10山东建筑大学结构力学动力学1

1、 10-1 10-1 动力计算概述动力计算概述 一、动力计算的特点、目的和内容一、动力计算的特点、目的和内容 1 1、特点：、特点：静力荷载与动力荷载的特点及其效应。静力荷载与动力荷载的特点及其效应。 “静力荷载静力荷载”是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。这是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。这 类荷载类荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计对结构产生的惯性力可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都是确定，由它所引起的内力和变形都是确定 的。的。( (绝大部分的恒载、活载）绝大部分的恒载、活载） “ “动力荷载动力荷载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类是指

2、其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类 荷载荷载对结构产生的惯性力不能忽略对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度， 由它所引起的内力和变形都是时间的函数。由它所引起的内力和变形都是时间的函数。 2 2、目的和内容、目的和内容 计算结构的动力反应计算结构的动力反应：结构的刚度、质量等性能与振动中：结构的刚度、质量等性能与振动中内力、位移、速内力、位移、速 度与加速度的关系，及结构在动内力与静内力共同作用下力学状态。度与加速度的关系，及结构在动内力与静内力共同作用下力学状态。 与静力计算的对比：与静力计算的对比：两者都是建立平

3、衡方程，但动力计算，利用动静法，两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法， 建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷 载、内力都是时间的函数。建立的载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程平衡方程是微分方程。 P(t ) t P t 简谐荷载（按正、余弦规律变化）简谐荷载（按正、余弦规律变化） 一般周期荷载一般周期荷载 动力计算的内容动力计算的内容：研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。：研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。 二、动力荷载分类二、动力荷载分类 按其变

4、化规律及其作用特点可分为：按其变化规律及其作用特点可分为： 1 1）周期荷载：随时间作周期性变化）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力）。（转动电机的偏心力） 涉及到内外两方面的因素：涉及到内外两方面的因素： 1 1）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）；）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）； 2 2）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的质量分布、自振频率、周）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的质量分布、自振频率、周 期、振型和阻尼等等），类似静力学中的期、振型和阻尼等等），类似静力学中的I、S等；等； 计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。计算动位移及其幅值；计算动内力及其

5、幅值。 3 3）随机荷载：）随机荷载：( (非确定性荷载非确定性荷载) ) 荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。 （如地震荷载、风荷载）（如地震荷载、风荷载） 2 2）冲击荷载：）冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载）短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载） P t P(t ) t tr P tr P 塔克马海峡大桥在大风中垮塌塔克马海峡大桥在大风中垮塌 三、动力计算中体系的自由度三、动力计算中体系的自由度 确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为体系的振动自由度体系的振动自由度。 实际结构的质量都是连续分布的

6、，严格地说来都是无限自由度体系。计算实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算 困难，常取如下简化方法：困难，常取如下简化方法： 1 1、集中质量法、集中质量法 把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限 自由度问题。自由度问题。 2个自由度个自由度 y2 y1 2个自由度个自由度 自由度与质量数不一定相等自由度与质量数不一定相等 m mm梁 m +m梁 I I2I m+m柱 厂房排架水平振厂房排架水平振 时的计算简图时的计算简图 单自由度体系单自由度体系 水平振动时的计算体系水平振动时

7、的计算体系 多自由度体系多自由度体系 构架式基础顶板简化成刚性块构架式基础顶板简化成刚性块 (t) v(t) u(t) 4个自由度个自由度 m1m2m3 2个自由度个自由度 )(xm y(x,t) x 无限自由度体系无限自由度体系 2 2、广义座标法：、广义座标法： 如简支梁的变形曲线可用三角级数来表示如简支梁的变形曲线可用三角级数来表示 n k k l xk tatxy 1 sin)(),( 用几条函数曲线来描述体系的振动曲用几条函数曲线来描述体系的振动曲 线就称它是几个自由度体系，其中线就称它是几个自由度体系，其中 l xk sin 是根据边界约束条件选取是根据边界约束条件选取 的函数，称

8、为形状函数。的函数，称为形状函数。 ak(t) 称广义座标，为一组待定称广义座标，为一组待定 参数，其个数即为自由度数，用此法可将参数，其个数即为自由度数，用此法可将 无限自由度体系简化为有限自由度体系。无限自由度体系简化为有限自由度体系。 x y x )(.),.(),( 21 xxx n a1， a2，. an n k kk xatxy 1 )(),( y(x,t) 3 3、有限单元法、有限单元法 四、动力计算的方法四、动力计算的方法 动力平衡法（达朗伯尔原理）动力平衡法（达朗伯尔原理） )()(tymtP m 0)()(tymtP .运动方程运动方程 m 设其中设其中)()(tItym

9、P(t)I(t) .平衡方程平衡方程 I(t)惯性力，与加速度成正比，方向相反惯性力，与加速度成正比，方向相反 )()(tymtP 改写成改写成 虚功原理（拉格朗日方程）虚功原理（拉格朗日方程） 哈米顿原理（变分方程）哈米顿原理（变分方程） 都要用到抽象的虚位移概念 都要用到抽象的虚位移概念 )(ty m 10-2 10-2 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动 自由振动自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 静平衡位置静平衡位置 m获得初位移获得初位移ym获得初速度获得初速度 y 自由振动产生原因自由振动产生原因：体系在初始时刻（：体系在初始

