2021届高考理科数学一轮复习单元质量检测卷12 概率(B)

1、21924 644219单元质检十二概率(b)(时间:45 分钟 满分:100 分)一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 7 分,共 42 分)1.若随机变量 xb(100, p),x 的均值 e(x)=24,则 p 的值是( )a.5b.35c.625d.25答案:c解析:xb(100,p),e(x)=100p.又 e(x)=24,24=100p,即 p= = .100 252.两名教师对一篇初评为“优秀”的作文复评,若批改成绩都是两位正整数,且十位数字都 是 5,则两名教师批改成绩之差的绝对值不超过 2 的概率为( )a.0.44 b.0.56 c.0.41 d.0.39答案:a解析:用

2、(x,y)表示两名教师的批改成绩,则(x,y)的所有可能情况为 1010 =100(种). 当 x=50 时,y 可取 50,51,52,共 3 种可能;当 x=51 时,y 可取 50,51,52,53,共 4 种可能;当 x=52,53,54,55,56,57 时,y 的取法均有 5 种, 共 30 种可能;当 x=58 时,y 可取 56,57,58,59,共 4 种可能;当 x=59 时,y 可取 57,58,59,共 3 种可能.综上可得,两名教师批改成绩之差的绝对值不超过 2 的情况有 44 种.由古典概型概率公式可得,所求概率 p= =0.44.1003.甲、乙两人独立地对同一目

3、标各射击一次,命中率分别为 0.6 和 0.7,在目标被击中的情 况下,甲、乙同时击中目标的概率为( )a.44b.1522c.2150d.25答案:a解析:(方法一)设“目标被击中”为事件 b,“甲、乙同时击中目标”为事件 a, 则 p(a)=0.60.7=0.42,p(b)=0.60.7+0.40.7+0.60.3=0.88,= =.=.故选 a.13.得 p(a|b)=() () 0.42 21 () () 0.88 44(方法二)记“甲击中目标”为事件 a,“乙击中目标”为事件 b,“目标被击中”为事件 c, 则 p(c)=1-p()p()=1- (1-0.6)(1-0.7)=0.88

4、.故在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为0.60.7 21 0.88 444.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和 一块平行四边形共七块板组成的.一个用七巧板拼成的正方形如图所示,若在此正方形中 任取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )a.4b.18c.38d.16答案:b解析:不妨设小正方形的边长为 1,则最小的两个等腰直角三角形的边长为 1,1,2,左上角的等腰直角三角形的边长为2, 2,2,两个最大的等腰直角三角形的边长为 2,2,22,即大 正方形的边长为 22,所以所求概率p=1-12112228=185.(2019 河北石家庄一模

5、)设 xn(1,2),其正态分布密度曲线如图所示,且 p(x3)=0.0228,那么向正方形 oabc 中随机投掷 20 000 个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为 ( )附:随机变量 服从正态分布 n(1,2 4),则 p(-+)=0.682 6,p( -2 +2)=0.954a.12 076 b.13 174c.14 056 d.7 539答案:b解析:由题意,得p(x-1)=p(x3)=0.0228;p(-1x3)=1-0.0228 2=0.9544.1410610=c ccc +c cc.2 45 41 2 35 4 3 = =,2 3c a,=3 1 5p(-2 +2)=0.9

6、544,1-2=-1,故 =1,p(0x1)= p(0x2)=0.3413,2故估计落入阴影部分的点的个数为 20000(1-0.3413)=13174,故选 b.6.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p,各成员的支付方式相互独立.设 x 为 该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数,d(x)=2.4,p (x=4)p(x=6),则 p=( ) a.0.7 b.0.6c.0.4 d.0.3答案:b解析:由题意,得 d(x)=np(1-p)=10p(1-p)=2.4,p(1-p)=0.24,由 p(x=4)p(x=6)知c p4(1-p)6(1-p)2,p0.5,p=0.6(其中 p=

7、0.4 舍去).二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 7 分,共 14 分)7.(2019 辽宁庄河高级中学一模)若 10 件产品包含 2 件次品,今在其中任取两件,则在已知 两件中有一件不是次品的条件下,另一件是次品的概率为 .答案:411解析:设事件 a=两件中有一件不是次品,事件 b=两件中恰有一件是次品,则p(b|a)=() () () ()1 12 82= 10 =2 1 18 2 82104118.甲、乙等 5 名志愿者被随机地分到 a,b,c,d 四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一 名志愿者.设随机变量 x 为这 5 名志愿者中参加 a 岗位服务的人数,则 x 的均值 为 .

