拉普拉斯方程数值解

1、二维有限差分析是求解两个变量的拉普拉斯方程的一种近似方法，这种方法的要点如下：在平面场中，将平面划分成若干正方形格子，每个格子的边长都等于h,图13-10表示其中的一部分，设 0点的电位为 V，0点周围方格顶点的电位分别为V2、V3和V4。现在来推导一个用 V V、V 和V4表示Vo的公式：0ITVaad图 13-10其中但是所以同理已知平面场的电位满足两个变量的拉普拉斯方程:C2V 沢 c2 =oy.x2；：2V- 2x=xV1 -VoahV1 -Vo；:VISxo.:V.x:Vah；：2V-2.xo；：2V-2-yVo -V3cVo -V3V2 -Vo -VoV4st h2V1 -Vo -

2、VoV3h2o将上面两个方程相加一起得：fi2V +x_:y1由上面方程推出： Vo一 （V1 V2 V3 V4）4该式说明o点的电位近似等于相互垂直的方向上和 离h愈小则结果愈精确，方程（然而，Vo 和 VV2、V3、一点的电位方程，然后求这些方程的联立解。求解时较简便的方法是选代法，这种方法可求出平面场中各点电位的近似值。图13-11表示一个截面为正方形的导体槽，槽的顶面与侧面相互绝缘，顶面的电位为：2VV1 V2V3 V4 - 4Vooh2(13.47)0点等距离的四个点上的电位平均值，距13.47）是用近似法求解两个变量拉普拉斯方程的依据。V4都是未知值，这种情况下需要按照方程（13.

3、47）写出每Vo,侧面与底面的电位都等于零。为了求出槽中各点的电位，将槽分成十六个相同的方格， 这些方格在槽中共有九个顶点。用Vi、V2,，V9表示各顶点的电位。求解步骤如下:图 13-11第一步，假设某点的电位为某值，称为某点的原始电位， 原始电位等于多少并不影响最后的结果。如果原始电位选择得当，则计算步骤会得到简化。第二步，根据原始电位，利用式（13.47）求出每点周围四个点电位的平均值，电位平均值一般不等于电位的原始值，将平均值代替原始值就得到每点电位的第一次选代值。然后根据第一次选代值求出每点周围四个点电位的平均值，如果平均值不等于第一次选代值，就将平均值代替第一次选代值，得到每点电位

4、的第二次选代值。第三步，利用式（13.47）对每点电位进行选代，一直到每点的电位与它的周围四个点 的电位平均值相差在允许范围内为止。【例13.1】在图13-12中，设V=100，试用选代法求方格顶点上的电位。1=100图 13-12解：设九个顶点的电位分别用 V V2、V9来表示。 第一步：设每点的原始电位都等于零。1第二步：根据原始电位利用公式，V-（V1 V2 V3 V4）,求出各点的周围电位的4.1平均值为：y =V2二V3（100 0 0 025。其余各点周围电位的平均值都等于零。4然后将所得的平均值代替原始值，得到第一次选代值。第三步，根据第一次选代值，求出各点周围电位的平均值为：1

5、V (10025 0 0) =31.341V2(100 25 0 25) = 37.54V3 =31.31V4 =V5 =V6(25 0 0 0) = 6.34V7 = V8 = V9 = 0然后将所得的平均值代替第一次选代值，得到第二次选代值。第四步：根据第二次选代值, 求出各点周围电位的平均值为：1V (100 37.5 6.3 0) =3641V2(100 31.3 31.3 6.3) = 42.24V3 =361V4(31.3 6.3 0 0) 7441V5(37.5 6.3 0 6.3) =12.554V6 二 9.41V7 =V8 =V9(6.3 0 0 0) =1.64表 13-

6、1步骤V1V2V3V4V5V6V7V8V910000000002252525000 10r 00331.337.531.36.36.36.300043642.236 n9.412.59.41.61.61.6537.946.137.912.515.712.5 I2.8r 3.92.8639.747.939.715.118.815.14.15.34.1740.849.640.8 H15.720.915.75.1P 6.85.1841.350.641.316.72216.75.6r 7.85.6941.851.241.817.22317.26.18.36.11042.151.742.1 H17.72

7、3.517.7 :6.4P 8.86.41142.451.942.41824186.69.16.61242.552.242.518.224.318.26.89.36.81342.752.342.6 118.424.518.46.9P 9.56.91442.752.442.718.524.718.579.671542.852.542.718.624.818.679.771642.852.642.8 n18.624.918.67.1P 9.77.11742.852.642.818.724.918.77.19.87.11842.852.642.818.72518.77.19.87.142.852.6

8、42.818.72518.77.19.87.1然后将所得的平均值代替第二次选代值，得到第三次选代值。按照同样方法对每一点进行选代，结果如表13-1，可以看出，步骤18以后，各点的电位收敛于某固定值。利用有限差分法求解电位方程时，需要进行大量的计算， 本题解仅求九个点的电位，计 算工作量已可观、如果求电位的点数目很大，则必须用电子计算机进行计算。【例13.2】如图13-13所示表示四个不同形状的电极围成一个不规则槽，各电极的电位如图所示。 槽的截面共分成14个相同的方格，试用选代法求出每个方格顶点的电位。厂叭V-0图 13-13解：第一步，设每点的原始电位都等于零。第二步，根据原始电位，求出各点

9、的周围电位的平均值。1V (202000) =1041V2(0 20 0 0) = 541V3(0 20 0 0) = 541V4(20 0 0 0H 54V5 二V =0然后将所得的平均值代替原始值，得到第一次选代值。第三步，根据第一次选代值，求出各点周围电位的平均值为：11V1(20 20 5 5)50 =12.54411V2(10 20 5 0)35 =8.754411V3(52000)25 = 5.254411V4(20 1000)30 = 7.254411V5(5 5 0 0)10 =2.5441V6(05 0 0) =1.254然后将所得的平均值代替第一次选代值，得到第二次选代值。第四步，根据第二次选代值，求出各点周围电位的平均值为：11V (20 208.757.25)56 二 144411V2(20 12.5 5.25 2.5)40.25 = 104411V3(8.75 20 0 1.25)30 =