认识分式 教学设计

1、认识分式【教学目标】一、知识与技能1 分式的基本性质。2 利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形。3 了解分式约分的步骤和依据，掌握分式约分的方法。4 使学生了解最简分式的意义，能将分式化为最简分式。二、过程与方法1 能类比分数的基本性质，推测出分式的基本性质。2 情感态度与价值观3 通过类比分数的基本性质及分数的约分，推测出分式的基本性质和约分，在学生已有 数学经验的基础上，提高学生学数学的乐趣。4 行为与创新5 培养学生加强事物之间的联系，提高数学运算能力。【教学重难点】1 分式的基本性质。2 利用分式的基本性质约分。3 将一个分式化简为最简分式。4 分子、分母是多项式的约分。【教学准备

2、】教师：课件学生：练习本【教学过程】一、复习分数的基本性质，推想分式的基本性质。师我们来看如何做不同分母的分数的加法： 1 1 13 12 3 2 5生 + = + = + = 。2 3 2 3 3 2 6 6 61 / 71 1+ 。2 31 13 3师这里将异分母化为同分母， = = ，2 2 3 61 1 2 2= = 。这是根据什么呢？3 3 2 6生根据分数的基本性质：分数的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数， 分数的值不变。师很好！分式是一般化了的分数，我们是否可以推想分式也有分数的这一类似的性质 呢？二、新课讲解1分式的基本性质出示投影片3 1（1） = 的依据是什么？

3、6 2（2）你认为分式a 1 n2 n与 相等吗？ 与 呢？与同伴交流。 2a 2 mn m生（1）将363 3 3 1的分子、分母同时除以它们的最大公约数 3 得到。即 = = 。6 6 3 2依据是分数的基本性质：分数的分子与分母同乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数 的值不变。（2）分式a 1 a a a a 1 与 相等，在分式 中，a0，所以 = = ；2a 2 2 a 2 a 2 a a 2分式n2 n n 2 n 2 n2 n n 与 也是相等的。在分式 中，n0，所以 = = 。mn m mn mn mn n m师由此，你能推想出分式的基本性质吗？生分式是一般化了的分数，类比

4、分数的基本性质，我们可推想出分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。师在运用此性质时，应特别注意什么？生应特别强调分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式中的“都”“同 一个”“不为零”。师我们利用分数的基本性质可对一个分数进行等值变形。同样我们利用分式的基本性 质也可以对分式进行等值变形。下面我们就来看一个例题例 2下列等式的右边是怎样从左边得到的？2 / 7b by ax a（1） = （y0）；（2） = 。2x 2 xy bx b生在（1）中，因为 y0，利用分式的基本性质，在b2x的分子、分母中同乘以 y，即可得到右边，即b2xb

5、 y by= = ； 2 x y 2 xy师很好！在（1）中，题目告诉你 y0，因此我们可用分式的基本性质直接求得。 可（2）中右边又是如何从左边得到的呢？生在（2）中，aaaaaa x a 可以分子、分母同除以 x 得到，即 = = 。bbbbbb x b生“x”如果等于“0”，就不行。ax ax ax在 中，x 不会为“0”，如果是“0”， 中分母就为“0”，分式 将无意义，所以 bx bx bx（2）中虽然没有直接告诉我们 x0，但要由 b0 且 x0.ax a ax得到 ， 必须有意义，即 bx0 由此可得 bx b bx师这位同学分析得很精辟！2分式的约分。师利用分数的基本性质可以对

6、分数进行化简。利用分式的基本性质也可以对分式化简。 我们不妨先来回忆如何对分数化简。生化简一个分数，首先找到分子、分母的最大公约数，然后利用分数的基本性质就可将分数化简。例如3 3 3 3 1 ，3 和 12 的最大公约数是 3，所以 = = 。12 12 12 3 4师我们不妨仿照分数的化简，来推想对分式化简。例 3化简下列各式：a 2bc x 2 -1（1） ；（2） 。ab x 2 -2 x +1师在分数化简中，我们约去了分子、分母的公约数，那么在分式化简中，我们应如何 办？生约去分子、分母中的公因式。例如（1）中 a2bc 可分解为 ac（ab）。分母中也 含有因式 ab，因此利用分式

