10.7_斯托克斯公式__环流量与旋度

1、 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 1 10.7 斯托克斯斯托克斯(stokes)公式公式 环流环流量与量与旋度旋度 斯托克斯公式斯托克斯公式 物理意义物理意义-环流量与旋度环流量与旋度 小结小结 思考题思考题 作业作业 circulationcurl 斯托克斯斯托克斯 Stokes,G.G. (18191903) 英英国数学家、物理学家国数学家、物理学家 第第1010章章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 2 斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面 它将定向曲面上的面积

2、分与曲面的定向它将定向曲面上的面积分与曲面的定向 积分情形下的推广积分情形下的推广, 也是格林公式在空间的也是格林公式在空间的 推广推广, 边界曲线上的线积分联系了起来边界曲线上的线积分联系了起来. 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 3 一、斯托克斯一、斯托克斯(Stokes)公式公式 定理定理10.11 zRyQxPddd yx y P x Q xz x R z P zy z Q y R dd)(dd)(dd)( 设设为分段光滑的空间为分段光滑的空间有向闭曲线有向闭曲线, 是以是以为边界的分片光滑的为边界的分片光滑的有向闭曲面有向闭曲面, 则有则有斯托克斯公式斯托

3、克斯公式 的正向的正向 与与的正侧符合右手法则的正侧符合右手法则, 若向量函数若向量函数 的三个分量在包含的三个分量在包含 ),(zyxF ),(),(),(zyxRzyxQzyxP 曲面曲面在内的一个空间区域内在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数, 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 4 即有即有 S y P x Q x R z P z Q y R dcoscoscos 其中其中 cos,cos,cos zRyQxPddd 余弦余弦. 是是指定一侧的法向量方向指定一侧的法向量方向 zRyQxPddd yx y P x Q xz x R z P z

4、y z Q y R dd)(dd)(dd)( 斯托克斯公式斯托克斯公式 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 5 的正向与的正向与的正侧法向量符合右手法则的正侧法向量符合右手法则: 当右手除拇指外的四指依当右手除拇指外的四指依 的绕行方向时的绕行方向时, 是有向曲面是有向曲面 的的 正向边界曲线正向边界曲线 右手法则右手法则 拇指所指的方向与拇指所指的方向与上法向量的指向相同上法向量的指向相同. 是有向曲面是有向曲面的的正向边界曲线正向边界曲线, 称称 n . 记为记为 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 6 (3) 在坐标面上在坐标面上, 应

5、用格林公式把应用格林公式把(2)得到的平面得到的平面 证明思路证明思路 (1) 把曲面积分化为坐标面上投影域的二重积分把曲面积分化为坐标面上投影域的二重积分; (2) 把空间闭曲线把空间闭曲线上的曲线积分化为坐标面上上的曲线积分化为坐标面上 分三步分三步 yx y P x Q xz x R z P zy z Q y R dd)(dd)(dd)( zRyQxPddd 斯托克斯公式斯托克斯公式 的闭曲线积分的闭曲线积分; 闭曲线积分化为二重积分闭曲线积分化为二重积分. 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 7 证证 情形情形1 只交于一点只交于一点, 设其方程为设其方程为

6、yx Dyxyxfz ),(, ),(: 为确定起见为确定起见, 不妨设不妨设 取上侧取上侧 (如图如图). yx D C 与平行与平行z轴的直线轴的直线 x y z O n 则则 xPd 转化为转化为xOy面上的第二类面上的第二类 曲线积分曲线积分, 即即 xPd xyxzyxPd),(,( C 格林公式格林公式 xy D yxyxzyxP y dd),(,( yx y P x Q xz x R z P zy z Q y R dd)(dd)(dd)( zRyQxPddd 斯托克斯公式斯托克斯公式 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 8 yx y z z P y P

7、xy D dd)( xPd xy D yxyxzyxP y dd),(,( yx D C x y z O n 另一方面另一方面, 按照第二类曲面积分的按照第二类曲面积分的 计算公式计算公式,有有 yx y P xz z P dddd xy D yx y P z P dd ),(:yxfz )( y z 比较以上两式知比较以上两式知 yx y P x Q xz x R z P zy z Q y R dd)(dd)(dd)( zRyQxPddd 斯托克斯公式斯托克斯公式 22 1 cos yx y ff f yxffS yx dd1d 22 SQxzQdcosdd 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公

8、式 环流量与旋度环流量与旋度 9 如果如果取取下侧下侧, yx y P xz z P dddd xPd 由于等式两边同时变号由于等式两边同时变号,故上式仍然故上式仍然 成立成立. 曲面曲面 与平行于与平行于z 轴的直线交点多于一个轴的直线交点多于一个, 则可以在则可以在 上添加上添加辅助曲线辅助曲线, 在每个曲面片上应用上式在每个曲面片上应用上式, 情形情形2 然后相加然后相加, 抵消抵消, 即可证上式仍然成立即可证上式仍然成立. 由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好 将将 分成有限个符合条件分成有限个符合条件 的定向曲面片的定向曲面片, y

