初中奥林匹克数学竞赛辅导讲义及训练习题--韦达定理

1、222b、或 2 c、d、222初中奥林匹克数学竞赛辅导讲义 -韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由 16 世纪法国最杰出 的数学家韦达发现的。韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这 类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法

2、。【例题求解】【例 1】 已知a 、 b是方程 x -x -1 =0的两个实数根，则代数式a +a(b -2) 的值为 。思路点拨：所求代数式为 a 、 b的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例 2】如果 a 、 b都是质数，且 a2-13a +m =0 ， b2-13b +m =0 ，那么b a+a b的值为( )a、123 125 125 12322 22 22 22或 2思路点拨 ：可将两个等式相减，得到a、 b的关系，由于两个等式结构相同，可视a、 b为方程x2-13 x +m =0 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。注：应用韦达定理的代数式的值，一般

3、是关于 x 、x 的对称式，这类问题可通过变形用 x + x 、x x1 2 1 2 1 2示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。表【例 3】 已知关于 x的方程： x -(m -2) x -m4=0(1)求证：无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。(2)若这个方程的两个实根 x1、 x2满足 x = x +2 ，求 m 的值及相应的 x 2 1 1、 x2。思路点拨：对于(2)，先判定 x1、 x2的符号特征，并从分类讨论入手。【例 4】 设 x 、 x1 2是方程 2 x2-4 mx +2 m2+3m -2 =0 的两

4、个实数根，当 m 为何值时， x +x1 22有最小1122值? 并求出这个最小值。思路点拨：利用根与系数关系把待求式用 m 的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束 条件下 0)进行的。注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别 式0 这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性。【例 5】 已知：四边形 abcd 中，abcd，且 ab、cd 的长是关于 x的方程 x -2 mx +( m - ) +274=0的两个根。(1) 当 m2 和 m2 时，四边形 abcd 分别是哪种四边形? 并说明理由。(2) 若

5、 m、n 分别是 ad、bc 的中点，线段 mn 分别交 ac、bd 于点 p，q，pq1，且 abcd，求 ab、 cd 的长思路点拨：对于(2)，易建立含 ac、bd 及 m 的关系式，要求出 m 值，还需运用与中点相关知识找寻 cd、ab 的另一隐含关系式。注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形” 向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性2223 22 2222bd充满活力的韦达定理学历训练1、(1)已知 x1和 x2为一元二次方程 2x -2 x +3m -1 =0的两个实根，并 x1和 x2满足不等式

6、x x1 2 x +x -41 21，则实数 m取值范围是 。(2) 已知关于 x的一元二次方程 8x +( m +1) x +m -7 =0 有两个负数根，那么实数m的取值范围是 。2、已知 a 、 b 是方程的两个实数根，则代数式 a +a b+ab+b的值为 。3、cd 是 abc 斜边上的高线，ad、bd 是方程 x2-6 x +4 =0的两根，则abc 的面积是 。4、设 x1、 x2是关于 x的方程 x +px +q =0 的两根， x1+1、 x2+1 是关于 x的方程 x +qx +p =0 的两根，则 p 、 q 的值分别等于( ) a1，-3 b1，3 c-1，-3 d-1

7、，35、在 abc 中，c90，a、b、c 分别是a、b、c 的对边，a、b 是关于 x的方程 x -7 x +c +7 =0的两根，那么 ab 边上的中线长是( )a3 52 2c5 d26、方程 x 2 +px +1997 =0 恰有两个正整数根 x1、 x2，则p( x +1)( x +1) 1 2的值是( )a1 b-l c -1 12 27 、若关于 x的一元二次方程的两个实数根满足关系式：x ( x +1) +x ( x +1) =( x +1)( x +1) 1 1 2 2 1 2，判断( a +b ) 2 4 是否正确?8、已知关于 x 的方程 x2-(2 k -3) x +k

8、2+1 =0 。(1) 当 k是为何值时，此方程有实数根；(2)若此方程的两个实数根 x 、 x 满足： x + x =3 ，求 k 的值。1 2 2 1322b acd222cd1222+9、已知方程 x +px +q =0 的两根均为正整数，且 p +q =28，那么这个方程两根为 。10、已知 a 、 b 是方程 x -x -1 =0 的两个根，则 a4 +3b的值为 。11 abc 的一边长为 5，另两边长恰为方程 2 x2-12 x +m =0 的两根，则 m 的取值范围是 。12、两个质数 a、 b恰好是整系数方程的两个根，则 +a b的值是( )a9413 b9413 9413

9、9413194 99 9713、设方程有一个正根 x1，一个负根 x2，则以 x 、 x 1 2为根的一元二次方程为( )a x -3 x -m -2 =0b x +3 x -m -2 =0c x2- 1 -4 m x -2 =0d x2- 1 -4 m x +2 =014、如果方程 ( x -1)( x -2 x +m ) =0 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数 m 的取值范围是 ( )a0m1 bm3 3 3bc)的长是关于 x 的方程的两个根。 (1)求 rn 的值；（2）若 e 是 ab 上的一点，cfde 于 f，求 be 为何值时，cef 的面积 ced 的面积的 ，请说3明理由16、设 m 是不小于 -1 的实数，使得关于 x的方程工 x +2( m -2) x +m -3m +3 =0 有两个不相等的实数根x1、 x2。(1) 若 x 2 +x122=6，求 m 的值。 （2）求mx mx1 2 1 -x 1 -x122的最大值。4222217、如图，已知在abc 中，acb=90，过 c 作 cdab 于 d，且 adm，bd=n，ac2：bc22：1；又关于 x 的方程14x2-2( n -1) x +m2-12