 10 5a5，a1.故选 d.例 1：求 2(x0)的展 开式经整理后的常数项.例 2：(2014 浙江卷)在(1x)6(1解法一： 2 在 x 0y)4 的展开式中，记 xmyn

7、项的时可化为 x 1 2 x10，系数为 f(m，n)，则 f(3，0)f(2， 1)f(1，2)f(0，3)( )因而 tr11 cr 10r( x)a45102r，则 r 5 时为常数项，即b60 c 120 d210c1 5 63 22.解析在 (1 x)6的展开式中，解法二：所给的式子为三项式， 采用两个计数原理求解.xm 的系数为 c6m，在(1y)4 的展 开式中，yn 的系数为 cn4，故 f(m，n) c c . 从而 f(3 ， 0) c 20， f(2， 1) c2c1 60， f(1，2)c c 36，f(0，3)c 4，所以 f(3， 0) f(2， 1) f(1 ，

8、2)则 c则 c则 c分三类：5 个式子均取 2， 55( 2) 4 2；取一个 ，一个 ，三个 2， 2 x1c1( 2) 20 2；取两个 ，两个 ，一个 2， 2 x 15 2c 2 .所以，常数项为 4 220 2f(0，3)120，故选 c. 例 3： 已知数列 a 是等差数n列 ， 且 a +a =10 ， 则 在6 7( x -a )( x -a ) l ( x -a ) 的 展 开 式 1 2 12中， x 11的系数为_.15 2 63 22 2点拨： 三项式的展开式问题， 通常可用解法一化为二项式问题， 或用解法二化为计数问题.例 2：若将 ( x +y +z )10展开为

9、多 项式，经过合并同类项后它的项数解 ：x 11的 系 数 为为（ ）-(a +a +l +a ) =-6( a +a ) =-60 1 2 12 6 7。a 11 b 33c55 d66 解：展开后，每一项都形如3 4 5 6 7r 150 71 2 31 3 520 2 422 4 61 3 572 4 61 3 5 7nnnn1nn130 1271 271 3 5 70 2 4 60 1 20 1 2n022 41 3 5.2n20 122n0 2 42n1 3 52n1xaybzc，其中 a +b +c =10 ，该方程a a a a a 1.非负整数解的对数为 c 2 =66 。10

10、 +2例 3：2015 课标全国卷 (x2xy)5 的展开式中， x5y2 的系数为( )a10 b20 c30 d60 解析 易知 t cr (x2令 x1，则 a0a1a2 a3a4a5a6a737.(1) a c 0 1 ， a a a a72.(2) ( )2 ，得 a a a 137a7 1094. (3)( )2 ，得 a a ax)5ryr，令 r2，则 t c2(x23 5x)3y2，对于二项式(x2x)3，a6137 1093. (4)(12x)7 的展开式中，a0，由 t ct (x2)3txtct x6t， t 1 3 3令 t1，所以 x5y2 的系数为 c25a ，a

11、 ，a 大于零，而 a ，a ，a ， a 小于零，|a0| |a1|a2| |a7| (a0c130.3aa a )(a a a a )， 所求即为(亦即)，其【题型五】二项式展开逆向问 题例 1 ： (2013 广州毕业班综合测试)若 c1 3c 2 32c 3 3n 2c n1 3n 1 85，则 n 的值为( )a.3 b.4 c.5 d.6值为 2187.点拨： “赋值法”普遍运用 于恒等式，是一种处理二项式相关 问题比较常用的方法 . 对形如 (ax b)n ， (ax2 bx c)m(a，b ， cr) 的 式子求其展开式各项系数之和，只 需令 x1 即可；对形如(axby)n(

12、a， br) 的式子求其展开式各项系数解：由 c3c23n2cnn1之和，只需令 xy1 即可3n1 (13)n185，解得 n 4.故选 b.【题型六】赋值法求系数（和） 问题例 1：已知(12x)7a a x a x2a x7.求 ： (1)a a a ； (2)a a a a ；(3) a a a a ；(4) |a0|a1|a2|a7|.解：令 x1，则 a a a .若 f(x) a a x a x2 a xn，则 f(x)展开式中各项系数之 和为 f(1)，奇数项系数之和为 a f（1）f（1）a a ，偶 数项系数之和为 a a a f（1）f（1）2 2 例 2：设 x a a

