椭圆的定义与标准方程基础练习含答案

1、.选择题（共19小题）椭圆的定义与标准方程1.若Fi （ 3, 0）, F2 （- 3, 0）,点P到Fi, F2距离之和为10,则P点的轨迹方程是（A.22匚二125162T 72C.D.2 22 2或25 1625 16. . . . 2 2 . . . 2 2 . . .2.一动圆与圆 x +y +6x+5=0及圆x +y - 6x- 91=0都内切，则动圆圆心的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆2 23.椭圆討戶上一点p到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为（A. 4B. 5C. 6)D. 104.已知坐标平面上的两点A（- 1 , 0）和B（ 1 , 0）,动点P到

2、A、B两点距离之和为常数2,则动点P的轨迹是（A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.线段5 .椭圆务律1上一动点P到两焦点距离之和为（）A. 10B.8C. 6D.不确定6.已知两点F1 (- 1 , 0)、F2 (1, 0)，且 |F 1F2I 是 |PF1| 与|PF2| 的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）A.2 216+V=1B.2 216412=1D.7.已知F1、F2是椭圆=1的两焦点，经点F2的直线交椭圆于点 A B, 若 |AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（A.16B.11C. 8D. 38.设集合 A=1 , 2, 3, 4, 5,a, b A,则方程2 2+竺二1表示焦点

3、位于y轴上的椭圆（a bA.B.10个C. 20 个D. 25 个9.方程2 2B-2 2C- 2 2D.匸2鼻厲1春* 125 1625 21.125 42521 1化简的结果是（)A. I -;=10,10. 平面内有一长度为 2的线段AB和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围是()A. 1，4B. 2，6C. 3，5D. 3，611. 设定点Fi (0, - 3), F2 (0, 3),满足条件|PFi|+|PF 2|=6，则动点P的轨迹是()A.椭圆B.线段C.椭圆或线段或不存在D.不存在12.已知 ABC的周长为20,且顶点 B ( 0,- 4), C(0,

4、4),则顶点A的轨迹方程是(xm 0)(xm 0)(xm 0)(xm 0)13.已知P是椭圆齢沪上的一点，则P到一条准线的距离与p到相应焦点的距离之比为()A.4B. 5C.亚D.454V714 .平面内有两定点 A B及动点P,设命题甲是：“ |PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以 A B为焦点的椭圆”，那么()A.甲是乙成立的充分不必要条件B.甲是乙成立的必要不充分条件C.甲是乙成立的充要条件D.甲是乙成立的非充分非必要条件2 215如果方程_ 表示焦点在y轴上的椭圆，贝U m的取值范围是()4 _ m iri- 3C.22)条件.B.充分不必要D.既不充分又不必要A. 3

5、v m0” 是“ mx2+ny2=mn为椭圆”的(A.必要不充分C.充要17. 已知动点 P (x、y)满足10.,|-=|3x+4y+2|，则动点P的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.无法确定18. 已知 A (- 1 , 0) , B (1, 0),若点 C ( x , y)满足吋 G - 1)盯/二 |厂4|,贝 |0+应|=()A. 6B. 4C. 2D.与x , y取值有关2 219. 在椭圆|：中，F1 , F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF 2| ,则该椭圆离心率的取值范围是芒bZA已 i)B 已 i)C 丄)D 4i3333二填空题(共7小题)2 I I 2

6、|20 方程云+工=1表示椭圆，则k的取值范围是 则 |AC|+|BC|=k _ 3 k+321.已知 A (- 1 , 0), B (1, 0),点 C (x, y)满足:2 222设P是椭圆上的点若R、F2是椭圆的两个焦点，则PFg _23.若k Z,则椭圆2 2 J F =1 1+k 3 - k2的离心率是2 224 P为椭圆=1上一点，M N分别是圆(x+3) 2+y2=4和(x - 3) 2+y2=1上的点，贝U |PM|+|PN|的取值范围是25 162 225. 在椭圆仝_+M_=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是25 92 226. 已知O Q (x

