线性代数第三章向量试题及答案

1、第三章 向量 1、基本概念 定义1：由n个数构成的一个有序数组ai,a2, an称为一个n维向量, 称这些数为它的 分量。分量依次是ai,a2, ,an的向量可表示成： ai,a2,an ，称为行向量，或Ta1 ,a2,an T称为列向量。 合，即 km m，则称可以用量组 m线性表 示。 判别 向量方程 是否可以用 X1 1 X2 2 m线性表示?表示方式是否唯一？就是冋: 是否有解？解是否唯一？用分量写出 请注意，作为向量它们并没有区别，但是作为矩阵，它们不一样（左边是1 n 矩阵，右边是n1矩阵）。习惯上把它们分别（请注意与下面规定的矩阵的行向量和 列向量概念的区别）。 一个m n的矩阵

2、的每一行是一个 n维向量，称为它的行向量；每一列是一个 m维向量，称为它的列向量，常常用矩阵的列向量组来写出矩阵，例如当矩阵A 的列向量组为1,2, m时（它们都是表示为列的形式!）可记A= （1 ,2, m ） 矩阵的许多概念也可对向量来规定，如元素全为0的向量称为零向量，通常也 记作0。 两个向量和 相等（记作 =）,是指它的维数相等，并且对应的分量都相等 2、向量的线形运算 设n维向量。a，佻*丁=（bi岳宀心）丁*则 向加法d + 0 =（如十松胡2 +机，認十打”； 数乘向应（ka、 向内稅趴防=aTfi = fiTa =+ Qzbz +十仪* 这个向量方程，就是以 为增广矩阵的线性

3、方程组。反之，判别 以 A 为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？的问题又可转化为 是否可以用A的列向量组线性表示？表示方式是否唯一？ ”的问题。 定义4：线性相关：对m个n维向量 的数k1,k2 若存在一组不全为 0 km ,使得 k1 1k2 2 km m=0成立，则称向量组 m线性相关。 包含0向量的向量组肯定线性相关, 关，单个向量是 0向量时线性相关。 有相等向量或成比例向量的向量组线性相 定义5：线性无关：向量组 才有k1 1k 2 2 单个向量是非 km m =0成立， 0向量时线性无关。 m ,只有当k1, k2 km全为0时, 则称向量组 m线性无关。 3、向量组的线形

4、相关性 定义2:向量组的线性组合：设1, 2 ,m是一组n维量,k1,k2 km是 向量组 线性相关还是无关”也就是向量方程 k1 1 k2 2 m=0 一组数，则 k1 1k2 2km m 为 1, 2 m的线性组合。 n维向量组的线性组合也是 n维向量。 有0解）也就是以 m为系数矩阵 定义3：线形表出：如果 n维向量 能表示成 的一个线性组 的齐次线性方程组有无非零解（仅有0解）. a1 X *12 X2 a1 m Xm 0 821X1 a22X2 a2mXm 0 an1 X1 an2X2 an mXm 0 有没有非零解（仅 4 定理1：向量组1, 2, m （ m 2）线性相关（无关）

5、的充要条件是 向量组中至少有一个 （任意一个）向量可由（均不能由）其余m-1个向量线性表出。 定理2：如果向量组1, 2, m线性无关，而向量组1, 2, m, 线性相关，则可由1, 2, m线性表示，且表示法唯一。 的极大无关组等价。（3）任一个含有非 0向量的向量组总存在极大无关组（4）当 一个向量组的所有向量都是0向量时，这个向量组没有极大无关组。 定义2：向量组1, 2, m的极大无关组所含向量的个数，称为向量组 的秩。 定理 1 : 一个向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相等 定理 2：向量组的秩与该向量组所构成的矩阵的秩相等。 矩阵A的行向量组的秩称为行秩，列向量组的秩称为列

