应用回归分析,第8章课后习题参考答案讲解

1、第8章非线性回归思考与练习参考答案&1在非线性回归线性化时，对因变量作变换应注意什么问题？答：在对非线性回归模型线性化时，对因变量作变换时不仅要注意回归函数的形 式，还要注意误差项的形式。如：（1）乘性误差项，模型形式为y二AKL：e :加性误差项，模型形式为八AK L ;:对乘法误差项模型（1）可通过两边取对数转化成线性模型，（2）不能线性化。 一般总是假定非线性模型误差项的形式就是能够使回归模型线性化的形式， 为了方便通常省去误差项，仅考虑回归函数的形式。8.2为了研究生产率与废料率之间的关系， 记录了如表&15所示的数据，请画出 散点图，根据散点图的趋势拟合适当的回归模型。表 8.15生

2、产率x （单位/周）1000200030003500400045005000废品率y （%）5.26.56.88.110.210.313.0解:先画出散点图如下图:12.0010.008.006.001000.002000.003000.004000.005000.00X从散点图大致可以判断出x和y之间呈抛物线或指数曲线，由此采用二次方程式和指数函数进行曲线回归(1)二次曲线SPSS输出结果如下:Model Summ aryRR SquareAdjusted R SquareStd. Error of the Estimate.981.962.942.651The in depe ndent

3、variable is x.ANOVASum of SquaresdfMean SquareFSig.Regressi on42.571221.28650.160.001Residual1.6974.424Total44.2696The in depe ndent variable is x.Coe fficientsUn sta ndardized Coefficie ntsStan dardized Coefficie ntstSig.BStd. ErrorBetax-.001.001-.449-.891.423x * 24.47E-007.0001.4172.812.048(Co nst

4、a nt)5.8431.3244.414.012从上表可以得到回归方程为：沪5.843 -0.087x 4.47 10乙2由x的系数检验P值大于0.05,得到x的系数未通过显著性检验。 由X2的系数检验P值小于0.05,得到X2的系数通过了显著性检验。(2)指数曲线Model Summ aryRR SquareAdjusted R SquareStd. Error of the Estimate.970.941.929.085The in depe ndent variable is x.ANOVASum of SquaresdfMean SquareFSig.Regressi on.5731

5、.57379.538.000Residual.0365.007Total.6096The in depe ndent variable is x.Coe fficientsUn sta ndardized Coefficie ntsStan dardized Coefficie ntstSig.BStd. ErrorBetax.000.000.9708.918.000(Co nsta nt)4.003.34811.514.000The depe ndent variable is ln( y).从上表可以得到回归方程为：4.OO3e.0002t由参数检验P值00.05,得到回归方程的参数都非常

6、显著。 bseived从R2值，的估计值和模型检验统计量 F值、值及拟合图综合考虑, 指数拟合效果更好一些。&3已知变量x与y的样本数据如表8.16,画出散点图，试用a e/x来拟合回归 模型，假设：(1) 乘性误差项，模型形式为y=a e卩/xe(2) 加性误差项，模型形式为y=a e /x+ 。表 8.16序号xy序号xy序号xy14.200.08663.200.150112.200.35024.060.09073.000.170122.000.44033.800.10082.800.190131.800.62043.600.12092.600.220141.600.94053.400.1

7、30102.400.240151.401.620解：散点图:1.500-1.0000.500-0.000-1.002.003.004.00(1)乘性误差项，模型形式为y=a e卩/xe线性化：lny=ln a + /x + e 令 yl=lny, a=lna ,x1=1/x 做y1与x1的线性回归，SPSS输出结果如下:Model SummarModelRR SquareAdjusted R SquareStd. E rror of the Estimate1.999 a.997.997.04783a. Predictors: (Con sta nt), x1b. Depe ndent Var

8、iable: y1ANOVA bModelSum of SquaresdfMean SquareFSig.1Regressi on10.930110.9304778.305.000 aResidual.03013.002Total10.96014a. Predictors: (Con sta nt), x1b. Depe ndent Variable: y1Coe fficients aModelUn sta ndardized Coefficie ntsStan dardized Coefficie ntstSig.BStd.ErrorBeta1(Co nsta nt)-3.856.037-

