勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法

1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。 勾股定理 是余弦定理的一个特例。勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。勾股数组方程a2 + b2= c2的正整数组（a, b, c）。（3,4,5）就是勾股数。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理命题1如果直角三角形 的两条直角边长分别为 a， b，斜边长为c，那么缺十2二F。勾股

2、定理的逆定理命题2如果三角形的三边长a, b，c满足fi2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形。【证法1】（赵爽证明）以a、b为直角边（ba），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面1积等于1 ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.2/ Rt DAHB Rt ABE,. / HDA = / EAB./ / HAD + / HAD = 90o,. / EAB + / HAD = 90o, ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于 c2./ EF = FG =GH =HE = b a , / HEF = 90o.皿- J. EFGH是一个边长为ba的正方形，它的

3、面积等于.【证法2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等.a+fr1+4x-rf=+4xaft2 i即22，整理得.【证法3】（1876年美国总统 Garfield 证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于1.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B三点在一条直线上./ Rt EAD也 Rt CBE,. / ADE = / BEC./ AED + / ADE =

4、90o, / AED + / BEC = 90o. / / DEC = 180o 90o= 90o. DEC是 一个等腰直角三角形，它的面积等于.又 T / DAE = 90o, / EBC = 90o, AD/ BC.ABCD是一个直角梯形，它的面积等于【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝

5、在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢？ ”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为 5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少？ ”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理， 并给出了简洁的证明方法。1876年4月1日伽菲尔德在

6、新英格兰教育 日志上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。” 证法。【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为 a、b、c的 正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C、B三点在一 条直线上，连结 BF、CD.过C作CL DE交AB于点M 交DE于点 L. T AF = AC， AB = AD，/ FAB = / GAD FAB 也 GAD/ FAB的面积等于， GAD的面积等于矩形 ADLM勺Pl曲丁-JE血=（*肛 砸個-an）上亠城一4=一川,面积的一半,矩形ADLM的面积

7、=.同理可证，矩形 MLEB的面积=尸.正方形ADEB勺面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB勺面积J-f+X，即 J + 尸-c1.【证法5】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ABC中，设直角边 AG BC的长度分别为 a、b,斜边AB的长为c,过点C作CDLAB 垂足是 D.在 ADC和 ACB中, AD： AC = AC : AB即虫厂 皿剧.同理可证， CDB s ACB从而有宀胚扭一才尸，即 a+-c1【证法6】（邹元治证明）把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上， C、G D三点在一条直线上/ Rt HAE也 Rt EBF

8、,. / AHE = / BEF./ AEH + / AHE = 90o, / AEH + / BEF = 900./ HEF = 180o90o= 90o.四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2. ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于【证法7】（利用切割线定理证明）在Rt ABC中，设直角边 BC = a , AC = b，斜边 AB = c.如图，以B为圆心a为半径作圆,交AB及AB的延长线分别于 D、E,贝U BD = BE = BC = a.因为/ BCA = 90o,点 C在OB上,所以AC是O B的切线.由切割线定理，得 ADCs ACB.以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于Rt GDHB Rt HAE/. / HGD = / EHA./ EHA + / GHD = 90o.又 / GHE = 90o, / DHA = 90o+ 90o= 180o./ ADC = / ACB = 90o,/ CAD = / BAC/ HGD + / GHD = 90o,/即 c2-a2, 斎 c3.【证法8】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ABC中，设直角边 BC = a , AC = b，斜边 AB = c.作Rt ABC的 内切圆O O切点分别为 D E、F （如图）