6、秩，一个矩阵A的行 向量组的秩和列向量组的秩相等，称此数为矩阵A的秩，记作r（A）。 片非齐次銭性方程组（西，畋严，乞）；=0有解 I* I U 秩 rtOi=尸（蜀 冲2 r* trR tft. 衣0有非零烧 若向量组组成的矩阵是方阵， 则方阵的行列式为 0. 其中至少存在一个向量可由其余S-1个向量线性表示 k1 1 k2 2km m，K （i 1,2, m）不全为 0. 4、向量组的极大无关组和向量组的秩 定义1：设向量组的部分向量组1, 2, r满足条件：（1） 1, 2, r 线性无关（2）在向量组中任取一个向量，则向量组 ，1, 2, r线性相 关，则称 1, 2, r是向量组的一

7、个极大线性无关组，简称极大无关组。 由定义1可知：（1） 一个线性无关向量组的极大无关组就是它本身。 （2）向量组中任意一个向量都可由极大无关组线性表示，从而一个向量组与它 定理3:任意m个n维向量组1, 2, m线性无关的充要条件是这个向 量组的秩等于它所含向量的个数。即r（ 1, 2 ,m）= m，或者称他们构成矩阵 A 的秩 r(A)= m。 定理4：任意m个n维向量组1, 2, m线性相关的充要条件是这个向 量组的秩小于它所含向量的个数。即r（ 1, 2 ,m） m ,或者称他们构成矩阵 A 的秩 r(A)n时，必有行列式 C 当nm时，必有行列式 解: AmnBnm ABm m r

8、AB ,2 3,3 1 所以A B 2 m矩阵, 则 AB 0 B 当mn时， 必有行列式 AB =0 AB 0 D 当nm时, 必有行列式 |AB =0 min r A, r B 当n m , r A n, AB =0 2 5.设A为n阶矩阵，则行列式| A =0的必要条件是B 2 2 32 r1 (A)A的两行元素对应成比例(B)A中必有一行(列)为其余各行 (列)线性组 (C) A中有一列元素全为 0 ( D)A中任一列均为其余各列的线性组合 二、向量的线性相关性 1.设 1(2, 1,0,5),2 (4, 2,3,0), 3 (1,0,1,k), 4 (1,0,2,1),则 3维列向量

9、，记矩阵 2, 3)， 时, 3.已知A是3阶矩阵, 2、 a11 a12 n a21 a22 a1n a2n am1 am? amn 9 3)，如果|A 1 B IA 1 1 3是3维线性无关的列向量, A 2 =2 +3 , A 3 =3 +1,(1)求行列式 I A 1，那么 2. 解：考察行列式 2 4 1 1 1 2 0 0 0 3 1 2 5 0 k 1 8 3k 20 10 1,2,3,4线性相关。 2.a,b,c满足什么条件时向量组 2 8 1 8 1 1 1 0 0 0 3 1 0 3 1 2 10 k J 5 10 k 1 16k 3 = 13k +5 =0。 k 3 1

10、=(a,0,c),2 =(b,c,0), 3(0,a,b)线性无关 13 6 a b 0 解： 0 e a e 0 b c a a be be be (ki k2 i) 1 k2 2 2 0,由于1, 2线性无关，于是有 当20时，显然有ki 0, k20,此时i, A( i kik2 i 0, k2 20. 2)线性无关；反过来, 24 (C) i +22, 2 2 + 3 3, 3 3 + i (D) 5设ai, a2, L , a,均为n维列向量， (A) 若ai, a2丄，a,线性相关，则 (B) 若印，玄2丄,a,线性相关，则 (C) 若ai,a2,L , a,线性无关，则 (D)

