多面体与球专题

1、1 2 3多面体与球专题一. 选择题：1. 球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，经过这 3 个点的小圆的周长为4p，那么这个球的半径为（ ）a.4 3b.2 3c. 2 d.32. 如图，a、b、c 是表面积为 48p 的球面上三点，ab=2，bc=4， 球心，则直线 oa 与截面 abc 所成的角是（ ）abc =60，o 为a.arcsin3 3 3 3 b. arccos c. arcsin d. arccos6 6 3 33. 把正方形 abcd 沿对角线 ac 折起，当以 a、b、c、d 四点为顶点的三棱锥体积最大 时，异面直线 ad 与 bc 的夹角为（

2、 ）a. 30 b. 45 c. 60 d. 904. 已知体积相等的正方体、球、等边圆柱的全面积分别为 s 、s 、s ，则它们之间的关 系是（ ）a.s s s 1 23b.s s s 1 32c.s s s 2 31d.s s s 2 135. 如图，一个由三根细铁杆 pa、pb、pc 组成的支架，三根杆的两两夹角都是 60，一 个半径为 1 的球放在支架上，则球心到点 p 的距离是（ ）a.3b.2c. 2 d.326. 已知球的表面积为20p，球面上有 a、b、c 三点，如果 ab=ac=2，bc =2 3，则球心到平面 abc 的距离为（ ）a. 1 b.2c.3d. 27. 地球

3、半径为 r，在北纬 30圈上有两点 a、b，a 点的经度为东经 120，b 点的经度为西经60，则 a、b 两点的球面距离为（ ）a.p3rb.32prc.p 2r d.2 3pr8. 一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的可能图形是（ ） a.（1）（3） b.（2）（4） c.（1）（2）（3） d.（2）（3）（4）二. 解答题：1. 如图所示，ab 是球 o 的直径，c、d 是球面上两点，且都在以 bc 为直径的小圆上，设小圆所在的平面为a（1）求证：平面 abca ；（2）设 d 为 bc 的中点，ad 与平面 a 所成的角为q ，过球的半径 od 且垂直于平面a的截面截

4、bc 弦于点 e，求doed与过 od 的截面圆的面积之比。2. 在棱长为 2r 的正方体容器内装满水，先把半径为 r 的球放入水中，然后再放入一球， 使它淹没在水中，且使溢出的水最多，问这个球的半径应是多少？并计算放入两球后溢出 的水量与容器容量之比。3. 上海靠近北纬 30、东经 120的 a 点，洛杉矶靠近北纬 30、西经 120的 b 点，如果 以美国新研制的 3 倍音速的飞机，那么从洛杉矶起飞到达上海需要多长时间？1（ arccos( - ) 1.70 8，音速为 340m/s，地球半径取 r=6378km）。1131【试题答案】一.1. b解析：设球心为 o，由题设知三棱锥 oab

5、c 是正四面体，且 dabc 的外接圆半径是2，设球半径为 r，则33r =2，r =2 32. d解析：易得该球的半径是 2 3 ，在截面圆上 ab=2，bc=4，abc =60，得ac =2 3bac =90 截面 abc，则截面圆的圆心是 bc 的中点 o ，截面圆半径是 2，由球的知识知 oo 所以 oao 是直线 oa 与截面 abc 所成的角 1在rtdoao 中， ao =2, ao =2 31 1所以cos oao =1ao 31 =ao 3故直线 oa 与截面 abc 所成的角是 3. carccos33解析：如图，面 adc 折起到面ad c的位置，显然面 abc面adc时

6、，体积最大，o 是 ac 中点，连结 od、 od 、d d 面 abc面ad cd ood又od=od 在rtdd od中，d d=2od =ad ad =dd=ad，即 dad d为等边三角形又 ad/bc ad 与 ad 所成的角即为 ad 与 bc 所成的角，即 60，故选 c。4. c解析：s =63 v 2 , s =4p3( 1 23 v4 p)2，3vs =6p3 ( ) 22ps32s33s31，得s s s 2 315. a解析：如图所示，o 为球心，o 为过切点 e、f 的截面小圆的圆心， defp 为正三角11形设 ep=aeo =133a由射影定理知oe ep =op

7、 eo1 op =1a3a3= 3 球心到点 p 的距离为36. a解析：如图，设球的球心是 o，由于 o 到 a、b、c 的距离都是球的半径 r o 在平面 abc 内的射影 o 是dabc 的外心在dabc中，由余弦定理得cos a =b2+c 2 -a 2 2 2 +2 2 -(2 3) 2 1 = =-2bc 2 22 2a =120设 dabc 外接圆半径为 r ，则由正弦定理得bcsin120 = 2 r ，即r =2 33=2s球=4pr2=20p r2=5 球心 o 到平面 abc 的距离oo=r2-r 2= 5 -4 =17. d解析： 点 a、b 都在北纬 30圈上，a 点

8、的经度为东经 120，b 点的经度为西经60 a、b 两点的连线是纬线圈的直径，过 b 作 be赤道平面于 e，则boe =30 oo 赤道平面 o ob =60 1aob =2 p3 过点 a b 的球大圆劣弧长ab =23pr8. c解析：当截面平行于正方体的一条侧棱时，得（1）或（3），当截面过正方体的对角线1111111时，得（2），无论如何都不能截出（4）。 二.1. 解：（1）取 bc 的中点o1，连 oo o 是以 bc 为直径的圆的圆心则 oo o1即 oo 底面 bcd 1又 oo 面 abc1 面 abc面 bcd，即面 abca （2）d 为 bc的中点，则 do bc，

9、过 od 且垂直于平面a 的截面截 bc 弦于 e，e即是o1doed doeb acde ac面 bcd，adc =q设 bc=2r，则cd =2r，ac =cd tanq= 2r tanq2 r =ac 2 +bc 2 = 2r 2 tan 2q +4r 2sdoeds圆=sdoo ds圆=14sdabcs圆=1 1 2r tan q2r 4 21p( r 2 tan 2 q+r 2 ) 2=2 tan q (2 tan 2 q+4)p2. 解：设半径为 r 的球的球心为 o，后一球的球心为o1，作出正方形的对角线，如图所示的矩形aa c c1 1中，o 点必在对角线ac1中点处，欲使第二

10、个球放入后溢出的水最多，则球心 o 也在 ac 上，作 oq ac 于 q ， o pac 于 p ，设两球外切于 1 1dapo daqo1e ，则po qo1 =ao ao1由 cc =2 r , ac =2 2 r , ac =2 3 r 1 1g =ao112rac1g=3 3ao = ( ae -g 3 3)又ae = ao -r =( 3 -1) rg=(2 - 3) r此时所求比为4 4pr3 + p(2 - 3) 3 3(2 r ) 33r39 -5 3= p23. 解析：设地球半径为 r， ab所对球心角为q，30纬度圈的半径为 r，则r =r cos 30 =32r，3ab = 3r =