一阶线性微分方程组资料

1、第4章一阶线性微分方程组内容提要1. 基本概念一阶微分方程组：形如”dyi dx dy2 dx=fi(xy,y2，yn)二 f2(x, yn)（3.1）的方程组,dyndx（其中yi,y2,yn是关于x的未知函数）叫做 一阶微分方程组若存在一组函数yjx）, y2（x）, yn （x）使得在a,b上有恒等式誉（x,yi（x）,y2（x）,yn（x）（T,，n）成立，则 yi（x）, y2（x），yn（x）称为一阶微分方程组（3.1）的一个解含有n任意常数C1,C2/ ,Cn的解yi =1(X,C1 ,C2 , ,Cn) y2 二 2 (x, C1 ,C2 / ,Cn ) yn = 3(x, C

2、1 ,C2 , ,Cn )称为(3.1)通解。如果通解满方程组耶 1(x, %,y2,，ynQ,C2,，Cn)=o半2匕,丫2,，yn,G,C2,，Cn)=03n（x,y1,y2,，yn,G,C2,，Cn） = 0则称这个方程组为（3.1 ）的通积分。满足初始条件y1（Xo）= 丫10, y2（Xo）= 丫20,，yn（Xo）= Yn0 的解，叫做初值问题的解。令n维向量函数丫 (x) =(x)-y2 (x)Yn (x)f1(x,y1,y2,yn)f2(x,y1,y2, ,yn)ILfn(x,y1,y2, ,yn)dY(x)dx妇-x1dxiIof1(x)dx 1dy2xx【f2(x)dxdx

3、，x F(x)=xoaadyn1xffn(x)dx 1-dx _LXo-则(3.1 )可记成向量形式dY 口7、F(x,Y),(3.2)dx初始条件可记为% IY (Xo)=Y。,其中 Y= y20-yno -则初值问题为：J-dYF(x,Y)(3.3)dx丫(x)= 丫o=a11(x)yra12(x)y* +am(x)+ fjx) dx(3.4)一阶线性微分方程组:形如 21(初1 +如(恥+a2n(x)+ f2(x)字=an1(x)y1 + an12(x)y2 + ann(x) + fn(x)dx的一阶微分方程组，叫做一阶线性微分方程组 令an(x) A (x)=:am(x) -则(3.4

4、)的向量形式31n(x)l 及 F (x) =ann(x)，1(x)1f2 (x)9Jn(XLA(x)Y F(x) dx(3.5)(3.6)F (x) =0 时A(x)Ydx称为一阶线性齐次方程组，a21 a22a2n(3.5)式称为一阶线性非齐次方程组在(3.5)式A(X)的每一个元素都为常数an1 an2 anndYAY F(x)(3.7)dx叫做常系数线性非齐次微分方程组.dY AX/ AY(3.8)dx叫做常系数线性齐次微分方程组.2. 一阶线性微分方程组的通解结构 .定理1(一阶线性微分方程组解存在唯一性定理)：如果线性微分方程组 二A(x)Y - F (x)中的A (x)及F(x)

5、在区间I= a,b】上连续，则对于a,b】上任一点x以 dx及任意给定的 丫0，方程组=A(x)Y - F (x)的满足初始条件的解在！a,b】上存在且唯 dx1)向量函数线性相关性及其判别法则定义：设(x),Y2(x) Ym(x)是m个定义在区间I上的n维向量函数。如果存在m个不全为零的常数 Ci,C2,Cm,使得Ci(x) C2Y2(x) CmYm(x)二0恒成立，则称这m个向量函数在区间I上线性相关；否则它们在区间I上线性无关。判别法则：定义法朗斯基(Wronski )行列式判别法：对于列向量组成的行列式yn(x)ym(x)W(x)=-yn1(X)ynn(x)通常把它称为n个n维向量函数

6、组Y!(x),Y2(x)，Yn(x)的朗斯基(Wronski )行列式。定理1如果n个n维向量函数组(x),Y2(x)，Yn(x)在区间I线性相关，则们的朗 斯基(Wronski )行列式 W(x)在I上恒等于零。逆定理未必成立。如：丫1(叫_丫2(X)二02朗斯基行列式 W(x)在I上恒等于零，但它们却是线性无关。定理2如果n个n维向量函数组(x),Y2(x)，Yn(x)的朗斯基(Wronski)行列式W(x)在区间I上某一点X。处不等于零,即W(x。)=0,则向量函数组 第(x),Y2(x),Yn(x)在区间I线性无关。逆定理未必成立。同前例。但如果Yi(x),Y2(x)，Yn(x)是一阶

