(完整版)北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案

1、和选课单上的 ，100k北京邮电大学 20122013 学年第 1 学期概率论与随机过程期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号 学号 班内序号 !一. 单项选择题和填空题：（每空 3 分，共 30 分）1.设a是定义在非空集合 w 上的集代数,则下面正确的是.a（a）若aa, ba,则a-ba;（b）若aa, b a,则 ba;（c） 若（d） 若a aa a, n =1,2,则;nnn=1a a, n =1,2,且 a a a n 1 2 3,则n=1a an.2. 设 (w,f)为一可测空间， p 为定义

2、在其上的有限可加测度，则下面正确的是（a）若.caf, bf,则 p ( a -b ) =p ( a) -p ( b ) ；（b）若a f, n =1,2,且 a a a n 1 2 3，则 p(n =1a ) =lim p( a ) ； n nn （c）若af, bf,cf,，则 p ( a b c ) =p ( a) +p ( ab ) +p ( a bc ) ；（d）若a f, n =1,2,且 a a =, i =/j， p ( n i jn =1a ) =p( a ) .n nn =13.设 f 为从概率空间 (w,f,p )到borel 可测空间 (r,b )上的实可测函数，表达式

3、为 f (w ) =ki ，其中 a a =, i =/j, a i jk =0100n =0a =w，则 nwfdp =；1100- 0.2 0.3 0.5若已知 p ( a ) = k100! 1 k !(100 -k )! 2100，则 f 2 dp =w.kp ( a ), 25 +50kk =02=25254. 设二维随机变量 ( x , y ) 的概率密度f ( x, y ) =2, 0 x 1,0 y x, 0, 其他，则 e e x | y = .2/35. 设随机过程 x (t ) =x coswt , -t0,e (其他，p20x (t ) dt ) =1w16. 设 w

4、(t ), t 0 是参数为 s2(s 0) 的维纳过程，令 x (t ) =w ( ) ，则相关t函数 r (1,2) =xs 22.7. 设齐次马氏链的状态空间为 e =1,2,3 ,一步转移概率为0.5 0.5 0p = 0.5 0.5 0 则（1） lim p( n )11n =；（2） p ( n )33n =0=. 1/2,2二. 概率题（共 30 分）1.(10 分) 设 ( x , y ) 的概率密度为22222u令 u =x2+y2x +x1 21-,2sf ( x, y ) = e2ps2, v =y , （1）求 (u ,v ) 的概率密度 g (u, v ) ；（2）求

5、 u 的边缘概率密度 g (u ) .uu =x 2 +y 2 , x=u2 -v 2 ,解解.（1） 解方程 得 | v |u , v =y , y =v ,所以雅可比行列式 j =u2 u 20-v2v2 u 21-v2=u 2 u 2 -v 2,故g (u , v ) = f ( x , y ) | j |=12 ps2e-u2s20,u u 2 -v 2, | v |u ,其他 .5 分（2）对 u 0 ，g (u) = u-g (u, v)dv =u-u12 ps2e-u2suu2 -v 2dvu= e2ps2-u2s2 u-uu11 -v 2udv = e2s2-u2s2 , u

6、- u e 2s2, u 0,故 g (u) =2s20, 其他.2.（10 分）设 (u , v ) 的概率密度e-u, u -v 0, v 0, g (u, v) =0, 其他，10 分（1）求 e ( iv 1| u =10) ，其中 iv 1(w) =1, wv 1，（2） d (v | u ) .0, 其他，3uv |uu1 11010v |unnn解 u 的边缘概率密度为g (u ) = u0 ug (u , v ) dv =0e -u dv , u 0, 0, 其他,ue-u , u 0, =0, 其他,所以条件概率密度 g (u, v) g ( v | u ) = =g (u)

7、（1）1, 0 v 1| u =10) =p (v 1| u =10) =g (v | u =10) dv = dv = .1 1 10 27 分（2）因为 d (v | u =u ) =u 2 u 2 ，所以 d (v | u ) = 。12 1210 分3.（10 分）设 x , x , , x 独立同分布，均服从两点分布，即1 2 npx =0 = p , px =1=1-p ,(0 p 0) 的泊松过程，即满足：(3)对 s, t 0, 有 px ( s +t ) -x ( s ) =k =( lt ) k e -lt k !, k =0,1,.x (t )(t 0) 也 是 参 数

8、为 l 2( 0) 的 泊 松 过 程 ， 且 与 x (t )1独 立 ， 令y (t ) =x (t ) +x (t ) ，（1）求 m1 2y(t )和r ( s , t ) ；（2）求 py (1) =1 . y解：因为y (t ) =x (t ) +x (t )1 2是参数为2l的泊松过程，所以（） m (t ) =2 l,r ( s , t ) =2 lmin s , t+4 l2st y y5 分（）py (1) =1 =2 le -2l10 分2. （10 分） 设 x (t ), -t0 ， y (t ) =x (t +h ) -x (t ) 是平稳过程；（2）求 y (t

9、) 的谱 密度.解 （1） ey (t ) =e x (t +h ) -x (t ) =m-m=0,ey (t +t)y (t ) =e x (t +t+h ) -x (t +t) x (t +h ) -x (t )=2 r (t x) -r ( h +t x) -r (t x-h )与 t 无关，则y (t ) =x (t +h ) -x (t ) 是平稳过程。5 分（2） f ( hl) =12 p+-ilt2 r (tx) -r ( h +t x) -r (t x-h)dt=2 f (l) -eihlf (l) -e-ihlf (l)=2 f ( l)(1-cosh l) .10 分5

10、000解 2 1 1 1 1 3 3 32 3. （10 分）设齐次马氏链 x , n 0 的状态空间为 e =0,1,2 ，一步转移n概率矩阵为1/2 1/4 1/4p = 1/2 0 1/2 ， 1/2 1/2 0 1初始分布为 px =0 =px =1 =px =2 = , 求3(1) px =1, x =1, x =2 和 px =1, x =1, x =2|x =0 ;1 2 4 1 2 4 0(2) x 的分布律.21/ 2 1/ 4 1/ 4(1) p = 1/ 2 3 / 8 1/ 8 1/ 2 1/ 8 3 / 8 p (1) p (2)px =1, x =1, x =2 =

11、 px =ip (1)1 2 4 0 i111 12ipx =1, x =1, x =2|x =0 = p p p (2) =0 1 2 4 0 01 11 12=0分(2)1/ 2 1/ 4 1/ 4 p (2) = p(0) p 2 = , , 1/ 2 3 / 8 1/ 8 = , 1/ 2 1/ 8 3 / 814,1410 分4.（10 分）齐次马氏链 x , n 0 的状态空间为 1,2,3, ，一步转移概率n矩阵为6i44ii120120120120120120000000000000000000p =000001400014001140001400001300023130002300000000000000013230000000001323确定该链的空间分解，状态分类，各状态的周期，并求平稳分布.解.（1）链可分, 1，34是不可分闭集, 状态空间 e =1,4 32,5,6,7, 2 分（2） 周期d (i) =1,i =1,2,. .4 分（3） 设平稳分布为 p=(p,1p=