9、x y P x Q xz x R z P zy z Q y R dd)(dd)(dd)( zRyQxPddd 斯托克斯公式斯托克斯公式 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 10 类似可证类似可证 zy z Q yx x Q dddd yQd xz x R zy y R dddd zRd yx y P xz z P dddd xPd 将上述三式两边分别相加将上述三式两边分别相加, 即证即证. yx y P x Q xz x R z P zy z Q y R dd)(dd)(dd)( zRyQxPddd 斯托克斯公式斯托克斯公式 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量

10、与旋度环流量与旋度 11 斯托克斯公式斯托克斯公式的又一种形式的又一种形式 其中其中 S y P x Q x R z P z Q y R dcos)(cos)(cos)( sRQPd)coscoscos( kjin coscoscos kji coscoscos 的的单位法向量单位法向量为为 的的单位切向量单位切向量为为 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 12 RQP zyx yxxzzydddddd S RQP zyx d coscoscos ).cos,cos,(cos n 其其中中 便于记忆形式便于记忆形式 zRyQxPddd 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公

11、式 环流量与旋度环流量与旋度 13 Stokes公式的实质公式的实质 表达了有向曲面上的曲面积分与其表达了有向曲面上的曲面积分与其 边界曲线上的曲线积分之间的关系边界曲线上的曲线积分之间的关系. 在在Stokes公式的条件中公式的条件中, , (1) 曲面曲面是定向是定向曲面曲面, 应注意两点应注意两点: : (2) 被积函数被积函数P, Q, R在包含曲面在包含曲面在内的在内的 是定向是定向曲曲 线线, 的正向与的正向与的正侧法向量符合右手法则的正侧法向量符合右手法则; 具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数.一个空间区域内一个空间区域内 其边界其边界 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流

12、量与旋度环流量与旋度 14 例例 计算曲线积分计算曲线积分 其中其中 为曲线为曲线 0 , 2222 zyx Rzyx R zxyzxy,d)3(d)2()d1( 若从若从x轴正向看过去轴正向看过去, 为取逆时针方向为取逆时针方向. 解解 设设 为为 所围的圆盘所围的圆盘, 所在的曲面方程为所在的曲面方程为 , 0 zyx 取上侧取上侧, 其单位法向量为其单位法向量为 3 1 , 3 1 , 3 1 按按斯托克斯公式斯托克斯公式, ),cos,cos,(cos z x yO n 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 15 S RQP zyx d coscoscos zR

13、yQxPddd 原式原式S xzy zyx d 321 3 1 3 1 3 1 3 1 , 3 1 , 3 1 )cos,cos,(cos S d3 .3 2 R R z x yO n 设设 为为 所围的圆盘所围的圆盘 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 16 求力求力),(xzyF 沿有向闭曲线沿有向闭曲线 所作的功所作的功, 其中其中 为为平面平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三被三个坐标面所截成三 zxyzxyddd3 AB zxd3 1 0 d)1(3zz. 2 3 从从z轴正向看去沿轴正向看去沿顺时针方向顺时针方向. 例例 角形的整个边界角

14、形的整个边界, 解解 zxyzxyddd x y z O A B C AB zRyQxPWddd 利用对称性 利用对称性 法一法一 化为参变量的定积分化为参变量的定积分 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 17 求力求力),(xzyF 沿有向闭曲线沿有向闭曲线 所作的功所作的功, 其中其中 为为平面平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成被三个坐标面所截成 法二法二 从从z轴正向看去沿轴正向看去沿顺时针方向顺时针方向. 例例 三角形的整个边界三角形的整个边界, 解解 x y z O A B C 利用利用斯托克斯公式斯托克斯公式 zRyQxPdddS RQP

15、 zyx d coscoscos 设设三角形区域为三角形区域为 ,则则 n zxyzxyWddd zyx Sd . 2 3 xy D yxdd33 3 1 z 3 1 3 1 1 zyx yxSdd3d )1,1,1( 3 1 n Sd)3( 3 1 xy x y O 1 1 yx xy D 1 方向方向向上向上, 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 18 解解 xzy zyx yxxzzydddddd 法三法三 按按斯托克斯公式斯托克斯公式,有有 yxxzzydddddd 求力求力),(xzyF 沿有向闭曲线沿有向闭曲线 所作的功所作的功, 其中其中 为为平面平面

