常微分方程期末考试试卷

1、常微分方程期末考试试卷学院 班级学号姓名成绩一.填空题 (30分)1. dy P(x)y Q(x)称为一阶线性方程，它有积分因子e pxx ，其通 dx解为。2 .函数f (x, y)称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果。3.若(X)为毕卡逼近序列n(x)的极限，则有| (X) n(x)。4 .方程dy x2 y2定义在矩形域R: 2 x 2, 2 y 2上，则经过点 dx(0, 0)的解的存在区间是。5.函数组et,e t,e2t的伏朗斯基行列式为 。6 .若x()(i 1,2, ,n)为齐线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐线性方 程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 o7

2、 .若(t)是x A(t)x的基解矩阵，则向量函数(t) = 是x A(t)x f (t)的满足初始条件(to) 0的解；向量函数(t) =是x A(t)x f (t)的满足初始条件(t) 的解。8 .若矩阵A具有n个线性无关的特征向量V1,V2,vn，它们对应的特征值分别为1, 2, n，那么矩阵 (t)= 是常系数线性方程组x Ax的一个基解矩阵。9. 满足的点(x*, y*)，称为驻定方程组。计算题(60分)22310. 求方程4x y dx 2(x y 1)dy 0的通解。ddy11求方程空e阪x 0的通解dxdy 2212求初值问题 dX X y R： x 11, y 1的解的存在区

3、间，并求y( 1) o第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。13.求方程x 9xtsin 3t的通解。14.试求方程组xAx f(t)的解(t).1 1 2et(0) ,A 12 ,f(t) e14 3115.试求线性万程组-2x 7y 19,计x 2y 5的奇点，并判断奇点 的类型及稳定性。三.证明题 （10分）16 .如果 （t）是xAx满足初始条件（t。）的解，那么(t)exo A(t to)常微分方程期终考试试卷答案.填空题 (30分)P (x)dxP (x)dx1. y e ( Q(x)e dx2. f (x, y)在R上连续，存在LC)f (x, y2) Lyi y2 ,对于

4、3.MLn nh (n 1)!14.1 -x 414tte e2t e5.ttee2e2ttte e4e2t6.nx(t)i 1Ci Xj (t)x(t)7.tt (t)t01(s) f (s)ds(t)8.e 1tv1 ,e 2tV2,e ntVn9.X(x, y)0,Y(x,y)0计算题(60 分)10.解：卫y-8x2Ny,x6x2yMNyx1积分因子M2y任意(x, yj(x, y2) R(y)1(to)t(t)t1(s)f (s)ds1dy2y两边同乘以(y)后方程变为恰当方程:4x2y3dx 2y2(x3y 1)dy24x2y3 两边积分得:3u |x3y2(y)11.12.1U

5、2x3y2得:(y)(y)N 2x3y 至14y22y因此方程的通解为:得:ep那么ypdxp(1pepep因此方程的通解为:解：M maxRf(x,y)x X。1 a, yy。解的存在区间为令 o(X)1(x)02(x)0误差估计为:12 /3y (x yep x 0ep)dpy。dxx22(X)3)x32yp ep2 p(p1)ep c1)2(x)dxMLnmin (a,Mx3x7h (n 1)!b)63x418x 1194212429013i,23i3i是方程的特征值，设 x(t) t(At B)e3it得：x(2A9Bt12 Ait 6 Bi 9At2)e3it则 2A 12 Ait6

6、Bi t得: A丄-i,B11236因此方程的通解为：x(t)1G cos3t c2 sin3t 1212det( E A)(1)(5)04/J1 1,2 5(1E AM0得V1取v111(2E A)v20得V2取V212 213.解:5tte14.解:t2cos3t 丄 tsi n3t36则基解矩阵(t)e2e5t(t)1(0)tete5t e2e5tt(t)tL01(s) f (s)ds1123 5te203 5te10tete因此方程的通解为:(t)(t)1(0)3 5te203 5te1015.解：2X 7y 19x 2y 51e41 te22515t(t)1 e 41 te2t02511(s) f (s)ds50020三.证明题16.证明:(1, 3)是奇点19 7x亍丫 ydY7临2 72731 2022X0,那么由可得:1dX因此（1, 3）(10 分)由定理8可知又因为（t）x 2Y、3i, 2是稳定中心(t)(t)exp At,f(s) 0所以(t) exp At,3i(to