7、 - 1) +y =16，动OM过定点P (- 1, 0)且与OQ相切，则M点的轨迹方程是：三解答题(共4小题)-27 已知定义在区间(0, +R)上的函数f (x)满足-f (，且当x 1时f ( x)v 0 七12(1) 求f (1)的值(2) 判断f ( x)的单调性(3) 若 f (3) =- 1,解不等式 f (|x| )v 228. 已知对任意x.yR,都有f(x+y)=f(x)+f(y)- t (t为常数)并且当 x0时，f(x)v t(1) 求证：f (x)是R上的减函数；2(2) 若 f (4) =- t - 4,解关于 m 的不等式 f (m- m) +2 0.29. 已知

8、函数y=f (x)的定义域为 R,对任意x、xR均有f (x+x) =f (x) +f (x)，且对任意x 0,都有 f (x)v 0, f (3) =- 3.(1) 试证明：函数 y=f (x)是R上的单调减函数；(2) 试证明：函数 y=f (x)是奇函数；(3) 试求函数 y=f (x)在m, n (m nZ,且mrx 0)上的值域.30. 已知函数 f (k) F - 一 I (a是 奇函数.2X+1(1) 求a的值；(2)求证f (x)是R上的增函数；(3)求证xf (x)0恒成立.参考答案与试题解析.选择题(共19小题)1. 若Fi( 3,0),F2(-3,0),点P到Fi,F2距

9、离之和为10,则P点的轨迹方程是()2 2B.D.C.考点：椭圆的定义。专题：计算题。分析：由题意可知点P的轨迹是以F1、F为焦点的椭圆，其中c-3f b= Ja2 - c=4，由此能够推导出点P的轨迹方程.解答：解：设点P的坐标为(x, y),|PF1|+|PF 2|=10 IF1F2F6 ,点P的轨迹是以F1、F为焦点的椭圆，其中 a=5f c=3f b=a2 - c2=4,2 2故点M的轨迹方程为丄+乙二1 ,25 16故选A.点评：本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线与椭圆的位置关系，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答， 避免出现不必要的错误.2. 一动圆与圆 x2+y2+6x+5=

10、0及圆x2+y2 - 6x- 91=0都内切，则动圆圆心的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆考点：椭圆的定义；轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定。专题：计算题。分析：设动圆的半径为r，由相切关系建立圆心距与 r的关系，进而得到关于圆心距的等式，结合椭圆的定义即可解决问题.解答： 解：x +y +6x+5=0 配方得：(x+3) +y =4; x +y - 6x- 9仁0 配方得：(x - 3) +y =100;设动圆的半径为r，动圆圆心为P (x, y),因为动圆与圆 A: x +y +6x+5=0及圆B: x +y - 6x - 9仁0都内切，贝U PA=r- 2, PB=10-

11、r . PA+PB=8 AB=6因此点的轨迹是焦点为 A、B,中心在(0 , 0)的椭圆.故选A.点评：本题主要考查了轨迹方程当动点的轨迹满足某种曲线的定义时，就可由曲线的定义直接写出轨迹方程.2 23. 椭圆上一点P到一个焦点的距离为 5,贝U P到另一个焦点的距离为()25 9 _iA. 4B. 5C. 6D. 10考点：椭圆的定义。专题：计算题。分析：由椭圆方程求出 a的值，再由椭圆的定义即|PFi|+|PF 2|=2a进行求值.解答：解： ： 了 - , a=5,25 由于点P到一个焦点的距离为 5,由椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为 2a- 5=5.故选B.点评：本题考查了椭圆的