8、答案:54解析:根据题意,5 名志愿者被随机分配到 a,b,c,d 四个不同岗位,每个岗位至少一人,共有c a=240(种),而 x=1,2,则 p(x=1)=c c a 180 3 240 240 4p(x=2)=5 3 =24060240=14故 e(x)=1 +2 .4 4 4三、解答题(本大题共 3 小题,共 44 分)9929 91 18 8199.(14 分)根据国家环境空气质量规定:居民区中的 pm2.5(pm2.5 是指大气中直径小 于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称可入肺颗粒物)年平均浓度不得超过 35 微克/立方 米,pm2.5 的 24 小时平均浓度不得超过 75 微克

9、/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居 民区去年 40 天的 pm2.5 的 24 小时平均浓度的监测数据,数据统计如下:组别第一组第二组第三组第四组第五组第六组pm2.5/(微克/立方米) 0,15)15,30)30,45)45,60)60,75)75,90频数/天4128844频率0.10.30.20.20.10.1(1) 写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程);(2) 求该样本的平均数,并根据样本估计总体的思想,从 pm2.5 的年平均浓度考虑,判断该 居民区的环境是否需要改进? 说明理由;(3) 将频率视为概率,监测去年的某 2 天,记这 2 天中该居民区 pm2.5 的 24

10、小时平均浓度 符合环境空气质量标准的天数为 ,求 的分布列及均值 e()和方差 d().解:(1)众数为 22.5 微克/立方米,中位数为 37.5 微克/立方米.(2)去年该居民区 pm2.5 的年平均浓度为7.50.1+22.50.3+37.50.2+52.50.2+67.50.1+82.50.1=40.5(微克/ 立方米).40.535,去年该居民区 pm2.5 的年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居民区的环境需要 改进.(3)记事件 a 表示“一天 pm2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准”,则 p(a)= .10随机变量 的可能取值为 0,1,2,且 b(2,).1

11、0p(=k)=c0 2 - ( ) (1- )10 10(k=0,1,2),即12pe()=01100+1 +2 =1.8, 100 100 1001810081100或 e()=np=2 =1.8,10d()=np(1-p)=29 110 10=0.18.10.(15 分)为了解学生寒假期间学习情况,学校对某班男、女学生学习时间进行调查,学 习时间按整小时统计,调查结果绘制成折线图如下:2 212124,1 34 4 = =,482 24 4 = =,483 14 4 = =,484.1 8 18 8 1女生统计图男生统计图(1) 已知该校有 400 名学生,试估计全校学生中,每天学习不足

12、4 小时的人数;(2) 若从学习时间不少于 4 小时的学生中选取 4 人,设选取的男生人数为 x,求随机变量 x 的分布列及均值 e(x);(3) 试比较男生学习时间的方差 与女生学习时间的方差 的大小.(只需写出结论)解:(1)由折线图可得共抽取了 20 人,其中男生中学习时间不足 4 小时的有 8 人,女生中学 习时间不足 4 小时的有 4 人.故可估计全校学生中每天学习时间不足 4 小时的人数为 400 =240.20(2)学习时间不少于 4 小时的学生共 8 人,其中男生人数为 4,故 x 的所有可能取值为 0,1,2,3,4.由题意可得p(x=0)=cc4 =48170p(x=1)=

13、p(x=2)=p(x=3)=c c 16 8c 70 35c c 36 18c 70 35c c 16 8c 70 35p(x=4)=cc4 =48170所以随机变量 x 的分布列为x01234p1708351835835170均值 e(x)=0 +1 +2 +3 +4 =2.70 35 35 35 70221 2i0 8 ii-1 ii+1i+1 i44ii-1ii+1i+1 ii i-1i+1 ii i-11 0 1i+1 i18 8 7 7 61 0 08 77 61 048-1181,84 4 33 22 11 04p =.1(3)由折线图可得 .11.(15 分)(2019 全国 ,

14、 理 21)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新 药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下 一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时,就停止试验,并认 为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治 愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分,乙药得-1 分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲 药的白鼠未治愈则乙药得 1 分,甲药得-1 分;若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分.甲、 乙两种药的治愈率分别记

15、为 和 ,一轮试验中甲药的得分记为 x.(1) 求 x 的分布列;(2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分,p (i=0,1,8)表示“甲药的累计得分为 i 时,最 终认为甲药比乙药更有效”的概率,则 p =0,p =1,p =ap +bp +cp (i=1,2,7),其中 a=p(x=-1),b=p(x=0),c=p(x=1).假设 =0.5,=0.8.1 证明:p -p (i=0,1,2,7)为等比数列;2 求 p ,并根据 p 的值解释这种试验方案的合理性.解:(1)x 的所有可能取值为-1,0,1.p(x=-1)=(1-),p(x=0)= +(1-)(1-),p(x=1)=(1-).所以 x 的分布列为xp-1(1-)0+(1-)(1-)1(1-)(2)证明:由(1)得 a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此 p =0.4p +0.5p +0.1p ,故 0.1(p -p )=0.4(p -p ),即 p -p =4(p -p ).又因为 p -p =p 0,所以p -p (i=0,1,2,7)为公比