根子空间分解

1、根子空间分解定义 设V为C上n维线性空间，A为V的一个线性变换，为A的一个特征值，-为V 的一个非零向量。如果存在正整数k，使（A-E）k =0，则称 为线性变换A的一个属于特征值的根向量，称子空间 W = V kN（A-E）k =0】为A的属于特征值的根子空间。定义 设A是线性空间V上的一个线性变换，如果 A的方幕等于零变换,则称A是幕零的。1、设A是n维线性空间V上的一个线性变换，证明：根子空间 W .是A-子空间，且W = （ E）n F（0）。证：A与A - ； n可交换，所以 W 是 A-子空间。W . =（A - E）n F（0）是显然的；而 J； = W ，若-0，显然，（A -

2、 E）n卜（0），若 =0，令k是使（A E）= 0得最小正整数，考虑 $“（A - E）Ck/A- E）k =0，将（A -唸厂作用（1）式两边，有c0（A -也弋=0，进而Co = 0，再将（A_M作用（1）式两边，有“（A -f= 0，进而q = 0，继续下去，可得Co = &= Ckj =0。(1)因而A - ） ，（A -，E）k线性无关, 知k岂n，从而 . （A- E）nF（0）, 于是 W 二（A - E）n 卩（0）。证毕综上 W , =（A 一 E）n F（0）。2、设A是n维线性空间V上的一个线性变换，1,七,，s是A的互不相同 的特征值，证明：V =WW. W s，且d

3、imW.ji的代数重数。证：n =1时，取V的基，设A ，知V =W ，结论成立。假设对dimV n结论成立。考虑dim V二n时，设-1为A的一个特征值，有 dimV = dim（A - 九價】（0）+dim（A - 九梓）nV。令V?二A - i ； nV，显然V2是A -子空间。则 dimV = dim W . dimV2。进而 dimV =dim W+V2 HdimCWV2）,AA因为w, v2 二知 dimV = dim W 】V2 ，得 V二 V2。（ 1）因为 dimV2 n，所以根据归纳假设知 V2三三W,，（2）2Zs这里？-2,，是A|V的互不相同的特征值。V 2显然2,，

4、s是A的互不相同的特征值，且 1，2乞i乞s。将（2）代入（1）有V =WW）。扎f2民设 dimW i = ki ,取W，i 基i1 , ： i2,，: iki ,则：八仁厂八比，：7,s2,，：sks是V的基。令Ai是A在基:-计，5,，： ik下的矩阵,A2是A在a 11,012,CCiki，0si,as2,咋1下的矩阵。As所以丸E A =(九一人)j(丸一九s)ks。因为ki = i的代数重数,证毕于是dimW i的代数重数。3、设a是n维线性空间V上的幂零线性变换,证明：存在V的一个基，使得A在这个基下的矩阵是对角线上元素皆为零 的上三角方阵。证：因为 a(0)m A2 (0)二

5、二 iAk，(0)工 Ak，(0)=V，先取Aj(0)的基，再扩张成A2 4(0)的基，继续下去，最后得到所需的 V的基，使得A在这个基下的矩阵是对角线上的元素皆为零的上三角方阵。证毕4、设1,2,Js是n维线性空间V的线性变换A的互不相同的特征值,证明：存在V的一个基，使得A在这个基下的矩阵是上三角方阵。i证：根据第2题V =W -WW 。Kf2/s.根据第1题存在W 的一个基:i1,:根据第3题i2,八ikj，使得 A - i ； iW在此基下的矩阵是对角线上元素皆为零的上三角方阵,进而A在此基下的矩阵是主对角元为 i的上三角矩阵。0合并W 的基，构成V的一个基，A在V的这个基下的矩阵是 门证毕5、设矩阵310 1B =-4-104-8-2求可逆矩阵T，使TBT是上三角方阵。-6 1解:-12是B属于1的特征向量,I 40544是B属于1的根向量,o O 1_-3a是B属于-2的特征向量。定义C 3的线性变换 A为Ax二Bx，有 A：力；3 =；2, ；3 B，；1一们0，A0。JJ而 A：、，（见注）A2 =B2 =（B E）2 川爲 2，A 3 =B： 3 - -2 3。1 1故）=（%,口2,3 ）0 10 000=（。1