椭圆及其标准方程教学设计

1、椭圆及其标准方程（第一课时）教学设计富源县第二中学 金晓钟一、教材及学情分析 本节课是全日制普通高中课程标准实验教科书选修 2-1 第二章第二节第 一课时。用一个平面去截一个对顶的圆锥，当平面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到 不同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线，我们将这些曲线统称 为圆锥曲线。 圆锥曲线的发现与研究始于古希腊， 当时人们从纯粹几何学的观点 研究了这种与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广。 17 世纪初期，笛卡尔发明了坐标系，人们开始在坐标系的基础上，用代数方法 研究圆锥曲线。 在这一章中， 我们将继续用坐标法探究圆锥曲线的几何特征， 建 立它

2、们的方程， 通过方程研究它们的简单性质， 并用坐标法解决一些与圆锥曲线 有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想。解析几何是数学一个重要的分支 , 它沟通了数学中数与形、代数与几何等最 基本对象之间的联系。 在第七章中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方 法, 并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形，在第八章， 教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。 由于教材以 椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法 , 然后在双曲线、 抛物线的教学中应用和巩固， 因此“椭圆及其标准方程” 起到了承上启下的重要 作用。本节内容蕴含了许

3、多重要的数学思想方法， 如：数形结合思想、 化归思想等。 因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，用动态作图 优势为学生的数学探究与数学思维提供支持。二、教学目标分析按照教学大纲的要求，根据教材分析和学情分析，确定如下教学目标： 1知识与技能目标： 理解椭圆的定义。 掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力。2过程与方法目标： 经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形 象到抽象，从具体到一般， 掌握数学概念的数学本质， 提高学生的归纳概括能力。 巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程。 对学生进行

4、数学思想方法的渗透， 培养学生具有利用数学思想方法分析和 解决问题的意识3情感态度价值观目标： 充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、 探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识 重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识 体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣 通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风 通过经历椭圆方程的化简 , 增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简 洁美、对称美 利用椭圆知识解决实际问题， 使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力 量，增强学习数学的兴趣和信心三、重、难点重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程、

5、坐标化的基本思想 难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用四、教法分析新课程倡导学生自主学习， 要求教师成为学生学习的引导者、 组织者、 合作 者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程。本节课采 用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法，按照“创 设情境学生实验意义建构形成理论知识应用回顾反思 巩固提高”的程序设计教学过程， 并以多媒体手段辅助教学， 使学生经历实践、 观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方 式，使学生真正成为学习的主人五、教学过程设计（一）创设情境激发兴趣1、情景引入 师：在上新课前我们先来聊聊天，关

6、心一下国家大事。就在这个星期一也就 是 10 月 7 号，我们国家发生了什么激动人心的事？生：神州十一号飞船成功发射师：对，神州十一号飞船于 2016年10月17日7时 30分在中国酒泉卫星发 射中心成功发射。两位航天员将展开为期 33 天的太空之旅，这是中 国迄今为止时间最长的一次航天飞行。回望中国几十年的航天史，不 禁让我们想到中国第一艘载人飞船是？生：神舟五号师：那么它在太空的运行轨迹是什么？生：椭圆 师：很好，今天我们将要来做一件很神圣的事情研究飞船的运行轨迹椭 圆。有人会说飞船的轨迹离我们太遥远了，其实在生活中椭圆到处可 见，比如 ,师：在前面我们研究圆时是先从作图定义标准方程性质。

7、研究 椭圆也是同样如此下面就请一位同学上黑板来画一个椭圆师：看来，大家对椭圆并不陌生，但细想想，我们对椭圆也说不上有多熟悉， 除了“她”的名字和容貌，我们对“她”的品性几乎还一无所知下 面我们就先从作图开始。师：用圆柱状水杯盛半杯水，将水杯放在水平桌面上，截面为圆形当端起 水杯喝水时，水杯倾斜，再观察水平面，此时截面为椭圆形看来，椭圆是与圆 有着密切关系的一种曲线 圆是到定点距离等于定长的点的轨迹， 根据圆的定义， 用一根细绳就可画出一个圆 将细绳的一贯固定在黑板上， 在另一端系上一支粉 笔，将细绳绷紧并绕固定端点旋转一周即可将圆心从一点“分裂”成两点，将 细绳的两端固定在这两点，用粉笔挑起细

8、绳并绷紧，移动粉笔，可画出什么图形？设计意图：使学生产生学习兴趣和探索欲望（二）学生实验体验数学1学生通过动手实践、观察，猜想轨迹为椭圆2 展示学生成果3导出新课：数学是一门严谨的科学，我们不能满足于直观感受、浅尝辄 止，我们希望对椭圆有更深刻的认识，比如：椭圆上所有的点所具有的共同的几 何特征是什么？ 椭圆的定义；能否用代数方法精确地刻画出这种共同的几何 特征？一一椭圆的标准方程这就是我们这节课的重点内容.设计意图：从学生实验中导出新课，明确研究课题（三）意义建构一一感知数学椭圆定义的初步生成学生每2人一组，合作探究，教师巡视指导.请学生代表本小组交流探究结论：根据椭圆画法，从中归纳椭圆定义