11、若ai, a2丄，a,线性无关，则 6设i, 2是矩阵A的两个不同的特征值, A( i2)线性无关的充分必要条件是： (A) i 0.(B)20. (C) i+2 +3 2 i-3 2 + 22 A是m n矩阵，下列选项正确的是 若 i, A( i 2)线性无关，则必然有2 0(,否贝 J, i 与 A( i2) = i i 线 性相关), 故应选 (B). 方法二： 由于 i ,A( i2) i, i i 2 ii 2i,20i, 02 可见i, A( i 2)线性无关的充要条件是 ii 02 20. 得(kia 丘3)i (k?b ki) 2 伙3。k?) 3 0 aki k3 0 因为i

12、, 2 3线性无关 ，得方程组ki bk2 0 k2 ek3 0 a 0i 当行列式 i b 0 0时，ki, k2k3有非零解. 所以abe i时, 0i e a i 2, )2 3, e 3 i线性相关. 解：假设 ki(a i 2) k2(b 23) k3(e 3 i)0 或者：a i 2, b 2 3, e 3 i a 0 i 3设向量组i, 2, 3线性无关，则下列向量组线性相关的是C (A) i +2,2 +3,3 + i(B) i, i +2, i+2 +3 (C) i 2, 2 3, 3 i(D) i + 2, 2 2 + 3, 3 3 + i 4设i, 2, 3线性无关，则下

13、列向量组线性无关的是：C (A) i + 2, 2 + 3, 3 - i (B) i + 2,2 + 3,i +2 2 + 3 3 i + 5 2 -5 3 A Aai, Aa2,L , Aa,线性相关. Aai, Aa2,L , Aa,线性无关. Aai, Aa2,L , Aa,线性相关. Aai, Aa2,L , Aa,线性无关. ral,a1- .as )0,r(B)0.可见r(A)n, r(B) s 1(2)1 ,2 11.设向量组(I):1 (an，a21，a31)T, 2( a12 ,a22 a32 ) , 3(a13 a23 a33)； (II)：1 佝 1 a21 a31 a4

14、1 ) 2( a12 a22 a32 a42 )T,3(a1 3 a23 a33 a43) (A) (I)相关 (II)相关(B) (I)无关 (II)无关 (C) (II)无关 (I)无关(D) (I)无关 (II)无关 推论4：在一个向量组中，如果有一个部分向量组线性相关，则整个向量组 也必定线性相关。 解：因为，1, 2线性相关,所以,1, 2, 3线性相关.又因为,2, 3线性无关, 所以1可用，2, 3线性表示 (C)是答案 3.设向量组1, 2, 3线性相关，向量组2, 3, 4线性无关，问 (1 ) 1能否由2, 3线性表出？证明你的结论；(2) 1能否由2, 3, 4线性表出？

15、证 明你的结论；(3)4能否由1, 2, 3线性表出？证明你的结论 解：(1 )1不一定能由2, 3线性表出.反例：1(1,1)T ,2(1,0)T , 3(2,0)T .向量组1, 2, 3线性相关，但1不能由2, 3线性表出； (2)因为1, 2, 3线性相关，所以1, 2, 3 4线性相关，又因为 2,3,4线性 无关，r 2,3,4r1,2,3,4 3, 所以1能由2, 3, 4线性表出。 (3) 4不能由1, 2, 3线性表出.，因为1, 2, 3线性相关， r 1 ? 2 ? 33 , r1 2 3 43 , r 1 2 3 4r 1?2 ?3 k11 1 4设有二维向量11 ,2

16、 k , 31 , k问k取何值时 1 1 2 k2 (1)可由 1 , 2, 3线性表示,且表达式唯一一 5 (2)可由 1,2, 3 线性表示，但 表达式不唯一 ；(3)不能由1, 2, 3线性表示 k 11 解：1 k 1 2k2 2k 2k(k 1) 1 1 2 (1) k 0且k1时，1, 2, 3线性无关 ,四个三维向量一定线性相关，所以可由 1, 2, 3线性表示 ,由克莱姆法则知表达式唯一。 (2 )当 k = 1 时 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为 2.所以所以 可 1 1 2 1 0 0 1 0 由1, 2,3线性

