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1、万差计算公式的证明(1)用新数据法求平均数当所给的数据都在某一常数 a的上下波动时,一般选用简化公式: x=|+a.其中,常 数a通常取接近这组数据平均数的较整”的数, 聊=七,xj = 2-a,,tr=F-a 五和诃+丘+| “)是新数据的平均数(通常把 訂,以 ,胡,叫做原数据, 化|叱,,”叫做新数据)。证明;把。左边的数据相加,把O 1右边的数据相加,得到一个等式:I 1 II1I1斛+乜 + * I xri-a2-a+ +“-a(2)i+=hj+. + na亦即卜=+a方差的基本公式即壬=匕:i+亦+ : J寸+n + 2 n+ -PC方差的基本公式由方差的概念而来。方差的概念是:在
2、一组数据各数据与他们的平均数菽的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差。通常用“S2表示,即:=|工+:雹 y 和(3)方差的简化计算公式卜* . +同+ , )-n自也可写成+応+处)-卫此公式的记忆方法是:方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。 证明:+/ ?=(和 _ )* + % _ E),I * (%_ 和=E 41 + + )-2=帖 + 込 + + n )-2 n=(* +处+ )-2n卩*麻可= 冷M +kl +订)-n卫= 誤屈+卅+4)-卫.(i)根据O,有k】*”+a,七=x+a,知召h+a,和=+a(详见(1)的证明)代入简化公式(I ),则有:S2 =打辛4込+I
3、 X ) -卫=石(甜卜日)+ (耳丨日) + +(“*曰)2-(不+ a)?=石(粘斗/+k/)+2a(封+討+石)+n”-(护+药a+J)=昭彳+J+- +/+2aW利;冲护-国a-F=r(乂+巧+=/)+ 2 a+2 - k 2 - 2Ey a2*12了=(却+时+亦)-护 .(II)此公式的记忆方法是:方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。由方差的基本公式,经恒等变形后,产生了简化公式( I);由简化公式(I )进行 等量代替产生了简化公式(II).因此,基本公式和简化公式(I ) (II )所计算 出的方差/都相同。基本公式和简化公式 (I )按原数据和,巾,阶计算方差; 简化公式(II )按新数据乂 ,乂 F计算方差,计算出的方差相同。(4)用新数据法计算方差原数据*”,対,,吟的方差与新数据 紀=a, w=?-a,,对齐-a的方差相 等。也就是说,根据方差的基本公式,求得的 町,Q,,略的方差就等于原数 据久1,对,,瞥的方差U证明:把。式里的每一个式子的两边,减去O 2式的两边(左边-左边,右边-右边)有:x =(a)-(冃-a)= |诃-匸X】-m =(ks|-a)-( x-a)= x;-k讣怙=(Qa)-( x-a)n-x再把以上每一个新生成等式左右两边平方,即有左2=右n,即有:= +就等于原数据最后把这些式子的左边加左边,右边加右边,其和分别除
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