9、103.830.000x16.080.088.99969.125.000a Depe ndent Variable: y1从以上结果可以得到回归方程为：y仁-3.856+6.08x1F检验和t检验的P值00.05,得到回归方程及其参数都非常显著。 回代为原方程为：y=00 21e6-08/x(2)加性误差项，模型形式为y=a & /x+ 不能线性化，直接非线性拟合。给初值 a =0.021, B =6.08(线性化结 果)，NLS结果如下：Parame ter EstimatesParameterEstimateStd. Error95% Confidence IntervalLow er B

10、oundUpper Bounda.021.001.020.023b6.061.0445.9656.157Iteration HistoryIteration Number3Residual Sum of SquaresParameterab10001.0216.0801.10010216.0612.0.001.0215.Q6121.001.0216.06130.001.0216.0613 1001.0216.061ANOVASourceSum ofSquaresdfMeanSquaresRegression4.45822.229Residual.00113.000Uncorrected Tot

11、al4.45915Corrected Total2.46714Dependent variable: ya. R squared = 1 - (Residual Sum of Squares) / (Corrected Sum of Squares) = 1.000.从以上结果可以得到回归方程为：y=0021占61%根据R21,参数的区间估计不包括零点且较短，可知回归方程拟合非常好，且其参数都显著。Predicted Values&4 Logistic函数常用于拟合某种消费品的拥有率，表8.17 （书上239页，此处略）是北京市每百户家庭平均拥有的照相机数，试针对以下两种情况拟合Logisti

12、c回归函数。（1）已知u =100,用线性化方法拟合，（2）u未知，用非线性最小二乘法拟合。解：（1），u=100时，的线性拟合。对y=一函数线性化得到:u，令yE十禽），作y31 1 1 1厂而)7851一.264 ln(1 t0.01 + 0.1572760最后看拟合效果，通过 sequenee画图：由图可知回归效果比较令人满意。(2)非线性最小二乘拟合，取初值u = 100,6 = 0.157 , b一共循环迭代8次，得到回归分析结果为：0.768 :ParameterEstimateStd. Error95% Confidence IntervalLow er BoundUpper B

13、oundu91.0622.03586.74795.377b.211.028.152.271c.727.012.701.753Parame ter EstimatesSourceSum of SquaresdfMean SquaresRegression60774.331320258.110Residual85.369165.336Uneorreeted Total60859.70019Corrected Total15690.38618ANOVAaDependent variable: ya R squared = 1 - (Residual Sum of Squares) / (Correc

14、ted Sum of Squares) = .995.R=0.9950.994,得到回归效果比线性拟合要好，且:u =91.062 ,b0 =0.211 , 0 =0.727 ,回归方程为： y=11一-0.211*0.727t91.062最后看拟合效果，由sequenee画图:10D Predicted Values6DT11T13Fa19得到回归效果很好，而且较优于线性回归8.5表&18 （书上240页，此处略）数据中GDP和投资额K都是用定基居民消 费价格指数（CPI ）缩减后的，以 佃78年的价格指数为100。（1）用线性化乘性误差项模型拟合 C-D生产函数；（2）用非线性最小二乘拟合

15、加性误差项模型的C-D生产函数；（3）对线性化检验自相关，如果存在自相关则用自回归方法改进；（4）对线性化检验多重共线性，如果存在多重共线性则用岭回归方法改进；（5）用线性化的乘法误差项模型拟合 C-D生产函数；解：（1）对乘法误差项模型可通过两边取对数转化成线性模型。In y=ln A+ : ln K+ In L令y =ln y, B o=ln A, xi=ln K, X2=ln L,则传化为线性冋归方和:目=B o+ 鳥 xi+ ： L+ :SPSS输出结果如下：模型综述表Model Summ arfModelRR SquareAdjusted R SquareStd. E rror of

16、 the Estimate1.997 a.994.993.04836a. Predictors: (Co nsta nt), l nL, l nKb. Depe ndent Variable: lnY从模型综述表中可以看到，调整后的R为0.993,说明C-D生产函数拟合效 果很好，也说明GDP的增长是一个指数模型。方差分析表ANOVA bModelSum of SquaresdfMean SquareFSig.1Regressi on8.44624.2231805.601.000 aResidual.05122.002Total8.49724a Predictors: (Con sta nt)

