线性方程组和矩阵知识总结

1、线性方程组和矩阵知识总结 吴荣魁 2013201363 线性方程组的基本概念 a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 am1x1 am2x2 a1nxn a2n xn b2 其中未知数的个数 n 和方程式的个数 m 不必相等 . 线性方程组的解是一个n维向量它满足：当每个方中的未知数xi都用ki替代 时都成为等式 . 线性方程组的解的情况有三种 ：无解,唯一解,无穷多解 . 对线性方程组讨论的主要问题两个 ：(1)判断解的情况 .(2)求解 b1=b2= =bm=O的线性方程组称为齐次线性方程组. n维零向量总是齐次线性方程组的解，称为零解.因此齐次线性方程组解的情 况只有两种 ：

2、唯一解(即只要零解 )和无穷多解 (即有非零解 ). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0,所得到的齐次线性 方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组 . 线性方程组的解法 a11x1 a12 x2 a1nxn b1 a21x1 a22 x2 a2n xn b2 am1x1 am2x2 amn x3 bm (1) 、写出线性方程组的增广矩阵。 (2) 、用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵。 (3) 、看阶梯形矩阵的最后一个非零行的首非零元是否在最后一列。如果 是，则方程组无解；反之方程组有解。 (4) 、在有解的情况下，找出阶梯形矩阵中非零行的个数r。如果r=n,则 方

3、程组有唯一解；如果rn，则方程组有无穷多解。 (5) 把第二步得到的阶梯形矩阵通过初等行变换化为简化阶梯形矩阵。 (6) 根据简化阶梯形矩阵，给出线性方程组的一般解或解集。 一些特殊的矩阵 （1）行矩阵一一只有一行的矩阵。 （2）列矩阵 只有一列的矩阵。 （3）零矩阵一一所有元素都等于0的矩阵。 （4）当m n时称A （ajnn为n阶方阵；a,a22,L , ann所在的对角线称 为方阵的主对角线。 （5） 主对角线下（上）方的元素全为零的方阵称为 上（下）三角阵。 （6）主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角阵，记为 d1 00 D 020，简记为 D diag（di，d2， ,dn）。 0

4、 0dn （7）单位阵记以E。 注 （1）只有1列或1行的矩阵分别称为列矩阵或行矩阵，也被称为列向 量或行向量。这样，它们就有了矩阵和向量的双重“身份”。 （2）n n矩阵也称为n阶方阵或n阶矩阵，而1阶矩阵被约定当作 数”（即 元”本身）对待，当然数”是不能当作1阶矩阵来对待的。 （3）单位阵、对角阵、三角阵是特别简单的一些方阵，在今后讨论的基本 运算中，它们各表现出一些简单特性, 这就使它们在形成或训练解决问题的矩阵 方法中都将有重要作用 a11 对线性方程组（1） A a m1 a1n 称为（1）的系数矩阵, a mn a11 A a1nbl 称为（1）的增广矩阵。 am1 a mn b

5、m 矩阵的行（列）初等变换: （1）对换矩阵的两行（列），用rj（Cj）表示对换i, j两行（列）的行（列） 初等变换，即rirj （ cCj）； （2）用非零数乘矩阵的某一行（列），用A（k）（Ci（k）表示以k 0乘矩阵 的第i行（列）的行（列）初等变换，即rikMcikcj ; （3）将矩阵的某行 例）乘以数k再加入另一行（列）中去，用rj（k）（Cj（k）表 示k乘矩阵的第i行（列）后加到第j行（列）的行（列）初等变换，即 仃 kri （cj kci）。 4、矩阵的等价 定义 将矩阵A的行经有限次初等变换化为B，称A与B等价，记作AB。 5、行阶梯形矩阵与最简形矩阵 定义3若矩阵A的零

6、行（元素全为零的行）位于A的下方，且各非零行（元 素不全为零的行）的非零首元（第一个不为零的元素）的列标随行标的递增而严 格增大，则称A为行阶梯形矩阵。 定义4若行阶梯形矩阵A的各非零首元均为1,且各非零首元所在列的其 余元素均为零，则称A为最简形。 6用初等变换线性方程组的解 1）将（1）的增广矩阵A用行初等变换化为最简形； 2）由最简形对应的方程组得到解。 矩阵的秩 矩阵秩的求法 （1）定义法 找出矩阵A中不为零的最高子式，算出它的阶数. （2）初等变换法 用初等变换（行、列均可）将矩阵A化为标准形Er 0 ，即可得出R（A） r ； O O 或化成阶梯形矩阵，其非零行的个数即为秩. 矩阵秩的性质 （1） R（A） R（AT） 2) R A O =R(A) R(B) OB R(B) (3) max R( A), R( B)R(A, B) R( A) (4) R(A B) R(A) R(B) (5) 若 A : B ，则 R(A) R(