方差计算公式的证明_第1页
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文档简介

1、万差计算公式的证明（1）用新数据法求平均数当所给的数据都在某一常数 a的上下波动时，一般选用简化公式： x=|+a.其中，常 数a通常取接近这组数据平均数的较整”的数， 聊=七，xj = 2-a,，tr=F-a 五和诃+丘+| “）是新数据的平均数（通常把 訂，以 ，胡,叫做原数据， 化|叱，,”叫做新数据）。证明；把。左边的数据相加，把O 1右边的数据相加，得到一个等式：I 1 II1I1斛+乜 + * I xri-a2-a+ +“-a(2)i+=hj+. + na亦即卜=+a方差的基本公式即壬=匕:i+亦+ ： J寸+n + 2 n+ -PC方差的基本公式由方差的概念而来。方差的概念是：在

2、一组数据各数据与他们的平均数菽的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“S2表示，即：=|工+：雹 y 和（3）方差的简化计算公式卜* . +同+ , ）-n自也可写成+応+处）-卫此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。 证明：+/ ?=（和 _ ）* + % _ E），I * （%_ 和=E 41 + + )-2=帖 + 込 + + n )-2 n=(* +处+ )-2n卩*麻可= 冷M +kl +订）-n卫= 誤屈+卅+4）-卫.（i）根据O，有k】*”+a,七=x+a,知召h+a,和=+a（详见（1）的证明）代入简化公式（I ）,则有：S2 =打辛4込+I

3、 X ） -卫=石（甜卜日）+ （耳丨日） + +（“*曰）2-（不+ a）?=石（粘斗/+k/）+2a（封+討+石）+n”-（护+药a+J）=昭彳+J+- +/+2aW利;冲护-国a-F=r（乂+巧+=/）+ 2 a+2 - k 2 - 2Ey a2*12了=（却+时+亦）-护 .（II）此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。由方差的基本公式，经恒等变形后，产生了简化公式（ I）；由简化公式（I ）进行 等量代替产生了简化公式（II）.因此，基本公式和简化公式（I ） （II ）所计算 出的方差/都相同。基本公式和简化公式 （I ）按原数据和，巾，阶计算方差； 简化公式（II ）按新数据乂 ，乂 F计算方差，计算出的方差相同。（4）用新数据法计算方差原数据*”，対，,吟的方差与新数据 紀=a, w=?-a,，对齐-a的方差相 等。也就是说，根据方差的基本公式，求得的 町，Q,，略的方差就等于原数 据久1,对,，瞥的方差U证明：把。式里的每一个式子的两边，减去O 2式的两边（左边-左边，右边-右边）有：x =（a）-（冃-a）= |诃-匸X】-m =（ks|-a）-（ x-a）= x；-k讣怙=(Qa)-( x-a)n-x再把以上每一个新生成等式左右两边平方，即有左2=右n,即有：= +就等于原数据最后把这些式子的左边加左边，右边加右边，其和分别除

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