10粒子在单粒子态上的分布

1、微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院 张继华张继华 第七章第七章 理想气体及其理想气体及其 热力学性质热力学性质 系统微结构系统微结构 （微观物理量）（微观物理量） 系统宏观性质系统宏观性质 （宏观物理量）（宏观物理量） 联系联系 微观态微观态宏观态宏观态 统计规律统计规律 s ss AA 观测观测 微正则微正则 正则正则 巨正巨正则则 统计意义统计意义 s ss AA 观测观测 微正则微正则 正则正则 巨正巨正则则 s ss AA 观测观测 微正则微正则 正则正则 巨正巨正则则 微正则微正则 正则正则 巨正巨正则则 统计意义统计意义 i EE i ii eZeE n E nn E n n

2、n eEZEeE )()(/ 配分函数、巨和的计算配分函数、巨和的计算 方法二：方法二： 对所有能级求和对所有能级求和 若系统可分为相互独立的子系统时，若系统可分为相互独立的子系统时， Z=Z1Z2 Z3 Zn 方法一：方法一： 对所有微观态求和对所有微观态求和: i ENEN i ii eeE 4. 分布函数与热力学量的关系分布函数与热力学量的关系 ZZ Z U ln1 (1) 内能内能U X Z X Z Z Y ln111 (2) 广义力广义力Y lnUZkS ZkTTSUFln (3) 熵熵 S T F TFU T F S X F Y 自由能是正则系统的特性函数自由能是正则系统的特性函数

3、 (4)自由能自由能 F lnln kTN ln U X Y ln1 lnNUkS 正则系统正则系统 巨正则系统巨正则系统 第七章第七章 理想气体的分布理想气体的分布 理想气体理想气体近独立的近独立的非定域粒子非定域粒子构成的系统。构成的系统。 问题：这些粒子在问题：这些粒子在状态空间状态空间如何分布？在任意一个如何分布？在任意一个 可能的状态上（单粒子态）出现粒子的几率？可能的状态上（单粒子态）出现粒子的几率？ 量子统计量子统计认为微观粒子的运动遵循量子力学的规律而不认为微观粒子的运动遵循量子力学的规律而不 是遵循经典力学即牛顿力学的规律。在量子统计中，微观运动是遵循经典力学即牛顿力学的规律

4、。在量子统计中，微观运动 状态用量子态描述，量子态是由各种可能的不连续的能级组成状态用量子态描述，量子态是由各种可能的不连续的能级组成 的，因而微观运动状态具有不连续性。的，因而微观运动状态具有不连续性。粒子不可辨、独立、等粒子不可辨、独立、等 同同 经典统计经典统计在经典统计中，系统的微观运动状态用广义坐在经典统计中，系统的微观运动状态用广义坐 标和广义动量描述，微观运动状态具有连续性，表现为相点在标和广义动量描述，微观运动状态具有连续性，表现为相点在 相空间中描绘的轨迹。相空间中描绘的轨迹。粒子可辨、独立、等同粒子可辨、独立、等同 粒子类别粒子类别量子态量子态1量子态量子态2量子态量子态3

5、 玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统 A B A B A B AB BA AB BA AB BA 玻色系统玻色系统 0 0 0 0 0 0 00 00 00 费米系统费米系统 00 00 00 二者研究对象和研究方法是相同的，即都是根据对物二者研究对象和研究方法是相同的，即都是根据对物 质微观结构和相互作用的认识，用概率统计的方法，质微观结构和相互作用的认识，用概率统计的方法， 为由大量粒子组成的系统的宏观物理性质及其所遵循为由大量粒子组成的系统的宏观物理性质及其所遵循 的宏观规律提供微观解释，并揭示由大量微观粒子组的宏观规律提供微观解释，并揭示由大量微观粒子组 成的系统所固有的统计规律性。成的系统所固

6、有的统计规律性。 区别在于对微观运动状态的描述，而不在于统计方法区别在于对微观运动状态的描述，而不在于统计方法 能能 级级 （ 0 0， 0 0）（ N N， E E）（ 1 1， ） nn EN e e1 吉吉 布布 斯斯 因因 子子 e1 1 1 1 ln ee e N 1 1 1 1 )( / )( kT FD ee F 粒子在单粒子态上如何分布？单粒子态上粒子占据的几率？粒子在单粒子态上如何分布？单粒子态上粒子占据的几率？ （1 1）费米分布）费米分布 巨和巨和 费米费米- -狄拉克（狄拉克（Fermi-DiracFermi-Dirac）分布函数）分布函数 意义：意义：当费米子系统处于

7、平衡态时，单粒子态（能量为当费米子系统处于平衡态时，单粒子态（能量为 ）被粒子占据的几率。）被粒子占据的几率。 7.1粒子在单粒子态上的分布粒子在单粒子态上的分布 1. 量子分布量子分布 （2 2）玻色分布）玻色分布（没有（没有PauliPauli不相容原理的限制）不相容原理的限制） 能能级级 （0 0, ,0 0）（N N, ,E E）（1 1, , ） （2 2, ,2 2 ） （n n, ,n n ） nn EN e e1 nn e 吉吉布布斯斯 因因子子 0 )(1 n nnn eee eX eX X n n 1 1 1 1 0 1 1 1 ln ee e N 1 1 )( / )(

8、kT BE e F 令令 ，则，则 巨和巨和 玻色玻色- -爱因斯坦（爱因斯坦（ Bose-Einstein Bose-Einstein ）分布函数）分布函数 意义：意义：当玻色子系统处于平衡态时，能量为当玻色子系统处于平衡态时，能量为 的一个单的一个单 粒子态上拥有的平均粒子数。粒子态上拥有的平均粒子数。 1 / )( kT e 1 1 1 1 )( / )( / )(/ )( kT kTkT e ee F kTkTkTkT B AeeeeF / )( )( 当当时时【经典极限条件经典极限条件】， 在量子分布中，当单粒子态上粒子出现几率很小时，粒子服从在量子分布中，当单粒子态上粒子出现几率很

9、小时，粒子服从 经典分布。经典分布。 玻尔兹曼（玻尔兹曼（ Boltzman ）分布函数）分布函数 意义：当经典粒子系统处于平衡态时，能量为意义：当经典粒子系统处于平衡态时，能量为 的一个的一个 单粒子态被粒子占据的几率。单粒子态被粒子占据的几率。 2. 经典分布经典分布 11 / )( kTkT ee 0 1) 2 ( 3/ h mkT N V ee kT 热热 d 经典分布经典分布非简并气体非简并气体非简并条件非简并条件 又又 若假设粒子平均间距为若假设粒子平均间距为 d d，则非简并条件为：，则非简并条件为： 意义：粒子间距离远大于热运动所对应的德布罗意波长时，意义：粒子间距离远大于热运动所对应的德布罗意波长时， 可视为经典分布。可视为经典分布。 非简并条件：非简并条件：粒子质量粒子质量m大，温度大，温度T高，粒子密度高，粒子密度 N/V小小 3. 经典极限条件经典极限条件 1)(F )( F dFdN)()( 0 )()( dFdNN 00 )()( dFdNEU 4. 体系粒子数分布与分布函数的关系体系粒子数分布与分布函数的关系 能量为能量为 的一个单粒子态上的的一个单粒子态上的粒子数。粒子数。 能