12、标准方程和定义的应用，属于基础题，比较简单.4.已知坐标平面上的两点A(- 1 , 0)和B( 1 , 0),动点P到A、B两点距离之和为常数2,则动点P的轨迹是(A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.线段考点：椭圆的定义。专题：转化思想。分析：计算出A、B两点的距离结合题中动点P到A B两点距离之和为常数 2,由椭圆的定义进而得到动点P的轨迹是线段.解答：解：由题意可得：A (- 1, 0)、B (1 , 0)两点之间的距离为 2,又因为动点P到A B两点距离之和为常数 2,所以|AB|=|AP|+|AP| ，即动点P在线段AB上运动，所以动点P的轨迹是线段.故选D.点评：解决此类问题的轨迹收视率

13、掌握椭圆的定义，以及椭圆定义运用的条件|AB| V|AP|+|AP| ,A、B为两个定点，P为动点.2 25 .椭圆 上一动点P到两焦点距离之和为()9 16A. 10B.8C. 6D.不确定考点：椭圆的定义。专题：计算题。分析：由于点P在椭圆上，故其到两焦点距离之和为2a,从而得解.解答：解：根据椭圆的定义，可知动点P到两焦点距离之和为 2a=8,故选B.点评：本题主要考查椭圆定义的运用，属于基础题.6.已知两点F1(- 1 ,0)、F2(1,0),且|F 1F2I是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是()A.门汽1B 22C.16+ 9 112 1汀3一1罰4考点：椭圆的

14、定义。 专题：计算题。分析： 根据|F 1F2I是|PFi| 与 |PF2|的等差中项，得到2|FiF2|=|PF i|+|PF2|，即 |PFi|+|PF2|=4，得到点P在以Fi,F2为焦点的椭圆上，已知 a, c的值，做出b的值，写出椭圆的方程.解答：解：TF i ( 1, 0)、F2 (1 , 0),|F 冋=2 ,/ |F 1F2I是|PFi|与|PF2|的等差中项， 2|F iF2|=|PF i|+|PF 2| ,即 |PFi|+|PF 2|=4 ,点P在以Fl, F2为焦点的椭圆上，/ 2a=4, a=2c=12-b =3,2 2椭圆的方程是 兰一+丫_二143故选C.点评：本题

15、考查椭圆的方程，解题的关键是看清点所满足的条件，本题是用定义法来求得轨迹，还有直接法和相 关点法可以应用.2 27.已知Fi、F2是椭圆 二一J_=1的两焦点，经点 F2的直线交椭圆于点 A B,若|AB|=5，则|AFi|+|BF i|等于()169A. 16B. 11C. 8D. 3考点：椭圆的定义。专题：计算题。分析：根据A, B两点是椭圆上的两点，写出这两点与椭圆的焦点连线的线段之和等于4倍的a,根据AB的长度写出要求的结果.解答：解：直线交椭圆于点A、B,由椭圆的定义可知：|AF1|+|BF 1|+|AB|=4a , |AF1|+|BF 1|=16 - 5=11,故选B点评：本题考查

16、椭圆的定义，是一个基础题，这里出现的三角形是一种特殊的三角形，叫焦三角形，它的周长是一个定值二倍的长轴长.2 2& 设集合 A=1 , 2, 3, 4, 5 , a, b A,则方程+*-二1表示焦点位于y轴上的椭圆(a bA. 5个B. 10 个C. 20 个D. 25 个考点： 专题： 分析： 解答:椭圆的定义。计算题。根据a v b,对A中元素进行分析可得到答案. 解：焦点位于y轴上的椭圆则，a v b,b=2 时，b=3 时，b=4 时，b=5 时，当 当 当 当a=1; a=1, a=1, a=1,2 ；2, 3;2, 3, 4;共10个 故选B.点评：本题主要考查椭圆的标准形式，此

