电工学第6讲相量法

1、第讲 相量法 2. 正弦量的相量表示 3. 电路定理的相量形式； 重点： 1. 正弦量的表示、相位差； 正弦电流电路 激励和响应均为正弦量的电路称为正弦电路 或交流电路。 .1 正弦量的基本概念 1. 正弦量 瞬时值表达式： i(t)=Imcos(w t+y) 波形： t i O / / T 周期T (period)和频率f (frequency) : 频率f ：每秒重复变化的次数。 周期T ：重复变化一次所需的时间。 单位：Hz，赫(兹) 单位：s，秒 T f 1 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im (2) 角频率(angular frequency)w 2. 正弦量的三要

2、素 t i O / / T (3) 初相位(initial phase angle) y Im 2 t T f 2 2 单位： rad/s ，弧度 / 秒 反映正弦量变化幅度的大小。 相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。 反映正弦量的计时起点。 i(t)=Imcos(w t+y) 同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 t i O 一般规定：| | 。 =0 = =/2 例 已知正弦电流波形如图，103rad/s，（1）写出i(t)表 达式； （2）求最大值发生的时间t1 t i 0 100 50 t1 解 )10cos(100)( 3 tti cos100500 t 3 由于最大值发生在

3、计时起点之后 3 ) 3 10cos(100)( 3 tti 有最大值有最大值当当 310 1 3 t mst047. 1 10 3 3 1 3. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)。 设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i) 则 相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i j 0， u超前ij 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)； j 0， i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。 t u, i u i u i j j O 等于初相位之差 规定：

4、| | (180)。 j 0， 同相： j = (180o ) ，反相： 特殊相位关系： t u, i u i 0 t u, i u i 0 = p/2： u 领先 i p/2, 不说 u 落后 i 3p/2； i 落后 u p/2, 不说 i 领先 u 3p/2。 t u, i u i 0 同样可比较两个电压或两个电流的相位差。 例计算下列两正弦量的相位差。 )15 100sin(10)( )30 100cos(10)( )2( 0 2 0 1 tti tti )2 100cos(10)( )43 100cos(10)( )1( 2 1 tti tti )45 200cos(10)( )30

5、 100cos(10)( )3( 0 2 0 1 ttu ttu )30 100cos(3)( )30 100cos(5)( )4( 0 2 0 1 tti tti 解 045)2(43 j j 43452 j j 000 135)105(30 j j 000 120)150(30 j j )105100cos(10)( 0 2 tti 不能比较相位差不能比较相位差 21 )150100cos(3)( 0 2 tti 两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比 较。 4. 周期性电流、电压的有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小工程上采用有效 值来

6、表示。 周期电流、电压有效值(effective value)定义 R 直流直流IR 交流交流i ttiRW T d)( 2 0 TRIW 2 电流有效电流有效 值定义为值定义为 有效值也称均方根值(root- meen-square) 物 理 意 义 同样，可定义电压有效值： 正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imcos( t+ ) ttI T I T d ) (cos 1 0 22 m Ttt t tt T TT 2 1 2 1 d 2 ) (2cos1 d ) (cos 0 00 2 m m2 m 707. 0 22 1 I IT I T I ) cos(2) cos()( m tI

7、tIti II2 m 同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系： UUUU2 2 1 mm 或或 若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V； U=380V， Um537V。 （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电 网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备 的耐压水平时应按最大值考虑。 （2）测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 （3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。 I,I, i m 注 复数A的表示形式 ) 1(j为为虚虚数数单单位位 A b Re Im a0 A=a+jb A b Re Im a0

8、 |A| jbajAeAA j )sin(cos| .2 正弦量的相量表示 1. 复数及运算 jbaA |AeAA j j eAA| 两种表示法的关系： A=a+jb A=|A|ej =|A| 直角坐标表示直角坐标表示 极坐标表示极坐标表示 a b baA arctg | 22 或 A b |A|a sin| cos 复数运算 则 A1A2=(a1a2)+j(b1b2) (1)加减运算采用代数形式 若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1 A2 Re Im 0 A b Re Im a0 |A| 图解法 (2) 乘除运算采用极坐标形式 若若 A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2 2

9、1 2 1 )j( 2 1 2j 2 j 1 22 11 2 1 | | e | | e| e| | | 21 1 A A A A A A A A A A 除法：模相除，角相减。 例1. 乘法：模相乘，角相加。 则: 2121 )( 212121 2121 AA eAAeAeAAA jjj ?2510475 )226. 4063. 9()657. 341. 3(2510475jj 569. 047.12j 61. 248.12 解 例2. ? 5 j20 j6)(4 j9)(17 35 220 (3) 旋转因子： 复数 ejq =cosq +jsinq =1q A ejq 相当于A逆时针旋转一

