章末检测(一)学习

1、教育资源 章末检测（一） 、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1.设m, n是两条不同的直线，a $ y是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若 ml a，n/ a,贝U m n；若 all $ y m/ a 贝U m/ y 若 m/ a, n/ a 则m/ n；若a丄y肚y贝U all $ 其中正确命题的序号是（） A. B.和 C.和D.和 解析正确；若all $ $/ y m/ a则m/ 丫或m 丫,错；若m/ a, n/ a 错；垂直于同 则m/ n ,而同平行于同一个平面的两条直线有三种位置关系, 一个平面的两个平面也可以相交， 错. 答案 A 教育资源 2.在如右

2、图所示的三棱锥 A BCD中，Va bpq= 2, Vcapq= 6, Vc-DPQ = 12,则 Va-BCD 等于( ) A.20 B.24 C.28 D.56 1 Va bpq 2 1Vpbdq 由=得= Vcapq 6 3Vpcdq 3 解析 1 所以 Vp-bdq = Vp-cdq = 4,所以 Va bcd =2 + 6+ 12 + 4 = 24. 答案 B M, ) 3.如图，aA $= l, A、B a, C $ 且 c?l，直线 AB A l = 过A , B, c三点的平面记作y则丫与$的交线必通过（ B.点B D.点C和点M A. 点A C.点c但不过点M 解析 t AB

3、 y M AB,二 M y 又 aA $= l, M l,二 M $ 根据公理3可知，点M在丫与B的交线上. 同理可知，点C也在丫与B的交线上. 答案 D 4.平面a截球0的球面所得圆的半径为 1球心0到平面a的距离为 ，则此球 的体积为（） A. 6 nB.4 3 n C.4 6 nD.6 3 n 解析如图，设截面圆的圆心为0； M为截面圆上任一点， 则 00=迈，0； = 1， 0M ;（ 2+ 1= 3， 即球的半径为，3，二V= 3冗（3=4 3 n. 答案 B 5.如图所示，将等腰直角 ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二 面角，此时/ BAC = 60那么这个二面角大小是（） A.

4、90 C.45 B.60 D.30 解析 连接BC,贝U ABC为等边三角形，设AD= a， 则 B D = DC = a， B C = AC= - 2a， 所以/ B DC = 90. 答案 A 6.如图，平面a丄平面B,点Aa,点B p, AB与两平面a, B所 成的角分别为45。和30。.过点A，B分别作两平面交线的垂线，垂足 为 A，B ，若 AB= 12,J则 A B =（ ） A.4 B.6 C.8 D.9 A 解析如图所示，连接AB, AB, 由题意得 BB丄 a, AA丄 B, / BAB= 45 / ABA = 30 BB 丄A B : AA丄A B , AA 丄 A B.因

5、为 AB= 12,所以 BA 丄 AB cos/ ABA 丄6 .3, BB 丄ABsin/BAB 丄6.2,故 A B = :BA 2-BB 2= 6. 答案 B 7已知矩形ABCD, AB = 1, BC=, 2,将厶ABD沿矩形的对角线BD所在的直线 进行翻折，在翻折过程中（） A. 存在某个位置，使得直线 AC与直线BD垂直 B. 存在某个位置，使得直线 AB与直线CD垂直 C. 存在某个位置，使得直线 AD与直线BC垂直 D. 对任意位置，三对直线“ AC与BD”，“ AB与CD”，“ AD与BC”均不垂直 解析 A错误，理由如下：过 A作AE丄BD，垂足为E,连接CE. 若直线AC

6、与直线BD垂直，则可得BD丄平面ACE,于是BD丄CE,而由矩形 ABCD边长的关系可知BD与CE并不垂直.所以直线AC与直线BD不垂直；B正 确，理由如下：翻折到点A在平面BCD内的射影恰好在直线BC上时，平面ABC丄 平面BCD，此时由CD丄BC可证CD丄平面ABC，于是有AB丄CD; C错误，理 由如下：若直线 AD与直线BC垂直，则由BC丄CD可知BC丄平面ACD，于是 BC丄AC,但是ABvBC,在厶ABC中/ ACB不可能是直角，故直线AD与直线BC 不垂直； 由以上分析可得D错误. 答案 B 8. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（） A.3 2B.2 3 C

