直线知识点总结习题

1、一、直线与方程 (1) 直线的倾斜角 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线 与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0 WaV80 (2) 直线的斜率 定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线 的斜率常用k表示。即k tan 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当 0 ,90 时，k 0; 当 90 ,180 时，k 0; 当 90 时，k 不 存在。 过两点的直线的斜率公式：k上一 (x1 x2) x2 x1 注意下面四点：(1)当X1 X2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角 为 90; (2)

2、 k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的 坐标直接求得； (4) 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3) 直线方程 点斜式：申y k(x X1)直线斜率k，且过点人川 注意：当直线的斜率为0时，k=0,直线的方程是y=y1。 当直线的斜率为90。时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表 示.但因I上每一点的横坐标都等于X1,所以它的方程是X=X1。 斜截式：y kX b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b 两点式：一也X_Xk( xX2, y1y2)直线两点X1,y1，x2,y2 y2 y1 X2 儿 截矩式：x y 1 a b 其中直

3、线I与x轴交于点(a,0)，与y轴交于点(0,b)，即I与x轴、y轴的截距分别 为 a,b。 一般式：Ax By C 0 (A，B不全为0) 注意：13各式的适用范围Q特殊的方程如： 平行于x轴的直线：y b (b为常数); 平行于y轴的直线：x a (a为 常数); (5) 直线系方程：即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平行于已知直线A0X By C0 0 ( A。, Bo是不全为0的常数)的直线系： AoX Boy C 0 （C 为常数） （二）过定点的直线系 （i ）斜率为k的直线系：y y k x Xo，直线过定点Xo, yo ； （ii）过两条直线Ax Biy Ci 0,

4、/AzX B?y C2 0的交点的直线 系方程为 Aix Biy GA2X B?y C2 0（为参数），其中直线I?不在直线系中。 （6）两直线平行与垂直 当 Ii : y kix bi， I2 : y k?x b?时， Ii /1?k k?, b b? ； 11 12kk2i 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （7）两条直线的交点 Ii : Aix Bi y Ci 0 l2：A?x B?y C20 相交 交点坐标即方程组人乂 Biy G 0的一组解。 A?x B2y C20 方程组无解Ii /I?；方程组有无数解Ii与I?重合 （8）两点间距离公式：设A（xi,y

5、i），（X2,y是平面直角坐标系中的两个点， 则I AB| .（X2 xj2 （y? yj2 （9）点到直线距离公式：一点Px,y到直线Ii : Ax By C 0的距离 |AX0 By。C| Ja2 B2 （10）两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。 第三章测试 一、选择题 1给出以下命题：任意一条直线有唯一的倾斜角；一条直线的倾斜角 可以为一30倾斜角为0勺直线只有一条，即x轴；按照直线的倾斜角的概念，直线 集合与集合 ao 180建立了一一对应的关系正确的命题的个数是() A 1B 2 C. 3D 4 2. 过点A(4, y), B(2, - 3)的

6、直线的倾斜角为135 ,贝U y等于() A . 1B . - 1 C5D-5 3. 已知点P(x,- 4)在点A(0,8)和B( 4,0)的连线上，贝U x的值为() A2B-2 C- 6D-8 4. 如果点(5,a)在两条平行直线 6x 8y+ 1 = 0和3x 4y + 5 = 0之间，则整数a的值为() A. 5B. 4 C. 5D. 4 5. 过点(5,2)且在x轴上的截距是在 y轴上的截距的2倍的直线方程是() A . 2x+ y 12= 0 B. 2x+ y 12= 0 或 2x 5y= 0 Cx 2y 1 = 0 D x 2y 9= 0 或 2x 5y= 0 6直线 2xyk=

7、 0 与 4x 2y1= 0 的位置关系是 () A 平行B 不平行 C. 平行或重合D .既不平行又不重合 7.已知直线y= ax 2和y= (a + 2)x+ 1垂直，则a等于() A2 B1 C0 D 1 A. |ak| B . a ;1 + k2 a Cx/l + k2 9.如下图，在同一直角坐标系中表示直线y= ax与y= x+ a,正确的是() 10. 一条线段的长是 1，贝U B的纵坐 5, 标是() C.- 3 或 5 二、填空题 11. 已知A(a,3), B(3,3a+ 3)两点间的距离是 5,贝U a的值为. 12. 两条平行直线分别过点A(6,2)和B( 3,- 1),