16、x + y + z = 1 被三个坐标面所截成被三个坐标面所截成 从从z轴正向看去沿轴正向看去沿顺时针方向顺时针方向. 例例 三角形的整个边界三角形的整个边界, zxyzxyWddd 设设三角形区域为三角形区域为 , A B C n 方向方向向上向上, x y z O 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 19 x y O 1 1 1 yx yxdd)3( . 2 3 2 1 3 xy D yxxzzydddddd 1: zyx平平面面 xy D zxyzxyWddd x y z O A B C n 轮换对称性 轮换对称性 yxdd3 化为二重积分化为二重积分 一投一投

17、二代二代三定号三定号 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 20 z x O y 解解 则则)1 , 1 , 1( 3 1 n 计算曲线积分计算曲线积分例例 zyxyxzxzyd)(d)(d)( 222222 2 3 zyx是是平平面面 其中其中截立方体截立方体:, 10 x , 10 y10 z的表面所得的截痕的表面所得的截痕, 若从若从Ox 轴的正向看去轴的正向看去, 取逆时针方向取逆时针方向. 取取为平面为平面 2 3 zyx 的的上侧上侧被被所围成的部分所围成的部分. )1 , 0 , 0( )0 , 0 , 1( )0 , 1 , 0( O x y 1 1 2

18、 1 2 1 2 3 yx 2 1 yx xy D 在在xOy面上的投影为面上的投影为Dxy. n 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 21 1 1 即即 3 1 coscoscos S yxxzzy zyx Id 3 1 3 1 3 1 222222 Szyxd)( 3 4 yx xy D dd3 2 3 3 4 . 2 9 ) 2 3 ( zyx上上因为在因为在 yxSdd3d O x y 2 1 2 1 2 3 yx 2 1 yx xy D yx xy D dd6 所以所以 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 22 其中其中 是平面是平

19、面与柱面与柱面 1| yx的交线的交线 , 从从z 轴正向看去轴正向看去 , 为逆时针方向为逆时针方向. 2 zyx 计算计算 zyxyxzxzyId)3(d)2(d)( 222222 数学考研题数学考研题 记记 为平面为平面2 zyx上上 所围部分的上侧所围部分的上侧, D为为 在在 xOy 面上的投影面上的投影.由 由斯托克斯公式斯托克斯公式 解解 对称性对称性 I S zyx d 3 1 22 zy 22 2xz 22 3yx 3 1 3 1 Szyxd)324( 3 2 D yxyxdd) 6(2 D yxdd12.24 zRyQxPdddS RQP zyx d coscoscos D

20、 1 1 x y O yxz 2: yxSdd3d 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 23 一般来讲一般来讲, 当具备下列两方面的条件时当具备下列两方面的条件时, 小结小结: 用用斯托克斯公式斯托克斯公式计算较方便计算较方便. (1) 从积分曲线看从积分曲线看, 若若为一平面和一曲面为一平面和一曲面 的交线的交线,这时可考虑将曲线积分化为曲面积分这时可考虑将曲线积分化为曲面积分. 由于由于斯托克斯公式与空间曲线斯托克斯公式与空间曲线上所张的曲面上所张的曲面 的形状无关的形状无关, 因此可取因此可取为以为以为边界的平面为边界的平面 区域区域, 而在平面区域上的曲面积分

21、的计算一而在平面区域上的曲面积分的计算一 般较简单般较简单. 注意注意:由由的正向确定的正向确定的正侧时的正侧时, 必必 须符合右手规则须符合右手规则. (2) 从被积函数看从被积函数看, 当当P, Q, R比较简单比较简单. 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 24 计算曲线积分计算曲线积分 其中其中AmB是螺是螺线线 AmB zxyzyzxyxyzxI,d)()d()d( 222 2 ,sin,cos h zayax 上从上从 上从上从A(a,0,0)到到B(a,0,h)的一段的一段.z x y O A a B 设设 是以是以为边界的任一为边界的任一 定向光滑曲面

22、定向光滑曲面. 提示提示 作封闭化处理作封闭化处理: 连接直线连接直线BA, 它与它与AB一起一起 组成闭曲线组成闭曲线, 记为记为. 由由斯托克斯公式斯托克斯公式. 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 25 计算曲线积分计算曲线积分 其中其中AmB是螺是螺线线 AmB zxyzyzxyxyzxI,d)()d()d( 222 2 ,sin,cos h zayax 上从上从 上从上从A(a,0,0)到到B(a,0,h)的一段的一段.z x y O A a B 由由斯托克斯公式斯托克斯公式.解解 yxxzzy dd0dd0dd0 0 所以所以 BA I AB 0 h za