10、时刻（t=t=0 0）受到外界的干扰。）受到外界的干扰。 研究单自由度体系的自由振动重要性在于：研究单自由度体系的自由振动重要性在于： 1 1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。 2 2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。 自由振动反映了体系的固有动力特性。自由振动反映了体系的固有动力特性。 要解决的问题包括：要解决的问题包括： 建立运动方程、计算自振频率、周期，阻尼的影响建立运动方程、计算自振频率、周期，阻尼的影响. 一、运动微分方程的建立一、运动微分方程的建立 方法：

11、达朗伯尔原理方法：达朗伯尔原理应用条件：微幅振动（线性微分方程）应用条件：微幅振动（线性微分方程） 1 1、 刚度法刚度法：研究作用于被隔离的质量上的：研究作用于被隔离的质量上的 力，建立平衡方程。力，建立平衡方程。 m . . yj .yd 静平衡位置 质量m在任一时刻的位移 y(t)=yj+yd k 力学模型力学模型 . yd mm W S(t) I(t) + 重力重力 W 弹性力弹性力 )()()( dj yyktkytS恒与位移反向恒与位移反向 惯性力惯性力)()()( dj yymtymtI Wyykyym djdj )()( (a) 其中 kyj=W 及0 j y 上式可以简化为

12、0 dd kyy m 或或 ).(.0bkyym 由平衡位置计量。以质点受力平衡建立方程，引用了刚度系数，称刚度法。由平衡位置计量。以质点受力平衡建立方程，引用了刚度系数，称刚度法。 2 2、 柔度法柔度法：研究结构上：研究结构上( (质点位置质点位置) )的位移，建立位移协调方程。的位移，建立位移协调方程。 . . m静平衡位置 I(t) ).(.)()()(ctymtIty 0)( ytym k 1 可得与可得与 ( (b b) ) 相同的方程相同的方程 刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。 二、自由振动微分方程的解二、自由振动微分方

13、程的解 ).(.0bkyym 改写为0y m k y 0 2 yy 其中 m k 2 它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为： ).(.cossin)( 21 dtCtCty 积分常数积分常数C1，C2由初始条件确定由初始条件确定 设已知结构的柔度系数 m静平衡位置静平衡位置 I(t) ).(cossin)( 21 dtCtCty 设设 t=0 时时 vy yy )0( )0( v C yC 1 2 . . （d）式可以写成式可以写成 ).(.sincos)(et v tyty 由式可知，位移是由初位移由式可知，位移是由初位移y 引起的余弦运动和由初速度引起

14、的余弦运动和由初速度v 引起的正弦引起的正弦 运动的合成，为了便于研究合成运动运动的合成，为了便于研究合成运动, , 令令 cos,sinA v Ay (e)式改写成式改写成 ).(.).sin()(ftAty 它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和和 可由下式确定可由下式确定 ).(. 1 2 2 g v y tg v yA 振幅振幅 相位角相位角 ).(.sincos)(et v tyty ).(.).sin()(ftAty y 0 t y -y T T T v v y t0 y t 0 A -A tycos t v sin tAsin 三、结构的自振

15、周期和频率三、结构的自振周期和频率 由式由式)sin()(tAty及图可见位移方程是一个周期函数。及图可见位移方程是一个周期函数。 T y t 0 A -A 周期周期 , 2 T 工程频率工程频率 ),( 2 1 Hz T f 园频率园频率 T f 2 2 计算频率和周期的几种形式计算频率和周期的几种形式 st g W g mm k 1 gk m T st 22 频率频率 和周和周 期的期的 讨论讨论 1.1.只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关；只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关； 2.2.与与m的平方根成正比，与的平方根成正比，与k成反比，据此可改变周期；成反比，据此可改变周期；

16、 3.3.是结构动力特性的重要数量标志。是结构动力特性的重要数量标志。 例例1. 1. 计算图示结构的频率和周期。计算图示结构的频率和周期。 m EI l /2 l /2 1 EI l 48 3 3 48 ml EI EI ml T 48 2 3 例例2.2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。计算图示结构的水平和竖向振动频率。 m l A,E,I H E,I 1 H H m 1 E,A 1 V V V m 1 II EI1= m h 1 k 2 6 h EI 2 6 h EI 2 6 h EI 2 6 h EI 例例3.3.计算图示刚架的频率和周期。计算图示刚架的频率和周期。 3 12 h E

17、I 3 12 h EI 由截面平衡由截面平衡 3 24 h EI k 3 24 mh EI m k EI mh T 2 2 3 例例4 4、图示三根单跨梁，、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。 l/2l/2l/2l/2l/2l/2 mm m 解：解：1 1）求）求 EI l 48 3 1 P=1 3l/16 5l/32 P=1 l/2 EI lllll EI l 768 7 ) 32 5 216 3 2 2( 6 1 3 2 1 EI l 768 7 3 2 EI l 192

18、 3 3 3 1 1 481 ml EI m 3 2 2 7 7681 ml EI m 3 3 3 1921 ml EI m 据此可得据此可得：1? 2 ? 3= 1 ? 1.512 ? 2 结构约束越强结构约束越强, ,其刚度越大其刚度越大, ,刚度越大刚度越大, ,其自振动频率也越大。其自振动频率也越大。 四、简谐自由振动的特性四、简谐自由振动的特性 由式由式 )sin()(tAty 可得，可得，加速度为：加速度为： )sin()( 2 tAt y )sin()()( 2 tmAtymtI 在无阻尼自由振动中，在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力位移、加速度和惯性力都按正弦规都按正弦规 律变化，且律变化，且作相位相同的同步运动作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极，即它们在同一时刻