17、表示，但表示不惟 。 (3 )当 k 0时 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 2 0 1 1 2 0 0 1 1 0 0 0 0 1 系数矩阵的秩等于 2,增广矩阵的秩为3, 所以所以不能由1, 2, 3线性表示 5设1 =(1+ 入 1, 1), 2=(1 , 1+ 人 1), 3=(1, 1, 1+ 入) =(0,入,2)入 入为何值时, 可用1,2,3线性表示，并且表示方式唯一一? 入为何值时， 可用1 2, 3线性表示，并且表示方式不唯一 ? 入为何值时， 不可1 ,2, 3用线性表示

18、？ 解：r 1, 2 ,3 r 1, 2 , 3 , 3 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 3 0 0 3 2 1 1 1 0 0 所以当 0且 -3时， 可用 1, 2, 3线性表示， 并且表示方式唯一。 1 1 1 0 1 1 1 0 当0时 1 1 1 0 0 0 0 0 ， r 1, 2,3 r1 ,2 ,3 ,1 1 1 1 0 0 0 0 0 可用1, 2, 3线性表示，并且表示方式不唯一。 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 0 当 3时 1 213 0 32 32 3 0 3 2 3 23 1 12 9 0 32 33 9 0 0 0 6 当 3时， 不能用1 ,

19、2, 3 线性表示。 6. 1 1,0,1,1, 2 2, 1,0,1 ? 3 1,2,2,0 1 0.1,0,1 , 2 1,1,1,1 问C1,C2满足什么条件时 C1 1 C2 2可以用 1: ,2, 3 线性表示 1 2 1 C2 1 : 2 1 C2 1 2 1 C2 0 1 2 C1 C2 0 1 2 C1 C2 0 1 2 C1 C2 1 0 2 C2 0 2 3 0 0 0 1 2G C2 1 1 0 C1 C2 0 1 1 G 0 0 1 C2 1 2 1 C2 0 1 2 C1 C2 2C ；1 C2 0 , 0 0 1 2 0 C2 0 0 0 2C1 C2 r 1, 2

20、 ,3 r 1, 2 ,3 , C11C22 3 (2)s可用 1 2, ,s 1 线性表示。 7.11,2,0,12 1,1, 1,03 0,1, a,11 1,0,1,020,1,0,2 证明：(1)若 s可以用 1 2, ,s 1线性表示，设 问和 取什么值时 1 2可用1, 2, 3 线性表示，与出表示式。 s 11 1 12 2 ls 1 s 1 1 1 0 1 1 1 0 1 由已知可得： k1 1 k?a2ksas 2 1 1 k 0 1 1k 2 0 1 a 1 0 0a 13 k 1 0 1 2k 0 0 0k 1 k1 1 k2 a2 ks I11I22l s 1 s 1

21、解：当a 1时，r 1 , 2 ,33： ,k 10 k1 k1 ksl11 k2 k s1 22ks 1ksls 1s 1 r 1, 2 ,3 r 1, 2 ,3,1 k 2 3 , 可以惟一线性表示。 不可用1 2 ,s 1线性表示，同已知相矛盾，所以s不可用 当a 1时，K取任何值都无解。 12 ,，s 1线性表示; 8设 1=(1,2,-3), 2=(3,0,1) ,3=(9,6,-7), i (0,1,-1),2=(a,2,1),3=(b , 1, (2) 由已知可得: kt 1k?a2 ksas 0)。已知r( 1, 2,3)=r(123),并且 3可用1, 2,3线性表示，求a,

22、b. ks 0, 若 ks 可以用 2,s 1线性表示。 13 解：20 9 b 1 3 9 b 1 2b 6 b 5 6 1 0 6 12 1 2b 3b 10 3 1 7 0 0 10 20 3b 又因为r( 1, 2, 3)=r( 1 2 3 )=2 0 a 5 0 a 5 a 5 3 1 2 1 0 3 1 ， a 15 1 1 0 1 1 0 9已知可用 1 2 / 5 s线性表示，但不可 1 2, , s 1 用线性表示。证明 (1)s 不可用 1 2, ,s 1线性表示； ks k1 k?a2 ks k1 ks k2 ks ks 1 ks 1 ks 所以 s可用 1 2, 线性表