23、z 0 2 d)0(00. 3 1 3 h 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 26 kzyxRjzyxQizyxPzyxA ),(),(),(),( 1. .环流量的定义环流量的定义 zRyQxPsAdddd circulationrotation 二、物理意义二、物理意义-环流环流量与量与旋度旋度 设向量场设向量场 其中函数其中函数P, Q, R均连续均连续, 段光滑的空间段光滑的空间有向闭曲线有向闭曲线,为为在点在点(x, y, z)处的单处的单 为为A的定义域内的一条分的定义域内的一条分 位切位切向量向量, 则曲线积分则曲线积分 称为称为向量场向量场 A 沿有

24、向闭曲线沿有向闭曲线 的的环流量环流量. . 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 27 sA d 利用利用Stokes公式公式, zRyQxPddd RQP zyx yxxzzydddddd )d,d,d(d),(zyxsRQPA y P x Q x R z P z Q y R RQP zyx kji , 环流量环流量S RQP zyx kji d )dd,dd,dd(dyxxzzyS 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 28 2. 旋度的定义旋度的定义 ,rotA RQP zyx kji 记为记为即即 称为称为向量场向量场 A 的的旋度旋度

25、(rotation), kzyxRjzyxQizyxPzyxA ),(),(),(),( 设向量场设向量场 其中函数其中函数P, Q, R均具有一阶连续偏导数均具有一阶连续偏导数, 则向量则向量 RQP zyx kji AA rot .)()()(k y P x Q j x R z P i z Q y R 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 29 .处处的的旋旋度度 RQP zyx kji A rot旋度旋度 423 22yzyzxxz zyx kji kxyzjxziyxz43)22( 224 ),1 , 2, 1( P在在点点 解解 例例)1 , 2, 1(22

26、423 PkyzjyzxixzA在在求求向向量量场场 ).8 , 3 , 2(rot A 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 30 斯托克斯公式的向量形式斯托克斯公式的向量形式 sASnAddrot sASA n dd)rot( 其中其中nAA n rot)rot( ,coscoscos RQPAA 或或 cos)(cos)(cos)( y P x Q x R z P z Q y R cos,cos,cos n 为曲面为曲面在点在点(x, y, z)处的单位处的单位 cos,cos,cos 法向量法向量; 为曲线为曲线在点在点(x, y, z)处的单位处的单位 切向量

27、切向量. 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 31 O z x y l 设某刚体绕定轴设某刚体绕定轴 l 转动转动,M为刚体为刚体 上任一点上任一点, 建立坐标系如图建立坐标系如图, M 则则 ),(zyxr 角速度为角速度为 r ), 0, 0( 点点 M 的线速度为的线速度为 v rot zyx kji 00 )0,(xy 0 xy zyx kji )2 , 0 , 0( .2 (此即此即“旋度旋度”一词的由来一词的由来) 旋度的力学意义旋度的力学意义 rv , 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 32 Stokes公式公式的物理解释的物

28、理解释 sA d环流量环流量 SA drot 在大气中在大气中, 手中的风车朝哪个方向转动最快手中的风车朝哪个方向转动最快, 哪个方向就是风速场的旋度方向哪个方向就是风速场的旋度方向. (的正向与的正向与的侧符合右手法则的侧符合右手法则) )coscoscos( RQPAA 向量场向量场 A 沿有向闭曲线沿有向闭曲线 的环流量等于向量场的环流量等于向量场 A的旋度场通过的旋度场通过 所张的曲面的通量所张的曲面的通量. 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 33 斯托克斯斯托克斯Stokes公式公式 斯托克斯公式的物理意义斯托克斯公式的物理意义环流量环流量与与旋度旋度 三

29、、小结三、小结 Stokes公式的实质公式的实质 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系上的曲线积分之间的关系. (注意使用的条件注意使用的条件) 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 34 ),3,2( 2 zxyA 其其中中 9 222 zyx是球面是球面 (1) 用对面积的曲面积分用对面积的曲面积分; (2) 用对坐标的曲面积分用对坐标的曲面积分; (3) 用高斯公式用高斯公式; (4) 用斯托克斯公式用斯托克斯公式. 的上半部的上半部, 是它的边界是它的边界. 思考题思考题 ,drot SnA 计算计

30、算 x y z O 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 35 解答解答 nA rot 222222 1 1 , 1 , 1 yxyx y yx x zzzz z zz z (1) S zz yx d 1 1 22 22 1 1 yx zz xy D yxdd .9 ),3 ,2( 2 zxyA 其其中中 cos)23( 对面积的曲面积分对面积的曲面积分 yxzz yx dd1 22 xy D 的的上上半半部部是是球球面面9 222 zyx SnAdrot 计计算算 SnAdrot )cos,cos,(cos 32 2 zxy zyx kji )cos,cos,(cos n 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 36 解答解答 (2) yxdd.9 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 xy D SnAdrot Sdcos S