小学数学 容斥原理之重叠问题(二).教师版

1、7-7-2. 容斥原理之重叠问题（二）教学目标1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用知识要点一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把 两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成： a u b =a +b -a i b (其中符号“ u ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ i ” 读作“交”，相当于中文“且”的意思)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理图示如下: a 表示小圆部分， b 表

2、示大圆部分， c 表示大圆与小圆的公共部分，记为： a i b，即阴影面积图示如下: a 表示小圆部分， b 表示大圆部分， c 表示大圆与小圆的公共部分，记为： a i b，即阴影面积1先包含 a +b重叠部分 a i b 计算了 2 次，多加了 1 次；2再排除 a +b -a i b把多加了 1 次的重叠部分 a i b 减去包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合 a、b 的并集 a u b 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合 a、b 的元素个数，然后加起来，即先求 a +b (意思是把 a、b 的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素

3、个数，即减去c =a i b (意思是“排除”了重复计算的元素个数) 二、三量重叠问题a 类、 b 类与 c 类元素个数的总和 =a 类元素的个数 +b 类元素个数 +c 类元素个数 -既是 a 类又是 b 类 的元素个数 -既是 b 类又是 c 类的元素个数 -既是 a 类又是 c 类的元素个数 +同时是 a 类、 b 类、 c 类的元 素个数用符号表示为： a u b u c =a +b +c -a i b -b i c -a i c +a i b i c 图示如下：图中小圆表示 a 的元素的个数，中圆表示 b 的元素的个数， 大圆表示 c 的元素的个数1先包含： a +b +c重叠部分

4、a i b 、b i c 、c i a 重叠了 2 次，多加了 1 次 2再排除： a +b +c -a i b -b i c -a i c重叠部分 a i b i c 重叠了 3 次，但是在进行 a +b +c - a i b -b i c -a i c 计算时都被减掉了3再包含： a +b +c -a i b -b i c -a i c +a i b i c 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考1例题精讲模块一、三量重叠问题【例 1】 一栋居民楼里的住户每户都订了 2 份不同的报纸。如果该居民楼的住户只订了甲、乙、丙三种报 纸，其中甲报 30 份，乙报 34

5、 份，丙报 40 份，那么既订乙报又订丙报的有_户。【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯，4 年级，1 试【解析】 总共有（303440） 252 户居民，订丙和乙的有 523022 户。【答案】 22 户【例 2】 某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有 34 人，手中有黄旗的共 有 26 人，手中有蓝旗的共有 18 人其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有 6 人而手中只有红、黄 两种小旗的有 9 人，手中只有黄、蓝两种小旗的有 4 人，手中只有红、蓝两种小旗的有 3 人，那么 这个班共有多少人？【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型

6、】解答abc【解析】 如图，用 a 圆表示手中有红旗的， b 圆表示手中有黄旗的， c 圆表示手中有蓝旗的如果用手中有 红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去， 手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为：（34+26 +18）-（9+4+3）- 6 2 =50 (人)【答案】50人【巩固】 某班有 42 人，其中 26 人爱打篮球，17 人爱打排球，19 人爱踢足球，9 人既爱打篮球又爱踢足球，4 人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好问：既爱打 篮球又爱打排球的有几人？【考点】三量重叠问题

7、 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 由于全班 42 人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有 42 人根据包含排除法， 42 =（26+17 +19）-（9+4+既爱打篮球又爱打排球的人数 ）+0 ，得到既爱打篮球又爱打排球的人数 为： 49 -42 =7 (人)【答案】 7 人【例 3】 四年级一班有 46 名学生参加 3 项课外活动其中有 24 人参加了数学小组，20 人参加了语文小组， 参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的 35 倍，又是 3 项活动都参加人数 的 7 倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于 3 项都参加的人数的 2 倍，既参加数

8、学小 组又参加语文小组的有 10 人求参加文艺小组的人数【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 设参加数学小组的学生组成集合 a，参加语文小组的学生组成集合 b，参加文艺小组的学生组成集合 g三者都参加的学生有 z 人有 a u b u c =46，a =24，b =20，c =3.5， a i c =7 a i b i c，b i c=2a i b i c， a i b=10因为 a u b u c = a + b +c - a i b - a i c -b i c + a i b i c ， 所以 46=24+20+7x-10-2x -2x+x，解得 x=3，即三者的都

9、参加的有 3 人那么参加文艺小组的有 3 7=21 人【答案】 21 人2【巩固】 五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项其中有 25 人参加自然兴趣小组，35 人参加美术兴趣小组，27 人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有 12 人， 参加自然同时又参加美术兴趣小组的有 8 人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有 9 人， 语文、美术、自然 3 科兴趣小组都参加的有 4 人求这个班的学生人数【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】解答a自然b美术c语文【解析】 设参加自然兴趣小组的人组成集合 a，参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣小组的人 组成集合

