构造函数法解决导数不等式问题

1、nn n -1n -1 构造函数法解决导数不等式问题在函数中解决抽象函数问题首要的前提是对函数四种基本性质的熟练掌握，导数是函数单调性的延伸，如果把题目中直接给出的增减性换成一个f( x )，则单调性就变的相当隐晦了，另外在导数中的抽象函数不等式问题中，我们要研究的往往不是 f ( x)本身的单调性，而是包含 f ( x)的一个新函数的单调性，因此构造函数变的相当重要，另外题目中若给出的是f( x )的形式，则我们要构造的则是一个包含 f ( x)的新函数，因为只有这个新函数求导之后才会出现f( x)，因此解决导数抽象函数不等式的重中之重是构造函数。例如：f( x ) 0，则我们知道原函数 f

2、 ( x)是单调递增的，若 f( x ) +1 0，我们知道 g ( x) = f ( x) +x这个函数是单调递增的，因此构造函数的过程有点类似于积分求原函数的过程，只不过构造出的新函数要通过题目中给出的条件能判断出单调性才可。既然是找原函数，那么就可能遇上找不到式子的原函数的时候，但是我们判断单调性只需要判断导函数的正负即可，例如 g ( x)的原函数是不能准确的找到的，但是如果我们知道一个式子的导函数里面包含 g ( x)，则也能大致将那个函数看成是原函数，例如m( x ) =g ( x )x，或者 m ( x)的导函数中包含一个能判断符号的式子和 g ( x )相乘或相除的形式，我们也

3、可以将 m ( x)构造函数模型总结：关系式为“加”型：大致看成 g ( x )的原函数。（1）f( x) + f ( x) 0构造 exf ( x)=ex f( x ) + f ( x)（2）xf( x) + f ( x ) 0构造 xf ( x )=xf( x ) + f ( x )（3） xf ( x) +nf ( x) 0构造 x f ( x) =x f ( x) +nx f ( x ) =x xf ( x ) +nf ( x )（注意对关系式为“减”型x的符号进行讨论）（1）f( x) - f ( x) 0构造f ( x) f ( x) e x -f ( x) e x f ( x)

4、-f ( x) = =e x ( e x ) 2 e x（2） xf ( x ) - f ( x) 0构造 f ( x ) xf ( x) -f ( x) =x x 2（3）xf( x ) -nf ( x ) 0构造 f ( x) x n f ( x ) -nx n -1 f ( x ) xf ( x) -nf ( x) = =x n ( x n ) 2 x n +1（注意对 x 的符号进行讨论）例 1. 设 f ( x ),g( x )是 r 上的可导函数，f( x )，g( x )分别是 f ( x), g( x )的导函数，且满足f( x) g ( x ) + f ( x )g( x )

5、 0，则当 a x f (b) g ( a) b. f ( a) g (a ) f ( a) g (b )c . f ( a ) g ( a ) f (b) g (b ) d. f ( a) g ( a ) f (b ) g ( a )解析：因为f( x) g ( x ) + f ( x )g( x ) 0不等式左边的原函数为 f ( x ) g ( x)，因此需要构造新函数，令 h ( x ) = f ( x) g ( x )，可知h( x ) 0，则函数 h ( x )是单调递减函数，因此当a x h (b)即答案选 c。变式：设 f ( x),g( x ) 是 r 上的可导函数，f( x

6、) g ( x ) + f ( x)g( x ) 0， g ( -3) =0 ，求不等式 f ( x) g ( x ) 0的解集。解 析 ： 同 上 题f( x ) g ( x ) + f ( x )g( x)的 原 函 数 为 f ( x ) g ( x )， 构 造 新 函 数h ( x ) = f ( x ) g ( x )可知 h( x ) 0， h ( x )单调递减，又因为 g ( -3) =0 即 h ( -3) =0 ，所以 f ( x) g ( x) 0，若a =1 1 1f ( ), b =-2f ( -2), c =ln f (ln 2) 2 2 2，则下列关于 a ,

7、b, c的大小关系正确的是（ ）aa. b c b.a c b c.c b a db. a cf ( x )解析：着眼点是 f ( x ) + 0x，xf ( x) + f ( x )x0，则试图找出不等式左边这部分的原函数或者某个函数的导函数的一部分是不等式左边，设h( x) =xf ( x )，则h ( x) =xf ( x ) + f ( x)，当 x 0xf ( x) + f ( x )时 0x， h( x ) 0，当 x 0 ， hx( x ) c =ln f (ln 2) a = f ( )2 2 2例 3. 已知函数 f ( x)为定义在 r 上的可导函数，且f ( x ) e

8、f (0)、f (2013) e2013f (0) b. f (1) e2013f (0)2c . f (1) e f (0)、f (2013) e 2013 f (0) d. f (1) e f (0)、f (2013) e 2013 f (0)解析：由f ( x) f( x) f ( x) - f( x) 0，函数 h ( x )在定义域内单调递增，所以f (1) f (0) f (2013) f (0) , e 1 e2013 1例 4.设函数 f ( x )在 r 上的导函数为 f ( x)，且 2 f ( x ) +xf ( x ) x2，下面的不等式在r 内恒成立的是（ ）a. f

