环形跑道问题

1、什么是环形跑道问题?环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而 行，贝y每追上一圈相遇一次这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。环形跑道问题的等量关系环形跑道：同相向而行的等量关系：乙程-甲程=跑道长,背向而行的等量关系：乙程+甲程=跑 道长。环形跑道问题的例题讲解经典环形跑道问题例题详解环形跑道问题乙两车同时从同一点出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶甲车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上乙车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离 点有多少米？（每 一次甲车追上乙车也看

2、作一次相遇）解析：第一次是一个相遇过程，相遇时间为：6+（ 65+55） =0.05小时，相遇地点距离 A点：55X 0.05=2.75千米.然后乙车调头，成为追及过程，追及时间为： 6+（ 65-55 ） =0. 6小时，乙车在此过程中走的路程为：55X 0.6=33千米，即5圈又3千米，那么这时距离A点3-2.75=0.25 千米.此时甲车调头，又成为相遇过程，同样方法可计算出相遇地点距离 A点0.25+2.75=3千米，然后乙车掉头，成为追及过程，根据上面的计算，乙车又要走5圈又3千米，所以此时两车又重新回到了A点，并且行驶的方向与最开始相同所以，每4次相遇为一个周期，而11 + 4=2

3、3,所以第11次相遇的地点与第 3次相遇的地点是相同的， 与A点的距离是3000米.圆形跑道问题例题解析有一个圆形跑道周长是 600米,甲在乙前面240米处，两人同时沿顺时针方向跑.已知甲每分 钟跑120米，乙每分钟跑100米问几分钟后甲追上乙？如果追上后继续跑，问多少分钟后，甲第 二次追上乙？240+120-100）=12600+ （120-100）=30根据这个算式可以套用类型公式。环形跑道相遇问题例题解析甲、乙两人同时从400米的环形路跑道的一点 A背向出发，8分钟后两人第三次相遇。 已知 甲每秒钟比乙每秒钟多行 0.1米，两人第三次相遇的地点与 A点沿跑道上的最短距离是 （）。A.16

4、6 米 B.176 米C.224 米 D.234 米甲、乙两人三次相遇，共行了三个全程，即是3X400=1200 （米）。根据题意，甲乙两人的速度和为1200/8=150 （米/分）因为甲乙两人的每分速度差为0.1X60=6 （米/分），所以甲的速度为（150+6） /2=78 （米/分）甲8分钟行的路程为 78X8=624 （米），离开原点624-400=224米，因为224400/2，所 以 400-224=176 （米）即为答案。环形跑道问题对于一个环形跑道问题的思考.一个周长为 400米的正方形 ABCD 跑道,甲在 B 点，乙在 A 点，甲的速度是每秒 25米， 乙的速度是是每秒 5

5、米，问多长时间后甲乙第一次相遇？分析：因为是环形跑道， 所以方向为逆时针， 还是顺时针， 不知道， 所以需要分类讨论 . （对于不确定的事情，又合理的问题需要分类讨论）逆时针时：可以转化为一般形成问题中的相遇问题。把 BC、CD、AD 拉直，问题转化为一般的行程问题：转化为甲乙相向而行的相遇过程，其中相距的路程是 300米.等量关系：甲的路程 +乙的路程 =相距路顺时针时： 分析：因为甲的速度快，乙的速度慢，乙是追不上甲的，要想相遇，必须是甲追上乙， 转化行程问题的追及问题：依上图，问题可以转化为：甲在 A 点，乙在 B 点，同时向右跑的追及问题，开始甲乙 相距 300 米.等量关系：甲的路程

6、 -乙行的路程 =相距路程转化为一般的行程问题后，问题可以迎刃而解。这里体现了一个数学思想 -转化思想， 把未知的知识转化为已知的知识， 把复杂的问题， 转化为简单的问题，是获得新知的一个很重要的手段。小学数学环形跑道问题甲乙两人沿一条环形跑道从同一起跑线出发，背向而跑，每15 秒相遇一次，已知甲跑完一圈要 24 秒，问乙跑完一圈要几秒？设乙跑完一圈要 x 秒 1/24+1/x=1/15 两边同时乘以 120x 得 5x+120=8x8x-5x=1203x=120x=40 经检验， x=40 是原方程的解且符合题意答乙跑完一圈要 40秒环形跑道相遇问题趣味练习题环形跑道，3个运动员A B CA

7、跑一圈需要10分钟B跑一圈需要12分钟C跑一圈需要15分钟他们从同一时刻同地点开始在环形跑道上奔跑问题是多少时间以后他们再次相遇 （3个人同时相遇）（不用考虑运动员体力问题给点提示：这是以前小学5年级的某道练习题目）环形路上的行程问题例题讲解1例9小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.（1） 小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速 度是多少米/分？（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上 小王？解：（1）75秒-1.25分.两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是5

8、00.25-180=220 （米 /分）.环形路上的行程问题例题讲解2如图，A、B是圆的直径的两端，小张在 A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点60米求这个圆的周长.解：第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈从出发开始算，两个人合起来走了一周半因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从A到D的距离，应该是从 A到C距离的3倍,即A至U D是80X 3= 240 （米）.240-60=180 （米）.180X 2= 360 （米）.答：这个圆的周长是 360米.

