厦门大学网络教育2013-2013学年第一学期《线性代数》复

1、厦门大学网络教育2012-2013学年第一学期线性代数课程复习题（ c ）一、选择题1 设，则（ ）。a； b； c； d。2设，为阶方阵，则（ ）成立。a； b； c或； d。3. 设，若3阶非零方阵满足，则（ ）。a b c d44设为矩阵，且的行向量组线性无关，则（ ）。a的列向量组线性无关； b方程组的增广矩阵的行向量组线性无关；c方程组的增广矩阵的任意4个列向量构成的向量组线性无关； d方程组有唯一解。5下列命题错误的是（ ）。a若4阶方阵的行列式等于，则必有中的至少有一行向量是其余向量的线性组合；b若为零矩阵，线性方程一定有解；c矩阵是阶正交矩阵的充分必要条件是；d阶实对称矩阵不一

2、定有个两两正交的特征向量。6下列命题正确的是（ ）。a若，则也是对称阵； b若，且，其中为零矩阵，则；c齐次线性方程组（是矩阵），且，则其基础解系中所含的向量个数等于； d设，为矩阵的属于特征值的特征向量，则也是矩阵的属于特征值的特征向量。二、填空题 7设为3阶矩阵，且，则 。8已知是矩阵的特征向量，则 。9已知3元齐次线性方程组有非零解，则 。10矩阵的逆矩阵 。11设为3阶可逆矩阵，均为3阶方阵，若，那么 。12，则对应的二次型 。三、计算题13行列式计算（10分）求行列式 ，其中是阶行列式。14求解矩阵方程（10分）已知矩阵的伴随矩阵且，求。15线性方程组的计算（12分）设有线性方程组，

3、问取何值时，此方程组（1） 有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？并在有无限多解时求其通解。16向量组计算（10分）已知向量组，试求为何值时，向量组，线性相关，并在此时求它的一个极大线性无关组，并把其余向量用此极大线性无关组线性表示。17用正交线性替换化二次型为标准型，并求出所作的正交线性变换（20分）说明：（1）先将二次型表示成矩阵形式（2分）；（2）求出其二次型的矩阵的所有特征值（5分）；（3）求出对应于特征值的特征向量（6分）；（4）将这些特征向量正交单位化（3分）；（5）最后写出所作的正交变换和标准型（4分）。请按上述五步顺利给出解题过程。一、选择题1a。解：。2c。解：由，知，所以

4、或，故选c。3b。解：由3阶非零方阵满足，知方程组有非零解，则，即，于是。4b。解：由题设知，故的行向量组线性无关，且方程组有无穷多解，但的列向量组不一定线性无关，的任意4个列向量构成的向量组不一定都线性无关，故选b。5d。解：a正确，4阶方阵的行列式等于，说明的4个行向量的秩小于4，也就是说这4个行向量线性相关，故中至少有一个向量是其余行向量的线性组合。b正确，若为零矩阵，线性方程组是齐次线性方程组，必有零解。c正确，矩阵是阶正交矩阵的充分必要条件是，这是正交矩阵的定义。d错误，阶实对称矩阵一定有个两两正交的特征向量，这是非常重要的结论，故选d。6a。解：a正确，若，则，则也是对称矩阵。b错

5、误，反例：，记，但。注意矩阵乘法不满足消去律，当，只有可逆时，才有。c错误，齐次线性方程组（是矩阵），且，则其基础解系中所含的向量个数为。（基础解系中所含向量的个数等于方程中的未知数个数减去系数矩阵的秩）d错误，为矩阵的属于特征值的特征向量，则一定是非零向量，故只有当时，才是矩阵的属于特征值的特征向量。二、填空题 7解：。8解：设其对应的特征值为，则根据题意知即，所以或。9因为齐次线性方程组有非零解，所以系数行列式：，即，或。10解：由，知，。11解：为可逆矩阵，则可写成一系列初等矩阵的乘积，由左乘得到，相当于可通过初等行变换把变成，由于初等变换不改变矩阵的秩，故，而，所以。12解：。三、计算

6、题13解：按最后一行展开行列式得。14解：由，右乘可得，在两边左乘有，则。由，又计算得，所以，即，得。又，于是。15线性方程组的计算（12分）设有线性方程组，问取何值时，此方程组（1） 有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？并在有无限多解时求其通解。解：可求得系数行列式为。于是（1）当且时，方程组有唯一解。（2）当时，方程组无解。当时，方程组无解，（3）当时，有无穷多解，与原方程组同解的方程为（可任意取值）因此原方程的通解为，()综上所述当且时，方程组有唯一解；当或时，方程组无解；当时，方程组有无穷多解，通解为，()。16解： 将向量，看成一个矩阵的行向量组，得矩阵对矩阵仅施以初等行变换，把化为阶梯形矩阵因此当时，向量组，线性相关，此时所以，向量组，的一个极大线性无关组，且。17解：（1）二次型，其中，。（2）的特征多项式为，令，得到矩阵的特征值为，。（3）下面求特征向量：当时，解方程组，可得线性方程组的基础解系为。当时，解方程组，可得它的