9、 ( x ) 0 b. f ( x ) x d. f ( x) x2 2 f ( x ) +xf( x) -x20，试着找出不等式左边部分的原函数，若设h ( x ) =x21 f ( x ) - x33，则 h( x) =x2 f ( x) +xf( x) -x2无法判断 h( x )的正负，因此构造函数有误，构造的原则是构造的新函数的导函数的正负是可以判断的，因此设h ( x ) =x2f ( x ) -14x4，则 h ( x) =x2 f ( x) +xf ( x) -x ，当 x 0时， h ( x ) 0 ；当 x 0 时， h ( x ) x 2 04，即 f ( x ) 0例

10、5.已知函数 f ( x)的定义域为 r，且 f ( x ) 1 - f ( x ), f (0) =4，则不等式f ( x ) 1 +eln3 -x的解集为（ ）a.(0, +)1b.( , +) 2c .(1,+) d.( e, +)解析：f ( x) 1 +e ln3 -x e x f ( x) e x +e ln3 e x f ( x ) -e x 3令 h ( x) =e x f ( x ) -e x , h ( x) =e x f ( x) + f ( x) -1 0 时，xf( x ) - f ( x ) 0 成立的 x 的取值范围是（ ）a.( -,-1)(0,1) b.( -

11、1,0) (1,+) c .( -,-1)( -1,0) d.(0,1) (1,+)解析：令g ( x ) =f ( x ) xf ( x) -f ( x) , g ( x) =x x 2当 x 0 时，g( x ) 0 f ( x) 0当 x (1,+)时， g ( x ) 0 f ( x ) 0 f ( x) 0当 x (1,+)时， g ( x ) 0综上， f ( x ) 0的解集为 ( -,-1)(0,1)例 7.函数 f ( x )的定义域为 r ， f ( -1) =2，对任意 x r ，f( x ) 2，则f ( x) 2 x +4 的解集为（ ）a.( -1,1) b.( -

12、1, +) c .( -,-1) d.( -,+) 解析： f ( x) 2 x +4 f ( x) -2 x 4令g ( x ) = f ( x) -2 x, g ( x ) = f ( x ) -2 0所以 g ( x )为 r的单调递增函数，又因为 g ( -1) = f ( -1) -2 ( -1) =4所以不等式的解集为 ( -1, +)例 8已知 f ( x)定义域为 (0, +)，f( x ) 为 f ( x )的导函数，且满足 f ( x) ( x -1) f ( x2-1)的解集是（ ）a.(0,1) b.(1,+) c .(1,2) d.(2, +)解析：令f ( x) -

13、xf ( x ) f ( x ) +xf ( x ) 0g ( x) =xf ( x ), g ( x ) = f ( x ) +xf ( x ) ( x -1) f ( x2-1) ( x +1) f ( x +1) ( x2-1) f ( x2-1)g ( x +1) g ( x 2 -1)x +1 0 x -1x 2 -1 0 x 1或x 2x +1 2或x 0时， f ( x)的极值状态是解析：因为 x 2 f ( x) +2 xf ( x) =e xx，关键因为等式右边函数的原函数不容易找出，因此把等式左边函数的原函数找出来，设h ( x ) =x 2 f ( x )，则 h ( x

14、 ) =e xx，且h(2) =e22，因为 x f ( x ) +2 xf ( x) =e x e x -2 h ( x) ，则 f ( x) =x x 3，判断 f ( x)的极值状态就是判断f( x )的正负，设 g ( x ) =ex-2 h ( x )，则g ( x ) =e x -2 h ( x) =e x-2e x x -2 =e x ( )x x这里涉及二阶导， g ( x )在 x =2 处取得最小值 0，因此 g ( x ) 0，则f( x ) 0，故 f ( x )没有极大值也没有极小值。（有难度，但不失为好题目）2.定义在 r上的函数 f ( x )满足 f ( x)

15、+ f( x ) 1, f (0) =4，则不等式 exf ( x ) ex+3的解集为_.解析：因为f ( x ) + f( x ) 1，设 h ( x) =exf ( x)，则 h( x) =ex f ( x ) + f( x)，不等式exf ( x ) ex+3 exf ( x ) -ex-3 0，设函数 g ( x ) =exf ( x) -ex-3，g( x) =h( x ) -ex，因为 f ( x ) + f( x ) 1 ，所以 h( x ) ex，所以 g( x ) 0，又因为 f (0) =4，所以 g (0) = f (0) -1 -3 =0，综上可判断出 g ( x)在

16、定义域内单调递增且 g (0) =0，因此原不等式的解集为 (0, +)3.定义在 r上的函数 f ( x)满足 f (1) =1，对任意的 x r 有 f1( x ) x2 +12的解集是解析：f ( x2) x 2 +1 x 2 +1 f ( x 2 ) - 02 2，令 t =x2，则 f (t ) -t +120，设h (t ) = f (t ) -t +1 1，则 h (t ) = f (t ) - ，所以 h 2 2(t ) 0，即函数 h(t )单调递减，又因为 h (1) =0， h(t )为偶函数，所以 t 0,1)，即 x ( -1,1)4.f ( x)是定义在 (0, +)上的非负可导函数，且 xf( x ) -