9、环形路上的行程问题例题讲解3.甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、 乙两村同时出发，在两村之间往返行走 （到 达另一村后就马上返回）在出发后40分钟两人第一次相遇小王到达甲村后返回，在离甲 村2千米的地方两人第二次相遇问小张和小王的速度各是多少？解：画示意图如下：如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的3倍，因此所需时间是40X 3-60= 2 （小时）.从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了6X2-2 = 10 （千米）.小王已走了 6 + 2=8 （千米）.因此，他们的速度分别是小张10-2= 5 （千米/小时），小王8-2=4（

10、千米/小时）.答：小张和小王的速度分别是5千米/小时和4千米/小时.环形路上的行程问题例题讲解4绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行小王以4千米/小时速度每走1小时后休息5分钟；小张以6千米/小时速度每走50分钟后休息10分钟问：两人出发多少时间第一次相遇？解：小张的速度是 6千米/小时，50分钟走5千米我们可以把他们出发后时间与行程列 出下表：12+ 15= 27比24大，从表上可以看出，他们相遇在出发后2小时10分至3小时15分之间出发后2小时10分小张已走了此时两人相距24- ( 8+ 11) =5 (千米)由于从此时到相遇已不会再休息，因此共同走完这5千米所需时

11、间是5-( 4+ 6)= 0.5 (小时)2小时10分再加上半小时是 2小时40分答：他们相遇时是出发后 2小时40分环形路上的行程问题例题讲解 5一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分， 3只爬虫A, B, C分别在这3个点上. 它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行 .A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒, C的速度是3厘米/秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？解：先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置开始时，它们相差 30厘米,每秒钟B能追上C（ 5-3 ）厘米0.30+（ 5-3 ）= 15 （秒）.因此15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置

12、，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要90+（ 5-3 ）= 45 （秒）.B与C到达同一位置，出发后的秒数是15, 105, 150, 195,再看看A与B什么时候到达同一位置第一次是出发后30+( 10-5 ) =6 (秒)，以后再要到达同一位置是A追上B 一圈.需要90+( 10-5 )= 18 (秒)，A与B到达同一位置，出发后的秒数是6, 24, 42, 78, 96，对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置答：3只爬虫出发后60秒第一次爬到同一位置请思考，3只爬虫第二次到达同一位置是出发后多少秒？环形路上的行程问题例题讲解6图上正方形ABCD是一条环形公路.已

13、知汽车在AB上的速度是90千米/小时，在BC上的速度 是120千米/小时，在CD上的速度是60千米/小时，在DA上的速度是80千米/小时.从CD 上一点P,同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇.如果从PC中点M同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB上一点N处相遇.求解：两车同时出发至相遇，两车行驶的时间一样多题中有两个”相遇”，解题过程就是时间的计算要计算方便，取什么作计算单位是很重要的设汽车行驶CD所需时间是1.根据走同样距离，时间与速度成反比”，可得出分数计算总不太方便，把这些所需时间都乘以24.这样，汽车行驶 CD BC, AB, AD所需时间分别是24，12，16，18.从P点同

14、时反向各发一辆车，它们在AB中点相遇PtDA与 iC-B所用时间相等.PC上所需时间-PD上所需时间=DA所需时间-CB所需时间=18-12=6.而（PC上所需时间+PD上所需时间）是 CD上所需时间24.根据和差”计算得PC上所需时间是（24+6）+ 2= 15,PD上所需时间是 24-15 = 9.现在两辆汽车从 M点同时出发反向而行，MT Pt dt Atn与MT Ct Btn所用时间相等.M是PC中点.Ptdtatn与CtBtn时间相等，就有BN上所需时间-AN上所需时间=PtDA所需时间-CB所需时间=（9+ 18） -12=15.BN上所需时间+AN上所需时间=AB上所需时间=16