7、的基本性质：a 2bcab=a 2bc ( ab ) ab ( ab )=( ac ab) ( ab) ab ( ab)=ac3 / 72师我们可以注意到（1）中的分式，分子、分母都是单项式，把公有的因式分离出来， 然后利用分式的基本性质，把公因式约去即可。这样的公因式如何分离出来呢？同学们可小组 讨论。生如果分子、分母是单项式，公因式应取系数的最大公约数，相同的字母取它们中最 低次幂。师回答得很好。可（2）中的分式，分子、分母都是多项式，又如何化简？生通过对分子、分母因式分解，找到它们的公因式。师这个主意很好。现在同学们自己动手把第（2）题试着完成一下。x 2 -1生解：（2） =x 2 -

8、2 x +1( x -1)( x +1) ( x -1) 2x +1= 。x -1生老师，我明白了，遇到分子、分母是多项式的分式，应先将它们分解因式，然后约 去公有的因式。师在例 3 中，a 2bc x 2 -1 x +1=ac，即分子、分母同时约去了整式 ab； = ，即分 ab x 2 -2 x +1 x -1子、分母同时约去了整式 x1把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形我们称为 分式的约分。下面我们亲自动手，再来化简几个分式。做一做化简下列分式：（1）5xy20 x 2 ya ( a +b ) ；（2） 。b ( a +b )生解：（1）5xy 5 xy 1 = = ；20 x

9、 y (4 x ) (5xy ) 4x（2）a(a +b ) b(a +b )a= 。b师在刚才化简第（1）题中的分式时，一位同学这样做的 议一议在化简5xy 5xy 时，小颖是这样做的： =20 x 2 y 20 x 2 y5x20 x2你对上述做法有何看法？与同伴交流。4 / 7生我认为小颖的做法中，5x20 x2中还有公因式 5x，没有化简完，也就是说没有化成最简结果。师很好！5xy20 x 2y1如果化简成 ，说明化简的结果中已没有公因式，这种分式称为最 4x简分式。因此，我们通常使结果成为最简分式或者整式。 三、巩固、提高1 填空：1 x ( )（1） = ；x -y ( x -y)

10、( x +y )（2）y +2 1=y 2 -4 ( )2化简下列分式：（1）12 x 2 y 3 9 x3 y 2；x -y（2） 。( x -y ) 3解：1（1）因为2 x 2 x ( x +y ) =x -y ( x -y)( x +y )=2 x 2 +2 xy ( x -y )( x +y)所以括号里应填 2x2+2xy；（2）因为y +2 y +2 1= = 。 y 2 -4 ( y +2)( y -2) y -2所以括号里应填 y22（1）12 x 2 y 3 (4 y ) (3x 2 y 2 ) 4 y = = ；9 x3 y 2 (3 x) (3x 2 y 2 ) 3 x（

11、2）x -y ( x -y )3=( x -y) 1= 。( x -y ) 2 (x -y ) ( x -y ) 2四、课时小结5 / 7师通过今天的学习，同学们有何收获？（鼓励学生积极回答）生数学知识之间是有内在联系的。利用分数的基本性质就可推想出分式的基本性质。 生分式的约分和化简可联系分数的约分和化简。生化简分式时，结果一定要求最简。【作业布置】1下列约分正确的是( )a2(b +c ) 2=a +3(b +c ) a +3b( a -b) (b -a )22=-1ca +b 2=a 2 +b 2 a +bdx -y 2 xy -x 2 -y2=1y -x2下列变形不正确的是( )a2 -a a -2 =-a -2 a +2b1 x -1=x +1 x 2 -1(x1)cx +1 1=x 2 +2 x +1 2d6 x +3 2 x +1=3 y -6 y -23等式a a (b +1) =a +1 ( a +1)(b +1)成立的条件是( )aa0 且 b0 ba1 且 b1ca1 且 b1da、b 为任意数4如果把分式a扩大 10 倍x +2 yx +y中的 x 和 y 都扩大 10