7、2 2D.2 解析 由三视图知可把四棱锥放在一个正方体内部，四棱锥 为 D BCCiBi，最长棱为 DBi= ； DC2+ BC2 + BB2 ：4+ 4+ 4= 23.故选 B. 答案 B 9. 在长方体ABCD AiBiCiDi中，AAi = 2, AB= 1, AD = 4,则从A出发，沿长方 体的表面到Ci的最短距离是（） A.5B.7 C. 29D. 37 解析 两点之间，线段最短，在长方体展开图中，由A到Ci的路线有三条，如 下图, 三条路线长分别为 li= ,；i2+(2 + 4) 2= 37, l2=：42+( i + 2) 2 = 5, 13= 22+( i+ 4) 2= 2

8、9, 所以最短距离为5. 答案 A iO.已知某几何体的三视图如图所示，贝U该几何体的体积为（） B. 3 n iOn C D.6 n 解析 将三视图还原为直观图求体积.由三视图可知，此几何体（如 图所示）是底面半径为i,高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆 i32 柱的4,所以V= 4X冗2 3.当且仅当AP= 0,即点A与点P重合时 取最小值.故选C. 答案 C 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 在 ABC 中，/ BAC = 90 PABC 所在平面外一点，且 PA= PB= PC, 且平面PBC与平面ABC的位置关系是. 解析 如右图所示，取BC的中点0,连

9、接AO，PO. - PB= PC，P0丄 BC., 又厶ABC是以A为直角顶点的直角三角形， 0A= 0B,又 PA= PB， POAA POB， / POA= Z POB= 90 即 PO丄OA，而 OAA BC = O， PO丄平面ABC，而 PO 平面PBC， 平面PBC丄平面ABC. 答案垂直 14. 已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120 底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为.一厂； 解析 因为扇形弧长为2n，设母线长为I，则有3|0-；X 2n二2n， l匸一丿 =3，所以圆锥母线长为3，高为3212= 2 2，所求体积V=x nX 12X2 2 = 2 ,2n 3

10、15. 已知四棱锥P- ABCD的底面ABCD是矩形，PA丄底面ABCD，点E、F分别 是棱PC、PD的中点，贝U 棱AB与PD所在直线垂直； 平面PBC与平面ABCD垂直； 、PCD的面积大于 PAB的面积； 直线AE与直线BF是异面直线. 以上结论正确的是写出所有正确结论的编号）. 解析 由条件可得AB丄平面PAD, AB丄PD，故正确； 若平面PBC丄平面ABCD，由PB丄BC, 得PB丄平面ABCD,从而PA/ PB,这显然不成立，故 错; 1 1 Spcd = qCD PD, Sapab= qAB PA, 由AB= CD, PDPA知正确； 由E、F分别是棱PC、PD的中点, 可得

11、EF / CD, 又 AB / CD, EF / AB, 故 AE与BF共面，故错. 答案 16. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 解析 由三视图可得该三棱锥的直观图如图所示，其中PA= 1, BC = 2,取 BC 的中点 M，连接 AM , MP，则 AM = 2, AM 丄BC, 故AC= AB= ” BM2 + AM2=” 1 + 4= .5,由主视图和左视图可 知 PA丄平面 ABC，因此可得 PC= PB= PA2 + AB2= 1 + 5= 6, PM = SAABC+ Sa PAB + Sa FAC+ Sa PBC ,FA2+ AM2= 1 + 4= 5,所以三

12、棱锥的表面积为 2X2 +,5X 1+*X ,5X 1+*X2X 5= 2+ 2,5. 答案 2+25 三、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17. （10分）由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图 所示四边形ABCD为正方形，0为AC与BD的交点，E为AD的中点，AiE丄平 面 ABCD. (1) 证明：AiO /平面 BiCDi; (2) 设M是OD的中点，证明：平面 AiEM丄平面BiCDi. 证明 取BiDi的中点Oi,连接COi, AiOi， 由于ABCD-Ai BiCi Di是四棱柱， 所以 AiOi / OC，AiOi = OC， 因此