15、.立即可求BN上所需时间是15.5 , AN所需时间是0.5.从这一例子可以看出，对要计算的数作一些准备性处理，会使问题变得简单些环形跑道的行程问题例题讲解7如图38-1，A、B是圆的一条直径的两端，小张在 A点，小王在B点，同时出发逆时针而行，第一周内，他们在C点第一次相遇，在 D点第二次相遇。已知 C点离A点80米，D点离B点60米。求这个圆的周长。【分析】这是一个圆周上的追及问题。从一开始运动到第一次相遇，小张行了80米，小王行了 “半个圆周长+80”米，也就是在相同的时间内，小王比小张多行了半个圆周长， 然后，小张、小王又从 C点同时开始前进，因为小王的速度比小张快，要第二次再相遇，只

16、 能是小王沿圆周比小张多跑一圈。从第一次相遇到第二次相遇小王比小张多走的路程（一个圆周长）是从开始到第一次相遇小王比小张多走的路程（半个圆周长）的2倍。也就是，前者所花的时间是后者的 2倍。对于小张来说，从一开始到第一次相遇行了80米，从第一次相遇到第二次相遇就应该行 160米，一共行了 240米。这样就可以知道半个圆周长是180（=240-60 ）米。【解】（80+80X2 -60 ）X 2=360 （米）环形跑道问题练习题（附答案和详解）1. 在 400 米的环形跑道上， A、B 两点相距 100米，。甲、乙两人分别从 A、B 两点同时出发， 按照逆时针方向跑步，甲每秒跑 5 米，乙每秒跑

17、 4 米，每人每跑 100 米，都要停 10 秒钟。 那么，甲追上乙需要的时间是多少秒？答案：假设没有休息100+4*10=140 秒那么 100/(54) =100 秒钟 在 100/5=20 秒 100/20-1=4(次)2. 小明在 360 米的环形跑道上跑一圈，已知他前半时间每秒跑5 米，后半时间每秒跑 4米，为他后半路程用了多少时间？答案：x4= ( 360-x)越=160 (360吃-160)弋+ 1604= 44 分3. 林琳在 450 吗长的环形跑道上跑一圈，已知她前一半时间每秒跑 5 米，后一半时间每 秒跑 4 米，那么她的后一半路程跑了多少秒答案：设总时间为 X，则前一半的

18、时间为X/2，后一半时间同样为X/2X/2*5+X/2*4=360X=80总共跑了 80 秒前 40 秒每秒跑 5 米， 40 秒后跑了 200 米后 40 秒每秒跑 4 米， 40 秒后跑了 160 米后一半的路程为 360/2=180 米后一半的路程用的时间为( 200-180) /5+40=44 秒4. 小君在 360 米长的环形跑道上跑一圈。已知他前一半时间每秒跑5 米，后一半时间每秒跑 4 米。那么小君后一半路程用了多少秒？答案：设时间 X 秒 5X=360-4X 9X=360 X=40 后一半时间的路程 =40*4=160 米 后一半路程=360/2=180米 后一半路程用每秒跑

19、5米路程=180-160=20 米 后一半路程用每秒跑 5米 时间 =20/5=4 秒 后一半路程时间 =4+40=44 秒 答：后一半路程用了 44秒5. 小明在 420 米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑8 米，后一半时间每秒跑 6 米.求他后一半路程用了多少时间？答案：设总用时 X秒。前一半时间和后一半时间都是X/2。然后前一半跑 8*(X/2)米，后一半跑 6*(X/2) 米，总共加起来等于 420米。所以列下方程 8*(X/2)+6*(X/2)=420. 解得 X=60。 所以后一半跑了 30秒。又因为后一半为6M/S，所以后一半跑了 6*30=180M 。6. 二人沿

20、一周长 400 米的环形跑道均速前进，甲行一圈 4 分钟，乙行一圈 7 分钟，他们 同时同地同向出发，甲走 10 圈，改反向出发，每次甲追上乙或迎面相遇时二人都要击掌。 问第十五次击掌时，甲走多长时间乙走多少路程？答案：前 10 圈甲跑一圈击掌一次，即 10 下 此时已跑了 5+5/7 圈；后面 2 人跑了 2/7 时击掌 一次，然后 2 人共一圈击掌 1 次 耗时 （4+2/7）/（1/4+1/7 ）=30/7*（ 11/28）=165/98 ； 甲共总走了 40+165/98 H 已走了 （40+165/98）* （400/7） M 环形跑道问题练习题2（附答案和详解）1. 甲、乙两人从 400 米的环形跑道上一点 A 背向同时出发， 8 分钟后两人第五次相遇，已知 每秒钟甲比乙多走 0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A 沿跑道上的最短路程是多少米；答 案 ： 设 乙 的 速 度 是 x 米 / 分 0.1 米 / 秒 =6 米 / 分 8x+8x+8 6=400 5x=122疋呜00=2.176那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是 176 米2. 二人沿一周长 400米的环形跑道均速前进，甲行一圈 4分钟，乙行一圈