23、示。 10.已知a1,a2,a3,a4是线性方程组 1 a1ta2 ,2a2ta3 ,3 什么关系时, 4也是Ax Ax 0的一个基础解系，若 a3ta4 ,4a4 ta1，讨论实数t满足 0的一个基础解系。 解: 11. 试问 解: t1 t2 0 _1 0 0 f 100 f r 1 0 0 1 0 0 0 r 1 0 0 f 10 _0 0 1_ 0 01 即当21时，向组A偲屁*煜线性无关1 1 t1 a1t2a2， 2 ti,t2满足什么关系时, t1a2 t2a3s t1as 2 s也是Ax 2，3 t1 t2 0 t?ai，其中匕出为实常数, 0的一个基础解系。 0 t1 t2

24、0 0 t1 t2 0 0 t2 t1 的非零解向晟试判斷向吊级阿4汀碍/的线性相关性 解：设有一组数 Z 辽厂泛；，是线性方程组的非零解向量，故有 offi = 0（i = L2./）,于是，由有严闵 + + t1 t2， 当S为奇数时，t1s t； 0 广w町是科绯雲向il： H.莎.6. 线性无） 即 k- = k、 kr -k = 0. Mlf 冈此向城殂隔* Of” e, /?线性无关， 四、两个向量组的相互线性表示 定义：设有两个n维向量组（）1, 2, m和（）1 , 2t 若向量组（）中每个向量都可由向量组（）线性表示，则称向量组（ ）可 由向量组（）线性表示，若向量组（）与（

25、）可以互相线性表示，则称向量 组（）与（）等价。 向量组的等价关系具有下列性质：（1）自反性（2）对称性（3）传递性，即如 果向量组 1, 2t可以用1, 2, m线性表示，而 1, 2, m可以 用1, 2t线性表示，则 1, 2t可以用1, 2t线性表示。 向量组的相互线性表示AX B是否有解；（矩阵方程） A= （ 1 , 2, m）， B=（ 1 , 2 t） 知“=0上-瓦y是线性方程乩 定理1:矩阵方程Ax B有解的充要条件是R（A） R（A,B） 定理2：向量组（）1, 2t能由向量组（）1, 2, m线性 表示的充要条件是矩阵 A （a1, a2, am）的秩等于矩阵 C (a

26、1 , a2 am, 1, 2t)的秩， g,a2,a. m)=r(a1,a2am ,1 ,2 t) 推论1: 向量组( )1 ,2, m 和()1 , 2 t等价的充要条 件是 r(a1 ,a2 ,am)= =r( 1, 2t) = r(a1,a2 a m , 1 , 2t ) 推论2: 向量组1, 2t可由向量组 1, 2 ,i m线性表示，且 r( 1, 2 t)= r(a1 ,a2,am),则两向量组等价。 推论3: 向量组的任意两个极大无关组等价，且这两个组所含向量的个数相等 推论4： 若两个线性无关的向量组等价，则它们包含的向量个数相等 推论5： 任一向量组和它的极大无关组等价.

27、推论6： 等价的向量组有相冋的秩，但秩相冋的向量组不 -定等价。 定理3： 设向量组( )1 , 2, m的秩为S,向量组( ) 1 , 2 的秩为r,若向量组( )可由向量组()线性表示，则 r s 证明：如果1 , 2 t可以用1,2, m 线性表示 r(a1,a2 ,am) = r(a1,a2am ,1 , 2 t)=S r (1 , 2 t)r (a1 , a2am, 1, 2 t). 即r s。 推论1 :设有两个 n维向量组()1,2, s 和( ) 1 , 2 若向量组( )线性无关，且可由向量组()线性表示, 则 r s。 推论2 :若向量组 1 , 2r可由向量组 1 , 2