8、各自绕A, B旋转.若这两条平行线距离 取最大时，两直线方程是 . 13. 已知直线11与直线|2： X- 3y+ 6= 0平行，与两坐标轴围成的三角形面积为8,则直线 11的方程为. 14. 设点P在直线x+ 3y= 0上，且P到原点的距离与 P到直线x+ 3y- 2= 0的距离相等， 则点P坐标是. 三、解答题 15 . (10分)已知点A(1,4), B(4,0)，在x轴上的点M与B的距离等于点 A, B之间的距离, 求点M的坐标. 16. (12分)直线I在两坐标轴上的截距相等，且点P(4,3)到直线l的距离为3 2,求直线I 的方程. 17. (12 分)当 m 为何值时，直线(2m

9、2 + m 3)x+ (m2- m)y= 4m 1. n (i)倾斜角为4； 在x轴上的截距为1. 18. (12分)求经过直线11： 3x+ 4y+ 5 = 0与12 : 2x 3y 8 = 0的交点M,且满足下列条件的 直线方程. (1) 经过原点； (2) 与直线2x + y+ 5= 0平行； 与直线2x + y+ 5= 0垂直. 19. (12分)已知两条直线11： ax by+ 4 = 0, 12： (a 1)x+ y+ b= 0求分别满足下列条件的a 和b的值. (1)求直线11过点(3, 1)，并且直线11与直线12垂直； 直线11与I 2平行，并且坐标原点到I 1、I 2的距离

10、相等. A D C B DC D D C C 11 解析：“ ；3 a 2+ 3a+ 3- 3 2= 5, 8 8 即（3 a）2+ 9a2= 25,解得 a= 1 或5答案：1 或5 12解析：根据题意，当这两条直线平行旋转到与直线AB垂直时，距离取得最大值. 1 T kAB= 3，二两直线分别为 y 2 = 3(x 6)和 y+ 1 = 3(x+ 3)，即 3x+ y 20= 0 和 3x+ y+ 10= 0. 答案：3x+ y 20= 0,3x+ y+ 10= 0 13解析: x 3y+ m = 0.与两坐标轴的交点 m、, (0, ),( m,0）.由题意可得： m X=8. m= 4

11、：J 3或 m= 4.3. / 11与12平行，故可设11的方程为 答案：x 3yl 3= 0 14解析：点P在直线x+ 3y= 0上，可设P的坐标为（3a, a）. 依题意可得”.3a 2 + a2= | 3a + 3a 2| 化简得：10a2 =盒， a =. 故P的坐标为 5 5 32 = H，解 一 6 1+ k1 2 故所求直线的方程为 y= (- 6 当直线不经过坐标原点时，设所求直线为-+ -= 1，即x + y a= 0由题意可得 a a |4+ 3 a| 3 一2解a= 1或a= 13.故所求直线的方程为 x+ y 1 = 0 或 x+ y 13= 0综上可知, 所求直线的方

12、程为 y= 6x或x+ y 1= 0或x+ y 13= 0. n 17解：（1 ）倾斜角为4，则斜率为1. 2m2 + m 3 2 m2 m =1, 解得m= 1或m = 1. 当m= 1时，m (a 1)a+ ( b) x 1 = 0 即 a2 a b = 0 m= 0,不符合题意. 当m= 1时，直线方程为 2x 2y 5= 0符合题意，二m= 1. 4m 1 当 y= 0 时，x =2= 1, 2m2 + m 3 1 1 解得m= 2或m= 2.当m=或m = 2时都符合题意， 1 m= 2或 m= 2. 3x+ 4y+ 5= 0 18解：由得交点M的坐标为（1， 2）. 2x 3y 8

13、= 0 （1）直线过原点，可得直线方程为2x+ y= 0. （2）直线与2x + y+ 5= 0平行，可设为 2x+ y+ m = 0,代入 M（1， 2），得m= 0， 直线方程为2x+ y= 0. 直线与2x + y+ 5= 0垂直， 1 斜率为k = ，又过点M（1， 2）， 又点(3, 1)在 li 上二3a+ b + 4 = 0 由解得a= 2, b= 2. Til/ 12,且12的斜率为1 a, a li的斜率也存在，即0. .a , a b= 1 a. b= (a 工 1), b1 a 故11、12的方程分别可以表示为 |1: 4 a 1 (a 1)x+ y+ a = ， |2： a (a 1)x+ y+ 0. 1 a 原点到11和|2的距离相等. 4| a 1 a =， a=3， b= 2. 2 解得a= 2或a= 3, a= 2, 因此 b=