17、题的关键是根据条件得出av b 属基础题.A.9.方程（計2） 2 + y? = 10，化简的结果是（B.25416=1D.所以椭圆的方程为:考点：椭圆的定义。专题：计算题；转化思想。分析：首先对等式进行化简，进而由椭圆的定义得到点P的轨迹是椭圆，再计算出 a, b, c即可得到答案.解答：解：根据两点间的距离公式可得：J（K -2）片/表示点P（x, y）与点F1 （2, 0）的距离，寸（计鮎片/表示点P （x, y）与点F2 （-2, 0 ）的距离，所以原等式化简为|PF1|+|PF 2|=10 ,因为 |F 1F2|=2 v 10,所以由椭圆的定义可得：点P的轨迹是椭圆，并且 a=5,

18、c=2,2所以b=21.故选D.|PFi|+|PF 2| IF1F2I .点评：解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的定义，以及掌握形成椭圆的条件是10. 平面内有一长度为 2的线段AB和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围是（）A. 1, 4B. 2, 6C. 3, 5D. 3, 6考点：椭圆的定义；椭圆的简单性质。专题：计算题。分析：根据|PA|+|PB|=8，利用椭圆的定义，可知动点P的轨迹是以A, B为左，右焦点，定长 2a=8的椭圆，利用P为椭圆长轴端点时，|PA|分别取最大，最小值，即可求出 |PA|的最大值和最小值.解答：解：动点P的轨迹是以A, B为左，右焦

19、点，定长 2a=8的椭圆/ 2c=2,. c=1,2a=8, a=4TP为椭圆长轴端点时，|PA|分别取最大，最小值 |PA| a - c=4 - 1=3, |PA| a+c=4+ 仁5|PA|的取值范围是：3 |PA| 8点A到两个定点的距离之和等于定值，点A的轨迹是椭圆，/ a=6, c=42 b =20,2 2椭圆的方程是 +-=120 3G故选B.点评：本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题， 容易忽略掉不合题意的点.2 213.已知P是椭圆匚+竺二1上的一点，贝U P到一条准线的距离与 P到相应焦点的距离之比为(9164B. 5C

20、.肩D孚4A.考点：椭圆的定义。专题：计算题。分析：先根据椭圆的方程可知 a和b,进而求得c,则椭圆的离心率可得.最后根据椭圆的第二定义可知P到焦点的距离与P到一条准线的距离之比为离心率，求得答案.解答：解：根据椭圆方程可知 a=4, b=3, c=JWP=.厂e=由椭圆的定义可知 P到焦点的距离与 P到一条准线的距离之比为离心率故P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为二=I故选D.点评： 本题主要考查了椭圆的第二定义的应用考查了考生对椭圆的基础知识的理解和灵活运用属基础题.14 .平面内有两定点 A B及动点P,设命题甲是：“ |PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以 A

21、 B为焦点的椭圆”，那么（）A.甲是乙成立的充分不必要条件B.甲是乙成立的必要不充分条件C.甲是乙成立的充要条件D.甲是乙成立的非充分非必要条件考点：椭圆的定义。专题：阅读型。分析：当一个动点到两个顶点距离之和等于定值时，再加上这个和大于两个定点之间的距离，可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，而点P的轨迹是以A. B为焦点的椭圆，一定能够推出|PA|+|PB|是定值.解答：解：命题甲是：“ |PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点 P的轨迹是以A. B为焦点的椭圆当一个动点到两个顶点距离之和等于定值时，再加上这个和大于两个定点之间的距离，可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条

22、件不一定推出，而点P的轨迹是以A B为焦点的椭圆，一定能够推出|PA|+|PB|是定值，甲是乙成立的必要不充分条件故选B.点评：本题考查椭圆的定义，解题的关键是注意在椭圆的定义中，一定要注意两个定点之间的距离小于两个距离之和.2 215.如果方程- _ 表示焦点在y轴上的椭圆，贝U m的取值范围是（4 一 m m_ 3A. 3 m 0, m- 3 0 并且m- 3 4 -求得m的范围.解答：22解：由题意可得:方程宀十二1表示焦点在 y轴上的椭圆，4 _ roIT- 3所以4 - n 0,m- 3 0 并且 m- 34 - m,解得：4 .x轴还是在y轴.故选D.点评:本题主要考查了椭圆的标准