17、, l nL, l nKb. Dependent Variable: lnY从方差分析表中可以看到，F值很大，P值为零，说明模型通过了检验，这 与上述分析结果一致。系数表ModelUn sta ndardized Coefficie ntsStan dardized Coefficie ntstSig.BStd. ErrorBeta1(Co nsta nt)-1.7851.438-1.241.228lnK.801.056.86114.370.000lnL.402.171.1412.354.028Coe fficientsaa. Depe ndent Variable: InY根据系数表显示，回

18、归方程为：InY = 11.785 + 0.801111K + 0.4021nL尽管模型通过了检验，但是也可以看到，常数项没有通过检验，但在这个模型里， 当InK和InL都为零时，InY为-1.785，即当K和L都为1时，GDP为0.168, 也就是说当投入资本和劳动力都为1个单位时，GDP将增加0.168个单位，这种 解释在我们的承受范围内，可以认为模型可以用。最终方程结果为：y=0.618K-801 L0-404（2）用非线性最小二乘法拟合加性误差项模型的C-D生产函数；上述假设误差是乘性的，现假设误差是加性的情况下使用非线性最小二乘法估计。初值采用（1）中参数的结果，SPSS输出结果如下

19、：参数估计表Parame ter EstimatesParameterEstimateStd. Error95% Confidence IntervalLow er BoundUpper BoundP.407.885-1.4292.243a.868.066.7311.006b.270.243-.234.774SPSS经过多步迭代，最终得到的稳定参数值为P=0.407，a=0.868, b=0.270y=0407K0868 L.27为了比较这两个方程，我们观察下面两个图 线性回归估计拟合曲线图25,000J3DPbGDP20,000-15,000 ID.OOD5,000-0-Sequence n

20、umbe非线性最小二乘估计拟合曲线图DPredicted ValuesSequence number我们知道，乘性误差相当于是异方差的，做了对数变换后，乘性误差转为加 性误差，这种情况下认为方差是相等的，那么第一种情况(对数变换线性化)就 大大低估了 GDP数值大的项，因此，它对GDP前期拟合的很好，而在后期偏差 就变大了，同时也会受到自变量之间的自相关和多重共线性的综合影响；非线性最小二乘法完全依赖数据，如果自变量之间存在比较严重的异方差、 自相关以及多重共线性，将对拟合结果造成很大的影响。因此，不排除异方差、自相关以及 多重共线性的存在。(3) 对线性化回归模型采用DW检验自相关，结果如下

21、:模型综述表Model SummarfModelRR SquareAdjusted R SquareStd. E rror of the EstimateDurbi n-Watson1.997 a.994.993.04836.715a. Predictors: (Con sta nt), I nL, I nKb. Dependent Variable: lnYDW=0.7151.45,认为消除了自相关；方差分析 表中可以看到F值很大，P值为零，说明模型通过了检验。从系数表可得回归方程：】口丫； = -1,859 + 0, 7551nK + 0.4651HL：再迭代回去，最终得方程为：Lnyt

22、Lnyti = -1.859+ 0.755(LnKt LnKti) + 0.465(LnLt LnLti)(4) 对线性化回归方程通过 VIF检验多重共线性:方差分析表ANOVAbModelSum of SquaresdfMean SquareFSig.1Regressi on8.44624.2231805.601.000 aResidual.05122.002Total8.49724a. Predictors: (Con sta nt), l nL, l nK b Dependent Variable: lnY系数表ModelUnstandardizedCoefficientsStandar

23、dized CoefficientstSig.Collinearity StatisticsBStd. E rrorBetaToleranceVIF1(Constant)-1.7851.438-1.241.228lnK.801.056.86114.370.000.07713.034lnL.402.171.1412.354.028.07713.034a. Dependent Variable: InY多重共线性诊断表Colline arity DiagnosticsModelDime nsio nEige nvalueCon diti onIndexVariance P roportions(Co nsta nt)lnKlnL1 1232.997.0031.63E-0051.00030.539429.012.00.001.00.00.09.91.00.001.00a. Depe ndent Variable: lnY直观法：从模型综述表上可以看到，F值很大，而t值很小，这是多重共线性造 成的影响；VIF检验法：从系数表上可以看到，VIF=1310，也说明多重共线性的存在；条件数：从诊断表上可以看到，最大的条件数是429,远远大于了 100,所以自变量之间存在较