10-画法几何与工程制图_第10章_曲线

1、第十章曲线 10-1 曲线概述 曲线的形成 曲线的分类 曲线的投影 曲线的实长 一、曲线的形成 曲线是点的集合 曲线可看作是一个点在空间连续运动的轨迹 曲面体的外形轮廓线 曲表面与其它表面的交线（如截交线、相贯 线） 二、曲线的分类 按点的运动轨迹 是否在同一平面 平面曲线 空间曲线 按点的运动 有无规律 规则曲线 不规则曲线 二次曲线（圆、椭圆、抛物线、二次曲线（圆、椭圆、抛物线、 双曲线等）以及任一曲面与平双曲线等）以及任一曲面与平 面的交线面的交线 曲线上任意连续四个点不在同曲线上任意连续四个点不在同 一平面上，例如圆柱螺旋线一平面上，例如圆柱螺旋线 可用数学方法精确描述，如圆、可用数学

2、方法精确描述，如圆、 正弦曲线、圆柱螺旋线正弦曲线、圆柱螺旋线 可用数学方法精确描述，只能可用数学方法精确描述，只能 用图和数据列表法表示，如海用图和数据列表法表示，如海 岸线等。岸线等。 三、曲线的投影 曲线的投影一般仍为曲线 属于曲线上的点，它的投影属于该曲线在同一投影面上 的投影 属于曲线某点的切线，它的投影与该曲线在同一投影面 的投影仍相切与切点的投影 A B C D E e d c b a 四、曲线的实长 将曲线分成若干段，定出各点的两面投影 利用直角三角形求实长的方法，求得各段曲 线的近似实长。 顺次量取各段实长求和即得近似实长。 图例说明 10-2 规则曲线 平面规则曲线 空间规

3、则曲线 平面规则曲线 平面规则曲 线的概念： 凡曲线 上所有点都 属于同一平 面，且该曲 线可以用数 学方法精确 描述，则称 为平面规则 曲线。 平面规则曲线的投影特性平面曲线除具有曲线 投影的性质外，尚有下列投影性质： 平面曲线所在的平面平行于某一投影面时，则 在该投影面的投影，反映曲线的实形。 平面曲线所在的平面垂直于某一投影面时，则 在该投影面的投影，积聚成一条直线。 平面曲线上某些奇异点的投影保持原有性质， 即曲线的拐点、尖点及两重点的投影后仍为曲 线投影的拐点、尖点及两重点。 抛物线、双曲线、椭圆等二次曲线投影后，一 般性质不变，即抛物线的投影为抛线、双曲线 的投影为双曲线、椭圆的投

4、影为椭圆等。 平面规则曲线 圆的投影 圆的投影特性 倾斜于投影面的圆，它的投影为椭圆(解析法 P144)。 倾斜于投影面的圆上任意一对相互垂直的直径， 投影成椭圆上的一对共轭直径(P144注)。 倾斜于投影面的圆上一对相互垂直的直径，其 中有一条直径为投影面平行线时，则它们在该 投影面的投影为椭圆的长短轴。 平面规则曲线 椭圆的投影 椭圆的投影特性 在特定条件下，椭圆的投影可为一 圆。(解析法P144)。 椭圆有一对共轭直径，投影后性质 不变。 空间规则曲线 凡是曲线上有任意四个连续的 点不属于同一平面，则称该曲线为 空间曲线。螺旋线为常见的规则空 间曲线。 空间规则曲线 圆柱螺旋线： 动点沿

5、着圆柱的轴线作等速移动，同时又绕柱轴作等速旋转运动，则 动点M的轨迹形成圆柱螺旋线 动点沿着圆柱面的母线作匀速直线运动，同时，该母线又绕圆柱面轴 线作匀速转动，点的这种复合运动的轨迹，称为圆柱螺旋线。 当母线旋转一周时，动点在母线上移动的距离，称为导程。 导圆柱面的直径、母线的旋转方向和导程是确定圆柱螺旋线的三要素， 已知三要素即可作出其投影图。 螺旋线有左旋和右旋之分。当 点按右手定则（以右手拇指指点的 移动方向，四指弯曲指着点的旋转 方向）运动时，则称为右旋(a)， 反之，则称为左旋(b)。 (a)(b) 一般取螺旋线的轴线垂直于投影面，如取轴线垂直于H面，则螺旋线的水平投影 为一圆周，直

6、径等于导圆柱面的直径d ；正面投影为正弦曲线。 具体作图方法如下（图6-（a）： 把水平投影圆周分为若干等份（例如12等份），把导程h 分为同样多的等份， 设始点为o，每旋转一份等分角，则上升一个等分距离，这样得到下面投影中一系列 的点，用曲线连接起来，即为螺旋线的正面投影。 螺旋线随导圆柱面展开时成直线（图6-（b）。一个导程的圆柱面展开后成矩 形，矩形的边长为d 和h 。矩形的对角线即为螺旋线展开后的位置，该直线与底 圆展开后所得直线的夹角叫做螺旋线的升角，它的余角称为螺旋角。 圆柱螺旋线的投影图圆柱螺旋线的投影图 10-3 不规则曲线 概 述 自由曲线广泛用于汽车、飞机、轮船、火 箭等计

7、算机辅助设计中，涉及的问题有两个方 面：一是由已知的离散点确定曲线；二是对已 知自由曲线，通过交互方式予以修改，使其满 足设计者的要求。 不规则曲线的描述与表示 (一) 曲线的样条表示 对于曲线而言，最具实际意义的莫过于样条曲线。样条曲线是在生产实 践的基础上产生和发展起来的。传统的处理方法是模线间的设计人员在绘制 模线时，先按给定的数据将型值点准确地“点”到图板上。然后，采用一种 称为“样条”的工具(一根富有弹性的有机玻璃条或木条)，用压铁强迫它通 过这些型值点，再适当调整这些压铁，让样条的形态发生变化，直至取得合 适的形状，才沿着样条画出所需的曲线。 近年来，计算机能够方便地处理样条曲线问

8、题，复杂曲线形状不可能用 单一的曲线模拟，而由几段曲线段彼此首尾相连拼接，要求曲线连接处有连 续的一阶和二阶导数，从而保证各曲线的光滑连接，在计算机图形学中，样 条曲线即指由多项式曲线段连接而成的曲线。 不规则曲线的描述与表示 (二) 插值与逼近 给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, , n，构造一条曲线顺序通过这些数 据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。 构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对这些数据 点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线。 插值和逼近则统称为拟合。 (三) 曲线段的数学表示(略) 注：本教材中还介绍了Hermite插值样条曲线(Ferguson曲线)、三次Bezier 曲线以及它们之间的关系等。大家在以后的学习中再深入的学习。 画法几何学习相关网址