7、线性齐次微分方程组两定理及其逆定理均成立。即d = A(x)Y的解，则上述dx定理3 一阶线性齐次微分方程组A(x)Y 的解 Yi(x),Y2(x)，Yn(x)是线性无 dx关的充要条件是它们的朗斯基(Wronski )行列式 W(x)在区间I上任一点x0处不等于零;解Yi(x),Y2(x) Yn(x)是线性相关的充要条件是它们的朗斯基(Wronski)行列式W(x)在区间I上任一点x0处恒等于零定义：一阶线性齐次微分方程组dYA(x)Y的n个线性无关解称为它的 基本解组dx判别：一阶线性齐次微分方程组dYA(x)Y 的解 Yi (x), Y2(x), Yn(x)是一个基本dx2).基本解组及

8、其有关结论解组的充要条件是它们的朗斯基(Wronski )行列式W(x)在区间I上任一点x0处不等于零。、dY结论：一阶线性齐次微分方程组A(x)Y必存在基本解组。dx基本解组有无穷多个。3) 阶线性齐次微分方程组A(x)Y通解的结构 dxA(x)Y的基本解 dx定理：如果Yi(x),Y2(x)，Yn(x)是线性齐次微分方程组组，则其线性组合丫(X) =CiYi(X)* C2Y2&) CnYn(X)是线性齐次微分方程dY组 A(x)Y的通解。 dx结论：线性齐次微分方程组4 )解与系数的关系，即刘维尔公式A(x)Y的解的全体构成一dxn维线性空间。定理：如果Yi(x),Y2(x)，Yn(x)是

9、线性齐次微分方程组dYdx二A(x)Y的解，则这n个解的朗斯基行列式与线性齐次微分方程组巴 =A(x)Y的系数的关系是:dxx*i1(t)耘ann(t)如W(xW(xo)ex此式称为刘维尔(Liouville)公式.由此公式可以看出 n个解的朗斯基行列式 W(x)或者恒为零，或者恒不为零n7 akk(x)称为矩阵A (x)的迹。记作trA(x)。k 4一阶线性非齐次方程组的通解结构dY定理(通解结构定理)：线性非齐次方程组A(x)Y - F(x)的通解等于对应的齐dxdYdYA(x)Y 的通解与A(x)Y F(x)的一个特解之和。即dxdx次微分方程组dYdx二 AY F(x)的通解为 Y(x

10、)二 CiY(x) C2Y2(x)CnYn(x) Y(x)dY其中CiY,X)* C2Y2&)* CnYn(X)为对应的齐次微分方程组dx 二 A(x)Y 的通解, dYY (x)是 A(x)Y - F (x)的一个特解。 dxdY求通解的方法一一拉格朗日常数变易法：对应的齐次微分方程组A(x)Y的一个dx基本解组Yi(x),Y2(x)，Yn(x)构成基本解矩阵ii(x)(x)=:丿ni(X)dY齐次微分方程组丄dxyin(x)y nn (x)-A(x)Y的通解为Y(x) “：(X)C 其中 C =CilC2ndY线性非齐次方程组AY F (x)的通解为dxX丄Y(x)二(x)C 亠丨尬(x)

11、G (t)F(t)dt。xdY结论：线性非齐次方程组A(x)Y F(x)解的全体并不构成 n+1维线性空间。dx3. 常系数线性微分方程组的解法基本解组的求解方法）常系数线性齐次微分方程组的解法：若当标准型方法（ 求特征根：即特征方程式det(A-E)二a21a2nainan1an2的解。 根据特征根的情况分别求解：特征根都是单根时，求出每一个根所对应的特征向 量，即可求出基本解组；单复根时，要把复值解实值化；有重根时，用待定系数法求出相应 的解。（详略）常系数线性非齐次微分方程组的解法： 求相应的齐次微分方程组的基本解组; 用待定系数法求特解。（详略）二.典型例题及解题方法简介可以通过合理(

12、1)化一阶线性微分方程组：有些高阶线性微分方程或高阶线性微分方程组, 的函数代换，化为一阶线性微分方程组。例1化如下微分方程为一阶线性微分方程组：孕 p(x)学 q(x)y =0dxdxdy解：令y = y“y2则dx2字=y2=芈，字 p(x)y2 q(x)yi =0dxdx dx dx原微分方程化为等价的一阶线性微分方程组：-y2二-p(x)y2 -q(x)yi例2化如下微分方程组为一阶线性微分方程组:d2x _ y =odtdt3 dy -20dt解：令X = Xi ,dx亠X2 , y = X3,贝U有 dtdtdy _ dxa dt dt原微分方程组化为等价的一阶线性微分方程组:dt