23、方程，解题时注意看焦点在16.“ mn0” 是“ mx2+ny2=mn为椭圆”的(A.必要不充分C.充要）条件.B.充分不必要D.既不充分又不必要考点：椭圆的定义；必要条件、充分条件与充要条件的判断。专题：计算题。2 2 ,mx+ny =mn为椭圆时分析：先看mn 0时，当nv 0, m 0, n 0，从而可知 mr 0成立，判断出条件的必要性.解答：7解：当mn0时.方程mf+ny2=mn可化为*工_=1，当nv0, m0, n0,故mn0成立，n m综合可知“ mn0”是“ mx 2+ny2=mn为椭圆”的必要不充分条件.故选A点评：本题主要考查了椭圆的定义，必要条件，充分条件与充要条件的

24、判断.考查了学生分析推理能力和分类讨论的思想.17. 已知动点 P (x、y)满足10.一上 -=|3x+4y+2|，则动点P的轨迹是()分析：将动点M的方程进行等价转化,A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.无法确定考点：椭圆的定义；圆锥曲线的共同特征。专题：数形结合。即J &一1)彳*-?) 2匸+4卄戈| %丄，等式左边为点 M到定点的距离，等式右边为点V3Z+422M到定直线的距离的二，由椭圆定义即可判断“点的轨迹曲线为椭圆.解答:(1) 2 + (y- 2)2=|3x+4y+2| ,即(X-1) 2+ (y-2)|3s+幻+2 |1其几何意义为点 M( x, y)到定点(1, 2)的距离等

25、于到定直线 3x+4y+2=0的距离的丄,2 由椭圆的定义，点 M的轨迹为以(1, 2)为焦点，以直线 3x+4y+2=0为准线的椭圆， 故选A.点评：本题考察了椭圆的定义，解题时要能从形式上辨别两点间的距离公式和点到直线的距离公式.18. 已知 A (- 1 ,0) ,B (1,0),若点 C (x,y)满足貞(盖1)戈+ /二|汀4|?贝 |0+|BC|=()A. 6B. 4C. 2D.与x , y取值有关考点：椭圆的定义。专题：计算题；证明题。分析：-将点C( x , y)满足的方程两边平方，得 4 ( x- 1) 2+4y2= (x - 4) 2 ,整理得：.-.可得点C的轨迹是焦点在

26、x轴上的椭圆，满足 a2=4 , b2=3 ,得c= | -.可知点A、B恰好此椭圆的左右焦点，根据椭圆的定义，得|AC|+|BC|=2a=4 .因此得到正确选项.解答 解：点 C (x , y)满足2? + y卫二叢一 4 ,两边平方，得 4 (x - 1) 2+4y2= (x - 4) 2,整理得：3x2+4y2=12.2 2点C (x, y)满足的方程可化为：丄 亠二i.3 一 丄所以点C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，满足 a2=4, b2=3,得c=J J _护二1 .因此该椭圆的焦点坐标为A (- 1 , 0), B (1, 0),根据椭圆的定义，得|AC|+|BC|=2a=4 .故选

27、B点评：本题给出一个含有根式和绝对值的方程，将其化简得到圆锥曲线的标准方程，从而得到距离和为定值着 重考查了椭圆的定义和曲线与方程的知识，属于基础题.2 219. 在椭圆|J中，Fi，F2分别是其左右焦点，若|PFi|=2|PF 2|，则该椭圆离心率的取值范围是(A.B.C.D.考点： 专题： 分析：解答:根据椭圆的几何性质，|PF2| a- c，故色一 G，即卩aa -c，求得a和c的不等式关系，进而求得e的范围，最后根据 e v 1，综合可求得椭圆离心率的取值范围.解：根据椭圆定义|PF1|+|PF 2|=2a，将设|PF1|=2|PF 2I代入得| j |-，*-3故该椭圆离心率的取值范