13、四边形AiOCOi为平行四边形， 所以 AiO / OiC， 又 OiC 平面 BiCDi, AiO 平面 BiCDi， 所以AiO /平面BiCDi. 因为AC丄BD，E，M分别为AD和OD的中点， 所以EM丄BD， 又AiE丄平面ABCD，BD 平面ABCD， 所以AiE丄BD， 因为 BiDi / BD，所以 EM 丄 BiDi，AiE 丄 BiDi， 又 AiE，EM 平面 AiEM，AiE A EM = E， 所以BiDi丄平面AiEM， 又 BiDi 平面 BiCDi， 所以平面AiEM丄平面BiCDi. i8.(i2分)一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M、N分别是AF、B

14、C的中 点) (i)求证：MN /平面 CDEF; 求多面体A-CDEF的体积. 解 由题图知该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，其中AB= BC= BF= 2, DE = CF = 2 2, / CBF= 90 证明 取BF的中点G,连接MG、NG. 由M、N分别为AF、BC的中点， 可得 NG/ CF , MG / AB, 又 AB/ EF, / MG / EF, v MG n NG= G, EF n CF =F,二平面 MNG /平面 CDEF, MN 平面 MNG , / MN /平面 CDEF. AB 取DE的中点H,连接AH. 因为AD = AE,所以AH丄DE. 在直三棱柱AD

15、E BCF中， 平面ADE丄平面CDEF, 平面ADEn平面CDEF = DE, 所以AH丄平面CDEF, 所以多面体A CDEF是以AH为高，矩形CDEF为底面的棱锥. AH =寸2, S矩形 cdef= DE EF= 4/2, 1 8 所以棱锥A CDEF的体积V= 3S矩形cdef H = 3. 19. （12分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点. 设Q为FA的中点，G为AAOC的重心，求证：QG /平面PBC. 证明 连接OG并延长交AC于点M，连接QM , QO, OC,由 G AOC的重心，得M为AC中点. 由Q为FA中点，得QM / FC, 又O为A

16、B中点，得OM / BC. 因为 QM n MO = M , QM 平面 QMO, MO 平面 QMO, BCn PC = C, BC 平 面 PBC, PC 平面 PBC, 所以平面QMO /平面PBC. 因为QG 平面QMO,所以QG/平面PBC. 20. （12分）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE丄平面ABCD. 证明：平面 AEC丄平面BED; 若/ABC= 120 AE丄EC,三棱锥E-ACD的体积为普，求该三棱锥的侧面 积. （1）证明 因为四边形ABCD为菱形，所以AC丄BD. 因为BE丄平面ABCD,AC 平面ABCD，所以AC丄BE.又BEG BD =

17、B,所以AC丄 平面BED.又AC 平面AEC，所以平面 AEC丄平面BED. .3 GB 解 设AB= x,在菱形ABCD中，由/ ABC= 120可得AG= GC=x, 因为AE丄EC,所以在RtAAEC中，可得EG = -x. 由BE丄平面ABCD，知 EBG为直角三角形，由勾股定理可得 BEx. 1 1V6 3 V6 由已知得，三棱锥 E- ACD的体积Ve-acd = 3X2ACX GD X BE =可, 从而可得AE = EC = ED =号6 所以 EAC的面积为3, EAD的面积与 ECD的面积均为5. 21.（12分）如图，在四棱锥 P-ABCD中, 故三棱锥E- ACD的侧

18、面积为3+ 2 5. AB/ CD, AB = 2, CD = 3, M 为 PC 上 求证：BM /平面FAD; n (2)若 AD = 2, FD = 3,Z BAD = 3,求三棱锥 P ADM 的体 积. 解 如图，过 M作MN / CD交PD于点N，连接AN. PM = 2MC ,二 MN = |cd. 2口 又 AB= 3CD, 且 AB/ CD, AB綊MN，二四边形ABMN为平行四边形， BM / AN. 又BM平面PAD, AN 平面PAD, BM / 平面 PAD. 如图，过B作AD的垂线，垂足为E. PD 丄平面 ABCD , BE 平面 ABCD, PD 丄 BE. 又AD 平面PAD, PD 平面 AB PAD, AD A PD = D. BE丄平面PAD. 由知，BM /平面PAD , 点M到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离，即BE. 连接 BD，在 ABD 中，AB = AD = 2, / BAD = n，- BE= 3, 则三棱锥 P ADM 的体积 Vpadm = Vm pad = fx SapadX BE = fx 3X .3= 3.