10、 ca=25， b=35， c =27， b i c =12， a i b=8， a i c =9，a i b i c =4.a u b u c =a + b + c - a i b - a i c - b i c + a i b i c.所以，这个班中至少参加一项活动的人有 25+35+27-12-8-9+4=62，而这个班每人至少参加一项即 这个班有 62 人【答案】 62 人【巩固】 光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有 42 人， 参加中国象棋比赛的有 55 人，参加国际象棋比赛的有33 人，同时参加了围棋和中国象棋比赛 的有 18 人，同时参

11、加了围棋和国际象棋比赛的有 10 人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛 的有 9 人，其中三种棋赛都参加的有 5 人，问参加棋类比赛的共有多少人？【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 根据包含排除法，先把参加围棋比赛的 42 人，参加中国象棋比赛的 55 人与参加国际象棋比赛的 33 人 加起来，共是 42 +55 +33 =130 人把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的 18 人，同时参加围棋 和国际象棋的 10 人与同时参加中国象棋和国际象棋的 9 人减去，但是，同时参加了三种棋赛的 5 人 被加了 3 次，又被减了 3 次，其实并未计算在内，应当补上，实际上参加棋类

12、比赛的共有： 130 -（18+10 +9）+5=98 (人)或者根据学过的公式： a u b u c =a +b +c -a i b -b i c -a i c +a i b i c ，参加棋类比赛的总 人数为： 42 +55 +33 -18 -10 -9 +5 =98 (人)【答案】 98 人【例 4】 新年联欢会上，共有 90 人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出如果只参加跳舞的人数三倍 于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少 7 人；只参加演奏的比同时参 加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多 4 人；50 人没有参加演奏；10 人同时参加了跳舞和合唱但没 有参加演奏；

13、40 人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有_人【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】西城实验【解析】 设只参加合唱的有 x 人，那么只参加跳舞的人数为 3x ，由 50 人没有参加演奏、 10 人同时参加了跳 舞和合唱但没有参加演奏，得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为 50 -10 =40 人，即 x +3 x =40 ，得 x =10 ，所以只参加合唱的有10 人，那么只参加跳舞的人数为30 人，又由“同时参加 三种节目的人比只参加合唱的人少 7 人”，得到同时参加三项的有 3 人，所以参加了合唱的人中“同时 参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的”

14、有： 40 -10 -10 -3 =17 人【答案】17人【巩固】 六年级 100 名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项其中，爱好体育的 55 人，爱 好文艺的 56 人，爱好科学的 51 人，三项都爱好的 15 人，只爱好体育和科学的 4 人，只爱好体育 和文艺的 17 人问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 只是 a 类和 b 类的元素个数，有别于容斥原理中的既是 a 类又是 b 类的元数个数依题意，画图 如 下 设 只 爱 好 科 学 和 文 艺 两 项 的 有 x 人 由 容 斥 原 理 ， 列

15、方 程 得 55 +56 +51 -（17+15）-（4+15）-（x+15）+15=1003即55 +56 +51 -17 -4 -x -15 2 =100111 -x =100x =11 只爱好体育的有： 55 -17 -15 -4 =19 (人)【答案】11人只爱好科学和文艺，19人只爱好体育。【例 5】 在某个风和日丽的日子，10 个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6 个人带了汉堡， 6 个人 带了鸡腿， 4 个人带了芝士蛋糕，有 3 个人既带了汉堡又带了鸡腿， 1 个人既带了鸡腿又带了芝士 蛋糕 2 个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕问：1 三种都带了的有几人？2 只带了一种的有几个

16、？【考点】三量重叠问题 【难度】4 星 【题型】解答abc【解析】 如图，用 a 圆表示带汉堡的人， b 圆表示带鸡腿的人， c 圆表示带芝士蛋糕的人1 根据包含排除法，总人数 =（带汉堡的人数 +带鸡腿的人数 +带芝士蛋糕的人数）-（带汉堡、鸡 腿的人数 +带汉堡、芝士蛋糕的人数 +带鸡腿、芝士蛋糕的人数 ）+三种都带了的人数，即 10 -（6+6+4）-（3+2+1）+三种都带了的人数，得三种都带了的人数为：10 -10 =0 (人)2 求只带一种的人数，只需从 10 人中减去带了两种的人数，即10 -（3+2+1）=4(人)只带了一种 的有 4 人【答案】（1）0 人，（2） 4 人【巩

17、固】 盛夏的一天，有10 个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的 各有 5 人；可乐、雪碧都要的有 3 人；可乐、橙汁都要的有 2 人；雪碧、橙汁都要的有 2 人；三样都 要的只有 1 人，证明其中一定有1 人这三种饮料都没有要【考点】三量重叠问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 略【答案】根据根据包含排除法，至少要了一种饮料的人数 =( 要可乐的人数 +要雪碧的人数 +要橙汁的人 数) -(要可乐、雪碧的人数 +要可乐、橙汁的人数 +要雪碧、橙汁的人数 ) +三种都要的人数，即至 少要了一种饮料的人数为：（5 +5 +5）-（3+2+2）+1=9(人)