28、围是故选B.点评:本题主要考查了椭圆的定义，考查了学生对基础知识的理解和掌握.二.填空题(共7小题)20.方程表示椭圆，则k的取值范围是k 3考点： 专题： 分析：椭圆的定义。 计算题。根据题意，方程2 2/+7 =1表示椭圆，则k- 3 k+3|，解可得答案k - 3Hk+32 I2解：方程-_-产7=1表示椭圆，k - 3k+3解答:rk-30k+30解可得k 3, 故答案为k 3.点评：本题考查椭圆的标准方程，注意其标准方程的形式与圆、双曲线的标准方程的异同.21.已知 A (- 1 , 0), B (1, 0),点 C (x, y)满足:4|，贝U |AC|+|BC|=4考点： 分析：

29、椭圆的定义。由题意得(2-1) 2+y2 1|x-4|2，即点C (x, y)到点B( 1, 0)的距离比上到x=4的距离，等于常数点C ( x, y)在以点B为焦点，以直线x=4为准线的椭圆上，求出a值，利用|AC|+|BC|=2a 求出它的值.解答:解:由条件 吋 G-I) 二h-41 ,可得(zl) 2 +|k-4|即点C (x, y)到点B (1, 0)的距离比上到x=4的距离，等于常数点C( x，y)在以点B为焦点，以直线x=4为准线的椭圆上，故c=1土，按照椭圆的第二定义,2,-, a=2,a 2点评:|AC|+|BC|=2a=4 ,故答案为：4.本题考查椭圆的第二定义，以及椭圆的

30、简单性质.22.设P是椭圆*25416T上的点.若 F1、F2是椭圆的两个焦点，贝yPR+PF2= 10考点： 专题： 分析： 解答:2TP是椭圆-上的点，Fi、F2是椭圆的两个焦点,25椭圆的定义。计算题。先确定椭圆中2a=10,再根据椭圆的定义，可得PR+PF2=2a=10,故可解.25 16解：椭圆.中 a2=25, a=5, 2a=10根据椭圆的定义，PF1+PF=2a=10故答案为：10点评:本题以椭圆的标准方程为载体，考查椭圆的定义，属于基础题.23.若k Z,则椭圆皿离心率是书考点：椭圆的定义；椭圆的简单性质。专题：计算题。分析：先根据椭圆方程中分母均大于0且二者不相等求得 k的

31、范围,得a和c,椭圆的离心率可得.解答：3- k20解：依题意可知L+k0解得-144P点到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍， 则P点到左准线的距离是它到右准线距离的二倍，即 x+_l=2 （：- x）44解得：x=_!13故答案为：旦12点评：本题考查的知识点是椭圆的第二定义：平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点不在定直线上，该常数为小于1的正数）（该定点为椭圆的焦点，该直线称为椭圆的准线）.故它到左焦点的距离是它到右焦点距离的比，等于该点到左准线的距离是它到右准线距离的比.26.已知O Q （x - 1） 2+y2=16，动OM过定点P （- 1, 0）且与OQ相切

32、，则M点的轨迹方程是:r 2 2=1 .43 考点：椭圆的定义；轨迹方程。专题：计算题；数形结合。分析：根据P（- 1, 0 ）在0内，可判断出OM与OQ内切，设OM的半径是为r，则可表示出|MQ|，进而根据OM 过点P，求得|MP|=r，利用|MQ|=4|MP|，根据椭圆的定义可知其轨迹为椭圆，且焦点和长轴可知，进而求得 椭圆方程中的b，则椭圆方程可得.解答：解：P （- 1，0）在OQ内，故OM与OQ内切，记：M （x，y）， OM的半径是为r，则：|MQ|=4 - r，又OM过点P，|MP|=r，|MQ|=4- |MP|，即 |MQ|+|MP|=4，可见M点的轨迹是以P、Q为焦点（c=1