28、 7 S线性表示，且 r s，则向量 1, 2r组线性相关。即如果多数向量能由少数向量线性表 出，多数向量一定线性相关。 例题：设向量组I: a1,02, - -,ar可由向量组II : 3,包,线性表示，贝U (A)当 rs时，向量组II必线性相关 (C)当 rs时，向量组1必线性相关 以上重要知识点可简写为： 向量组A能由向量组B线性表示AX B有解; r(A) r(A,B) 向量组A能由向量组B线性表示，则r(A) r(B)； 向量组A (个数为r )能由向量组B (个数为s )线性表示，且A线性无 关，贝U r s ； A能由向量组B等价 r(A) r(B) r(A,B) 1.已知向量

29、组 i (1, 2, 1, 3) 2 (2, 5, a 8), 3 (1, 0,及向量组 i (1, a a2 5, 7 2 (3, 3a, 3, 1丁1)3 (0, 1, 6.若 1 可由 1, 2, 3线 性表示，判断这两个向量组是否等价？并说明理由。 解：以向量 1, 2, 3 ,1,2, 3为列构成矩阵A，对A作初等行变换，得 A 1 , 2, 31 , 2 ,3 1 2 1 1 3 0 1 2 1 I 1 3 0 2 5 0 a 3 a 1 0 1 2 a 2 a 3 1 1 a 3 a2 5 3 6 0 a 2 2 a24 6 6 3 8 1 7 11 2 0 2 4 4 2 2

30、1 2 1 13 0 0 1 2 a 2a 3 1 0 0 2a 2 2 012 a a 4 a 0 0 0 8 2a8 2a 0 可由 1, 2, 3线性表出， 8 2a 0 即 a 4。 当a 4 时， 继续对 A初等行变换, 得 1 2 1 ! 1 3 0 1 05 3 1 2 1 0 0 1 3 1 2 0 A 1 2 2 - 1 1 0 1 2 2 1 1 0 1 0 2 1 1 0 0 10 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 1 2 2 , 2 1 2 3 2 1 2 当a 1

31、时，r 1 ,2 ,3 3 ,r1 ,2 ,3 , 1,2 ,33 , r1 ,2,32 , 满足已知条件。 1 2 2 1 1 1 0 3 3 0 0 0 0 0 3 0 6 0 3.给定向量组（ ) 1=(1,0,2), 2=(1,1,3), 3=(1,-1,a+2)和(n )1=(1,2, a+3), 即向量组 1 ,2,3可由1 - 2 -3线性表出，但1, 2, 3不能由 1 ,2,3线性表出。这是因为秩（1，2，3）3,1 ,2，3线性无关， 而秩（1,2,3）2, 1 ,2,3线性相关，因此这两个向量组1, 2, 3与 1 , 2 , 3不可能等价。1 , 2, 3不能由1 ,

32、2 , 3线性表出。 2求常数a使得向量组1=（1,1,a）,2=（1,a,1）,3=（a,1,1）可由向量 不等价？1, 2, 3 1 ,2 ,3 1 1 112 2 0 1 12 11 0 0 a 1 a 1 a 1 a 1 当a1时，r 1 , 2 , 32, r 1, 2, 3,1,2, 3 3, r 1, 2, 3 3 2=( 2,1 ,a+6),3=(2,1,a+4) 当a为何值时(I )和(H )等价? a为何值时(I )和(n ) 1 =(1,1,a),2 =(-2,a,4),3 =(-2,a,a)线性表示，但是12 3 不可用 1,2,3线性表示 1 2 2 11a 解：0