18、10 -9 =1 (人)，所以其中有 1 人这三种 饮料都没有要【例 6】 全班有 25 个学生，其中17 人会骑自行车，13 人会游泳，8 人会滑冰，这三个运动项目没有人全会， 至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀若全班有 6 个人数学不及格， 那么， 数学成绩优秀的有几个学生？ 有几个人既会游泳，又会滑冰？【考点】三量重叠问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 有 6 个数学不及格，那么及格的有：25 -6 =19 (人)，即最多不会超过19 人会这三项运动之一而 又因为没人全会这三项运动，那么，最少也会有：（17 +13 +8）2=19 (人)至少会这三项运动之

19、一于 是，至少会三项运动之一的只能是19 人，而这 19 人又不是优秀，说明全班 25 人中除了 19 人外，剩 下的 6 名不及格，所以没有数学成绩优秀的 上面分析可知，及格的19 人中，每人都会两项运动：会骑车的一定有一部分会游泳，一部分会滑 冰；会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰，而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳，但既会 游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车所以，全班有19 -17 =2 (人)既会游泳又会滑冰【答案】（1）0 人，（2）2人【巩固】 五年级一班共有 36 人，每人参加一个兴趣小组，共有 a 、 b 、 c 、 d 、 e 五个小组，若参加 a 组 的有 15 人，参加

20、b 组的人数仅次于 a 组，参加 c 组、 d 组的人数相同，参加 e 组的人数最少，只 有 4 人那么，参加 b 组的有_人【考点】三量重叠问题 【难度】4 星 【题型】填空【解析】 参加 b ， c ， d 三组的总人数是 36 -15 -4 =17 (人)， c ， d 每组至少 5 人，当 c ， d 每组 6 人时，4b 组为 5 人，不符合题意，所以参加 b 组的有17 -5 -5 =7 (人)【答案】7人【例 7】 五一班有 28 位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个其中仅参加数学与语文 小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有

21、 6 个同学 参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是 3 个小组全参加的人数 的 5 倍，并且知道 3 个小组全参加的人数是一个不为 0 的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人 有多少人？【考点】三量重叠问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 参加 3 个小组的人数是一个不为 0 的偶数，如果该数大于或等于 4，那么仅参加语文与自然小 组的人数则大于等于 20，而仅参加数学与自然小组的人有 6 个，这样至少应有 30 人，与题意 矛盾，所以参加 3 个小组的人数为 2仅参加语文与自然小组的人数为 10，于是仅参加语文与 自然、仅参加数学与自然和参加 3 个小组的人数

22、一共是 18 人，剩下的 10 人是仅参加数学与语 文以及仅参加数学的由于这两个人数相等，所以仅参加数学和语文小组的有 5 人【答案】 5 人【例 8】 在一个自助果园里，只摘山莓者两倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的 人数多 3 个；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多 4 人； 50 个人没有摘草莓； 11 个人 摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有 60 人摘了李子 .如果参与采摘水果的总人数是 100 ，你能回 答下列问题吗？1 有 人摘了山莓；2 有 人同时摘了三种水果；3 有 人只摘了山莓；4 有 人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；5 有 人只摘了草莓.山莓a

23、edgb f草莓【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】 如图，根据题意有a =2cg -c =3b -e =4a +d +c =50d =11c +d +f +g =60a +b +e =40c李子代入求解： a =26 ， b =9 ， c =13 ， d =11 ， e =5 ， f =20 ， g =16 所以有 a +d +e +g =26 +11 +5 +16 =58 (人)摘了山莓；2 有16 人同时摘了三种水果；3 有 26 人只摘了山莓；4 有 20 人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；5 有 9 人只摘了草莓.【答案】有58(人)摘了山莓；有16人同时摘了三

24、种水果；有26人只摘了山莓；有20人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；有9人只摘了草莓.【例 9】 某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪 三个项目的人数分别为 10、15、20 人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之 一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛？517体育55人 文艺56人415x科学51人【考点】三量重叠问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 由条件可知，参加长跑的人中有 2 人参加其它项目，参加跳高的人中有 3 人参加其它项目，参加标 枪的人中有 4 人还参加别的项目，假设只参加长跑和跳高的人

25、数为 x，只参加长跑和标枪的人数为 y， 只参加标枪和跳高的有 z 人，三项都参加的有 n 人.那么有以下方程组：由 条 件 可 知 ， 参 加 长 跑 的 人 中 有 2 人 参 加 其 它 项 目 ， 参 加 跳 高 的 人 中 有 3 人 参加其它项目，参加标枪的人中有 4 人还参加别的项目，假设只参加长跑和跳高的人数为 x，只参加 长跑和标枪的人数为 y，只参加标枪和跳高的有 z 人，三项都参加的有 n 人.那么有以下方程组：x +y +n =2 x +z +n =3 z +y +n =4将 3 条等式相加则有 2（x+y+z）+3n=9，由这个等式可以得到，n 必须是奇数，所以，n 只能是 1 或