33、）的椭圆，a=2. b=1=:2 2椭圆方程为： |卜=1432 2故答案为：.=143点评：本题主要考查了椭圆的定义考查了学生对数形结合思想的运用和对椭圆基础知识的掌握.三.解答题（共4小题）27.已知定义在区间（0, +R）上的函数（X）满足_七且当 x 1 时 f ( x)v 0 .(1) 求f (1)的值(2) 判断f ( x)的单调性(3) 若 f (3) =- 1,解不等式 f (|x| )v 2考点：抽象函数及其应用。分析： （1）令X1=X2代入可得f （1） =0(2)设 X1 X2 0则1, () X2 0)-f ( 4 土)0七所以f (乂)在(0, +8)为减函数；(3

34、)v f ( 1) =0, f (3) =- 1.f (3) =f/) = (1) F (g)- f (g) =lf 讣)二f (占-f 二2393- f (hi) 2f (bl) +所以原不等式的解集为| X- .g 9点评:本题主要考查抽象函数求值和单调性的问题根据函数单调性解不等式是考查的重点.28. 已知对任意 x. y R,都有f (x+y) =f (x) +f (y) - t (t为常数)并且当 x0时，f (x)v t(1) 求证：f (x)是R上的减函数；2(2) 若 f (4) =- t - 4,解关于 m的不等式 f (mi - m) +2 0.考点：抽象函数及其应用。专题

35、：计算题；证明题。分析：(1) 设出两个自变量，将一个自变量用另一个自变量表示，利用已知条件，比较出两个函数值的大小，利 用函数单调性的定义得证.(2) 将自变量4用2+2表示，利用已知条件求出 f (2)值，将不等式中的-2用f (2)代替，利用函数的 单调性将不等式中的法则脱去，解二次不等式求出m的范围.解答：解：(1 )证明：设X1V沁则f ( X2) f ( X1)=f (X2 - X 什X1) f (X1 ) =f ( X2 - X1)+f ( X1) t - f ( X1)=f ( X2 - X1) t X 2 x1 0 f ( X2- X1)V t f ( X2)V f ( X1

36、) f ( x)是R上的减函数(2) f (4) =f (2) +f (2)- t= - 4 - t f ( 2) =-2由 f ( m - m - 2=f (2)得吊-m 2解之得：原不等式解集为m| - 1 v m f (n)形式.29. 已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x、xR均有f (x+x) =f(x)+f(x)，且对任意x 0,都有f (x)v 0, f (3) =- 3.(1) 试证明：函数 y=f (x)是R上的单调减函数；(2) 试证明：函数 y=f (x)是奇函数；(3) 试求函数 y=f (x)在m, n (m nZ,且mrx 0)上的值域.考点：抽象函数及其应用

37、。分析：(1)可根据函数单调性的定义进行论证，考虑证明过程中如何利用题设条件.(2) 可根据函数奇偶性的定义进行证明，应由条件先得到f ( 0) =0后，再利用条件f (X1+X2) =f (xi) +f (X2)中XI、X2的任意性，可使结论得证.(3) 由(1)的结论可知f (nr)、f (n)分别是函数y=f (x)在m、n上的最大值与最小值，故求出f (m) 与f (n)就可得所求值域.解答： (1)证明：任取 xi、X2 R,且 xiV X2, f (X2)=fx i+ (X2 - xi),于是由题设条件f (x+x)=f(x)+f(x)可知 f(X2)=f(Xi)+f( X2- Xi).TX2 Xi ,X2 - Xi O. f ( X2 - Xi)v 0./ f ( X2)=f ( Xi) +f ( X2 - Xi)v f ( Xi).故函数y=f (x )是单调减函数.(2) 证明：对任意 x、xR 均有 f (x+x) =f (x) +f (x),若令 x=x =0,则 f (0) =f (0) +f (0). f ( 0) =0.再令 x =- x，则可得 f ( 0) =f (x) +f (- x).T f