33、a 2 a 2 0a 11 a 0 0a 2 4 031 aa 1 当a 4时，r 1 ,2,32, r 1,2,3,1,2,3 3, 不满足已知条件。 当a2时，r 1 ,2,32 , r1 ,2,3,1 ,2,3 3, 不满足已知条件。 （I）可以用（n熾性表示，（n）不能用（I熾性表示。 a 1 时，r 1,2 ,33 , r 1 ,2 ,3 ,1,2,33 , （I ）和（n ）可以相互 线性表示，因此（I ）和（n）等价。 4.已知n维向量1 ,2,3线性无关，若1, 2, 3可用1,2,3线性表出，设 （!, 2, 3）= （1,2,3 ） C，证明1,2,3线性无关的充分必要条件

34、是|C0 解：因为B1 3 A3C33，若已知1, 2, 3线性无关，r AC 3 r Ac min r A ,r C r C , 3 r c 3 , r c 3，所以 |C 0。 若C 0, rc 3, r AC 3，所以1,2,3线性无关。 5.已知n维向量组 s线性无关, 则n维向量组 也线性无 (A) 12,s 可用 12 s线性表示 (B)1 2 , s可用12,s线性表示 s等价 $)和(12，s)等价 D矩阵等价可以用初等变换相互交换，而且秩相同。 总结向量组等价和矩阵等价知识点: (C) 1 2,s与 1 2, (D) 矩阵( 1 2 55 解: 1 2,s可用 1 2, r

35、( 1 2, s)= r ( 1 已知 12,s 线性无关， r ( 1 2 :,s) r ( 1 2 是充分条件，不是必要条件。 B r (1 2,s) =r ( 1 2 r (1 2 ,s) r (1 非充分， 非必要条件。 C r (1 2,s) =r ( 1 2 是充分条件，不是必要条件。 2, s12 55 s), r ( 1 2,s ) s s 1 2, s) r ( 1 2 , s)=s ,s 1 2, s) s 2, s12, 5 s) ,s 1 2, s)： =r ( 1 2 , s) s线性表示，可以推出， 1 0 1 0 2 0 1 0 2 解：A = 0 0 0 0 0

36、 0 0 0 0 0 1 0 2 1 0 1 0 2 0 0 0 0 2 0 2 0 4 0 2 0 4 或者： r r a , r 2.已知向量 1 (1,2,3,4),2 (2,3,4,5), 3 (3,4,5,6), 4 (4,5,6,t), 且 秩(1,2,3, 4) = 2,则 t = 1 2 3 4 1 2 3 4 12 3 4 解：A = ( 1, 2, 3,4)23 4 5 0 1 2 3 0 1 2 3 3 4 5 6 0 2 4 6 0 0 0 0 4 5 6 t 0 3 6 t 16 0 0 0 t 7 关的充分必要条件为 向量组等价| 1, 2, , n和1, 2, ,

37、 n可以相互线性表示记作: 1，2, n %1,2 , n 矩阵等价| A经过有限次初等变换化为B.记作：A%B 矩阵A与B等价 r(A) r(B)，且同型。 两个m n矩阵A与B等价 存在m阶满秩矩阵P及n阶满秩矩阵Q, 使得A PBQ 矩阵A与B作为向量组等价 r( 1, 2, , n ) r( 1, 2, , n)r(a1, a2an , 1, 2n ) r(A) r(B) A, B作为向量组等价，即：秩相等的向量组不一定等价 如果两个向量组等价且向量组个数与维数都相等矩阵等价 五、求向量的秩与极大线性无关组 1.已知 (1,0, 1,2)T,(0,1,0,2),矩阵 A =,则秩(A)

38、 =. 所以当t = 7时,r (A) = 2. 3设 i=(1+a,1,1),2=(1,1+b,1),3=(1,1,1-b)，问 a=_,b=_ r( 1, 2, 3)=2 解：因为 r( 1, 2, 3)=2, A 0 , A b2 a 10 1 a 11 111 , b 0且 a0时，r A 2，同理a 1, b取任何数时秩为2. 1 11 4已 r( 1, 2, 3)=r( 1, 2, 3, 4)=3,r( :1, 2, 3, 4 5)=4，求 r ( 1, 2,3,4- 5) 解： 因为 r( 1,2,3)=r( 1,2, 3, 4)=3，所以 4可以用1, 2 , 3线性表示, r