13、 x a x2 a x2n ， 则 (a a a a )2(a a a a)2_.2n，则(ax202n 12n 1 02n 1 3 52 42n 1 3 5 a122n 1112 1.24335 5 4 4 30 121 232 2 2201612x33 1 2 a22033 2 2 a22123 2a a a a1 2 322x36932x 20 1250 1 253 2 解：设 f(x) a2 a4 a2n)2 (a1 a3 a5 a )2 (a0 a2 a4 a a a a a )(a a a a a a a 2 ) f( 1) f(1) 2n 2n 2n n 2 例 3 ：已知 (x

14、 1)2(x2)2014 a51，数相等 . 即： c45a5a40， c a c a a 0， 解得 a310.解法三： 对等式： f(x)x5 a0 a1(1 x) a2(1 x)2 a5(1 x)5 两边连续对 x 求导三次得：60x26a324a4(1x)60a5(1x)2，再 运用赋值法，令x1 得：606a3，a a (x 2) a (x 2)2 即 a310.故填 10.a2016a a a(x2)2016，则 2 3【题型八】二项式系数、系数a2的值为_.2016解 ： 依 题 意 令 x 32， 得最大值问题例 1：nx 的展开式中第 2 2014 2 a 五项和第六项的二项

15、式系数最 大，则第四项为_解析 由已知条件第五项和第a 2016 22016，令 x2 得 a0六项二项式系数最大，得n 9 ，0，则 2 22 23 22016.201620161 1 x 9展开式的第四项为 t4【题型七】平移后系数问题 例 1：若将函数 f(x)x5 表示为c( x )1 21 .f(x) a a (1 x) a (1 x)2 a (1x)5, 其中 a ，a ，a ， a 为实数，则 a _.解法一： 令 x 1 y， (y 1)5 a0 a1y a2y2 a5y5 ，故 a3 c25(1)210.解法二： 由等式两边对应项系例 2：把(1x)9 的展开式按 x 的升幂

16、排列，系数最大的项是第 _项a4 b5 c6d7解析(1x)9展开式中第 r1234521 236 n667 n45 8r8r8226 n 2222 0122 0120 123451项的系数为 cr9(1)r，易知当 r4时，系数最大，即第 5 项系数最大，2a 3a 4a 5a _解析原等式两边求导得 5(2x选 b.例 3：(12x)n 的展开式中第 6 3)4 (2x 3)a 2a x 3a x项与第 7 项的系数相等，求展开式 中二项式系数最大的项和系数最大4a4x35a5x4，令上式中 x1，的项.解：t c5(2x)5，tc (2x)，得 a1 2a2 3a3 4a4 5a5 依题

17、意有 c5n25c6n26，解得 n8. 所以(12x)8 的展开式中，二项式系10.【题型十】整除问题数 最 大 的 项 为 t c 4 (2x) 1例 1：设 az，且 0a13，若120x4.设第 r 1 项系数最大，则有512 012a 能被 13 整除，则 acc22rcrcr18r18r1，r1，( )a0 b1 c11 d12解得 5r6.所以 r5 或 r解析512 012 a (52 1)2 0126，所以系数最大的项为 t 1 792x5 或 t71 792x6.a点拨：(1)求二项式系数最大项：如 c02 012 522 012 c 12 012 522 011果 n 是

18、偶数，则中间一项第 1项 c20112012 52 ( 1)2 011的二项式系数最大；如果 n 是奇n1 n1数，则中间两项(第 项与第 1 项)的二项式系数相等并最大.(2)c2 012(1)2 012a， c20 012522 012c21 012522 011求展开式系数最大项：如求 (a bx)n(a，br ) 的展开式系数最大的c2 01152(1)2 011能被 13 整项，一般是采用待定系数法，列出 arar 1，不等式组 从而解出 r， arar1，即得展开式系数最大的项.除且 512 012a能被 13 整除，【题型九】两边求导法求特定c2 0122 012 ( 1) a

19、1 a也能数列和例 1： 若 (2x 3)5 a a x 被 13 整除因此 a 可取值 12.a x2a x3a x4a x5，则 a 例 2：已知 m 是一个给定的正671n“(n *2 x 3xn nnnnn n nn2 n 1n n n nn0 1 2122 40 12108整数，如果两个整数 a，b 除以 m 所得的余数相同，则称 a 与 b 对模 m 同余，记作 ab(mod m)，例如： 513(mod 4).若 22015r(mod 7)，则 r 可能等于( )a.2013 b.2014 c.2015d.2016解： 22015 22 23 671 48671 4(7 1)671 4(7671 c 1 767