9、一一与两个定点的距离之和为定长（绳长）的点的轨迹为椭圆（绳长大于两定点间距离）（四）形成理论一一建立数学1. 椭圆定义的完善提出问题：1、改变两点之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭 圆吗？2、绳长能小于两点之间的距离吗？得出结论：当常数=1：时，与两个定点 心的距离之和等于常数的点的 轨迹是线段 H ;当常数 二二|时，与两个定点I的距离之和等于常数的点 的轨迹不存在.请学生给出经过修改的椭圆定义，教师用幻灯片给出完善的椭圆定义，并介 绍焦点、焦距的定义.例:已知耳，F2是两定点，耳卩2|=6,动点M满足MF1 + MF2 =6,则动点的轨迹为 （2）已知A （-1,0），B（1,0

10、）,M是一个动点且M到AB两点的距离之和为6,则M的轨迹为设计意图：巩固椭圆的定义，使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高 其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风2. 椭圆的标准方程（1）回顾用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤：建系设点、写出动点满足的 几何约束条件、坐标化、化简、证明等价性建立焦点在：轴上的椭圆的标准方程建系设点：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？一一利用椭 圆的对称性特征以直线丄1二为：轴，以线段二二的垂直平分线为.轴，建立平面直角坐标系设焦距为-,则忸L-.设止为椭圆上任意一点，点与点八二的距离之和为二三动点二满足的几何约束条件： |姻收

11、也 坐标化：4 化简：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如 何去根号移项后两次平方法y J(x+(r+_/ +=2a:J(x+(;+_/ =2a- (x-c)2 +j27? + 2cx+c2一 2cx+c2 +y 一 4a+y3a J(片一= a2 -exa2x2 -+-l-a2y2 - ct - Z/m+XF分析/的几何含义，令,1 -2 1二+厶二1仏宀0)得到焦点在轴上的椭圆的标准方程为.：-设计意图：进一步熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法，掌握化简含根号等 式的方法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神，感受数学的简洁美、对称 美建立焦点在轴上的椭圆的标准方程要建

12、立焦点在轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程， 如何去做？此时要借助于化归思想，抓住图（1）与图 的联系即可化未知为已知,将已知的焦点在：轴上的椭圆的标准方程转化为焦点在.轴上的椭圆的标准 方程.只需将图 沿直线丁 翻折或将图 绕着原点按逆时针方向旋转.即可转化成图，需将丄轴、：轴的名称换为：轴、：轴焦点在轴上的椭圆的标准方程为设计意图：体会数学中的化归思想，化未知为已知，避免重复劳动 辨析焦点分别在：轴、.轴上的椭圆的标准方程的异同点区别：要判断焦点在哪个轴上，只需比较厂与项分母的大小即可.若一项轴上反之亦然.分母大，则焦点在轴上；若；项分母大，则焦点在（五）数学应用一一巩固新

13、知 口答：指出下列方程中的a,b22 2 21 2 1.52 32，42 62，设计意图：巩固椭圆的标准方程【典型例题11已知B,C是两个定点BC|=6,K ABC的周长等于16, 求顶点A的轨迹方程.思路分析:选取线段BC的中点为坐标原点，建立适当的直角坐标系，由 B,C为两定点,A为动点，研究|AB|+|AC|是否为定值，并比较与|BC|的大小关 系，从而判断点A的轨迹图形形状，进而得到轨迹方程.设计意图：学会用定义法求椭圆标准方程【典型例题21求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（-4,0）,（4,0）,椭圆上任意一点P到两焦点的 距离的和等于10;35两个焦点的坐

14、标分别为（0,-2）,（0,2）,并且椭圆经过点-?,?.思路分析:根据题意，先判断椭圆的焦点位置，再设出椭圆的标准方程， 从而确定a,b的值.解：（1厂椭圆的焦点在x轴上,? ?设椭圆的标准方程为 羽+ ?= 1（ab 0）.c=4,2a= 10,2 2 2 b =a -c = 9.? ?所求椭圆的方程为?+ ?=1.259(2) 椭圆的焦点在y轴上,设所求椭圆的标准方程为磊+ ?=1(ab 0).3252325 2由椭圆的定义，知2a= - + 5 + 2 +- + -2 =2 10.即22 22a= 10.又 c=2, Jb2=a 2-c2= 6.? ?所求椭圆的方程为?-+ ?=1.10 6反思根据已知条件，判定焦点的位置,设出椭圆的方程