39、( 1 2, 3, 4 5)=4， r( 1, 2, 3, 5)=4 r (1, 2, 3,4-5)= r ( 1, 2, 3,- -5)=4 5. 1 (1, 1,2,4), 2(0,3,1,2), 3 (3,0,7,14), 4(1, 2,2,0),5 (2,1,5,10). 求它们的一个极大无关组，共有几个 所以1,2,3是极大线性无关组 由 4k11k2 2 k3 3得方程组 k1 4k2 k32 Q A 9k2 k3 3 解得 k1k3-, 9 k2 2 2k3 3 3 1 3 所以 4 1 2 3 2 2 2 7设4维向量组a11 a,1,1,1 T， a2 2.2a.2.2 T，

40、 a33,3,3 a,3T a44,4,4,4 a T，问 a为何值时 1, 2,3,a4线性相关, 当 1 ,2,3, a4线性 相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出 1 + fl 2 3 4 1 24灯 2 3 3 -F 47 斗 =+ 10) 1 斗 1 2 3 4 + rt ，当a0或a 10时 1 0 3 1 2 5题答案： 0 3 3 13因为r A 3，所以极大无关组一定包含 3个向量, 0 0 0 1 30 0 0 0 0 0 且必包含 4， C： 6个。 = *当a 10时 -9 2 3 4、 1 2 3 I -E 3 4 0 -10 0 1

41、 2 T 4 0 0 -10 L 1 2 3 6, 0 20 30 -6 仃 2 3 fl 0 0 -r 10 T 0 1 0 -1 0 1 0 -1 10 0 0 1 -1 0 0 1 -1 -50. 0 0 0 0 0 0 0 F是码“码是做冬血新冬的一个极大线性无关组, - a-, - ct3. 1 (1,2,1,； 3), 2 (4, 1, 5, 6), 3 (1, 3, 4, 7), 4 (2,1 ,2,3). 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 解：21 3 1 0 9 1 3 0 9 1 3 0 9 1 3 15 4 2 0 9 3 0 0 0 2 3

42、 0 0 2 3 36 7 3 0 18 4 3 0 0 2 3 0 0 0 0 6求下列向量组的一个极大线性无关组，并把其余用极大线性无关组线性表示 8.设1 , 2 , 3, 4,为4维非零列向量, A = (1,2, 3, 4)，已知方程组Ax = 的通解是(1,1,0,2)T k(1, 1,2,0)T，其中k为任意实数(1)问能否由1, 2, 3 线性表示？(2)求向量组1, 2, 3, 4,的一个极大无关组。 为(1 = 0眄碍是旳gd*的一牛拥大线性无关组，此时，a2 = 2a,磅二紘 解：因为齐次方程组Ax0的基础解系为1, 1,2,0 T，所以A的秩为3. 设 可以由1, 2,

43、 3线性表示，即存在k1, k2, k3，使得： k1 1 k2 2 k3 3，即(k1, k2, k3,0)T是方程组Ax 的解，又因为 1,1,0,2t也是方程组Ax 的解，所以两解之差k1 1,k2 1, k3, 2也是 对于任意实数K，可得|k | =J(k , k )=Jk2( , ) = k | ,由此可得，当 0时，有 1 =1 即 pjll II 为一单位向量，通常以 乘以 为向量的单位化或标准化。 定义2：如果向量 与 的内积为0, 即卩，=0，则称 与 正交。 方程组Ax 0 的解，但 k1 1,k21,k3, 2 与 1, 1,2,0 T是线性无关的，出 现矛盾，所以 不能由1,2, 3线性表示。 (2)因为Ax 有解，所以r( 1, 2