13、/X2dt=X3dx3 _ 2论,t 一 t3般线性微分方程组的求解问题dY对于一般线性齐次微分方程组A(x)Y ，如何求出基本解组，至今尚无一般dx方法。一些简单的线性微分方程组可以化为前面两章学过的微分方程来求解。消元法(化方程组为单个方程的方法)例3求解方程组dx t d tdy .dt-x yt-_2x yt解：有前一个方程解出y并求导，有x dx+t dt2dy x 1 dx d xdt 一 _t2 t dt dt2代入后一方程化简得d2xdt2-0假定t = 0,则有d 2xdt2 = 0，积分得xC2txC2t dt t=2C2Ci原方程组的通解为x+C2t,(2 0)=Ci/t

14、 +2C2常系数线性微分方程组在教材中介绍了若当标准型方法，其实两个方程构成的简单常系数线性微分方程组我们还可以用消元法求解。例4解方程组d解：由前一方程得1 . y代入后一方程，得常系数二阶线性方程其通解为x - x -1 = 0x 二 CietC2e1从而所以通解为y = x1= eg C2e斗1例5解方程组x =C1eC2 -1y = Ci e C 2e 1x = 3x 8y* y=_x _3yx(0) = 6, y(0) = -2解：由第二式得x = 3y-y，x丄-3y - y 代入第一式得y ” - y = 0从而可求得 y-C2eJ 代入 x - -3y - y 得x = -4C

15、1 e - 2C?e将t =0代入上述两式得6 = VG - 2C2_2 = G +C2解得 Ci = C2 = -1所以原方程组的解为x =4et +2et_Ly - -ee（三）常系数线性齐次微分方程组一 =AY的通解问题dxdY虽然一般线性齐次微分方程组A（x）Y，如何求出基本解组，至今尚无一般方法,dxdY但是常系数线性齐次微分方程组AY通过若当标准型方法，从理论上已经完全解决，dx根据特征根情形分别采取不同的求解方法，教材上都一一作了详细的讲解，在此不再多讲。在此我们介绍一种通用的方法一一待定系数法步骤：解特征方程式ainai2a11det(A- E)=a21a22a2n=0，得特征

16、根;an1ann -an2根据根的重数，求出对应于每一个根的解式dY设入是线性齐次微分方程组空=AY是k重根（单根为k=1）,则线性齐次微分dxdY方程组AY对应入的解式为dxXi= (C11+ Ct+八+ Cikt)ex2 =(c21 +c22t 十+c2kt)ejXn - (CniCn2Cnkt )e其中Cj （i =1,2,n, j =1,2/ ,k）为待定常数，将此解式代入dYdxAY中，比较两端同类项的系数，得一关于 5的线性代数方程组，解之即可定出5。 把对应于每一个根的解式相加，即可得到dY AY的通解。dx例6 （均为单根的情形，教材 170页例3.5.1）解方程组X 3x -

17、 y z7 = 一x +5y-zz = x _ y + 3z解：特征方程为3_k-1115 九1=01-13-Z即.3 _11.236, 一36 =0解之得特征根：1 = 2,.勺=3, g = 6 （均为一重）= 2时令待定解为 捲-e ,y1 -e ,乙=代 代入原方程组，化简得=1 -1 =0“-旳 +3优-丫 =0% - 亠 + 了1 = 0解得1 -“ =0，若：r =C1为任意常数，1 - -G对应于-2的解式为：捲=Ge2t y1 =0c 2tz -C1e同理对应于 2 = 3的解式为：X? = C?e= y2 = C?e3tZ2 = C? e对应于，3 =6的解式为:X3 二

18、C3e6t y3 = -2C3e6tZ3 二 C3e6tc2t 丄3t 丄6tx=Ge +C2e +C3e通解为： y =C2e3t - 2C3e6tz- 2t i3t x-61z = -C1e +C2e +C3e例7 (特征方程有复根的情形)解方程组：x = x - 5y y = 2x-y解：特征方程为1 几 -5=021九即，2 9 =0，1,2二3i都是单根象例6可得对应= 3i的特解:x-i = 5e3lt, y-i =(1-3i)e3it因为原题是实系数的方程组，所以x2 二 * 二 5e3t, y2 二 y_j 二(13i)eJ3lt是 2 - -3i的特解且RexRey1及Im %, Im%为原题的实线性无关解。(注：若 a bi则记Rez=a,Imz=b)所以复通解为x =5C1e3it +5C2eitj =C1e5C2e根据拉格朗日常数变易法，令原方程组的特解为y代入原方程组得-C1(t)e5t C2(t)e 二Ci(t)e -C2(t)e5ttC；(t)eC2(t)e=5tC；(t)e5t -C2(t)eL =8d解之得G(t)C2(t)=5 te 4e 25 t 2tte -4e2积分得/ 1 +1 Ut=(