10、个角度q ，而模不变。故把 ejq 称为旋转 因子。 解 2 .126j2 .180 原原式式 04.1462.20 3 .56211. 79 .2724.19 16.70728. 62 .126j2 .180 329. 6j238. 22 .126j2 .180 365 .2255 .132j5 .182 A Re Im 0 A ej jje j 2 sin 2 cos , 2 2 jje j ) 2 sin() 2 cos(, 2 2 1)sin()cos(, je j 故 +j, j, -1 都可以看成旋转因子。 几种不同值时的旋转因子 Re Im 0 I I j I j I i1 I1

11、I2I3 i1+i2 i3i2 1 2 3 角频率： 有效值： 初相位： 两个正弦量的相加 因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和 有效值(或最大值)就行了。因此， 2. 正弦量的相量表示 t u, i i1 i2 0 i3 正弦量正弦量复数复数 ) cos(2 111 tIi ) cos(2 222 tIi 实际是变换的 思想 正弦量的相量表示 造一个复函数 )j( e2)( t ItA 对A(t)取实部： ) cos(2)(RetItA 对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数 ) j( 2)( ) (c2 t IetAtosIi A(t)包含了三要素：I、

12、 、w ，复常数包含了I , 。 A(t)还可以写成 tt eIItA j j 2ee2)( j 复常数复常数 ) sin(2j) cos(2tItI 无物理意义 是一个正弦量 有物 理意义 ) cos(2)(IItIti ) cos(2)(UUtUtu 称称 为正弦量为正弦量 i(t) 对应的相量。对应的相量。 II 相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系： 已知 例1 试用相量表示i, u . )V6014t311.1cos(3 A)30314cos(4 .141 o o u ti 解 V60220 A30100 o o U I 在复

13、平面上用向量表示相量的图 IItosIti ) (c2)( UUtosUtu ) (c2)( 例2 试写出电流的瞬时值表达式。 解 A)15314cos(250 ti . 50Hz A,1550 fI 已已知知 相量图 U I 3. 相量法的应用 (1) 同频率正弦量的加减 故同频正弦量相加减运算变成对应相量 的相加减运算。 i1 i2 = i3 321 III )2(R) cos(2)( )2(R) cos(2)( j 2 222 j 1 111 t t eUetUtu eUetUtu )(2(R)22(R )2(R)2(R)()( )( j 21 j 2 j 1 j 2 j 1 21 tt

14、t tt eUUeeUeUe eUeeUetututu U 21 UUU 可得其相量关系为： 例 V )60314cos(24)( V )30314cos(26)( o 2 1 ttu ttu 也可借助相量图计算 V604 V 306 o 2 o 1 U U V )9 .41314cos(264. 9)()()( o 21 ttututu 604306 21 UUU Re Im 30 1 U 9 .41 U Re Im 9 .41 30 1 U 60 2 U U 46. 32319. 5jj 46. 619. 7j V 9 .4164. 9 o 60 2 U 首尾相接 2 . 正弦量的微分，积

15、分运算 ) cos(2 ii IItIi 2Re 2Re tj tj ejI eI dt d dt di tj tj e j I teIti 2Re d 2Red 微分运算: 积分运算: 2 i IIj dt di 2 i I j I idt 例 ) cos(2)( i tIti 1 )( idt Cdt di LRitu R i(t) u(t)L + - - C 用相量运算： Cj I ILjIRU 相量法的优点： （1）把时域问题变为复数问题； （2）把微积分方程的运算变为复数方程运算； （3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路； 注 正弦量正弦量相量相量 时域时域 频域频域 相量法

16、只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。 相量法用来分析正弦稳态电路。 N 线性线性 N 线性线性 1 2 非非 线性线性 不适用不适用 正弦波形图正弦波形图 相量图相量图 .3 电路定理的相量形式 1. 电阻元件VCR的相量形式 时域形式： 相量形式： iR i RIU II 相量模型 )cos(2)( i tIti 已已知知 )cos(2)()( iR tRItRitu 则则 uR(t) i(t) R + - - 有效值关系 相位关系 R + - - RU I UR u 相量关系： IRU R UR=RI u= i 瞬时功率： iup RR 波形图及相量图： i t O uR pRR U

17、 I u= i URI 瞬时功率以2交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功率 ) (cos22 i 2 tIU R ) (2cos1 i tIU R 同 相 位 时域形式： i(t) uL(t) L + - - 相量形式： ) cos(2)( i tIti 已已知知 ) 2 cos( 2 ) sin(2 d )(d )( i iL tIL tIL t ti Ltu 则则 相量模型 j L + - - LU I 相量关系： IjXILjU LL 有效值关系：有效值关系： U= L I 相位关系：相位关系： u= i +90 2. 电感元件VCR的相量形式 2 iL i LIU II 感抗的物理意义

18、： (1) 表示限制电流的能力；(2) 感抗和频率成正比； XL 相量表达式: XL= L=2fL，称为感抗，单位为 (欧姆) BL=1/ L =1/2fL， 感纳，单位为 S 感抗和感纳: ,ILjIjXU L ; , , ; , 0 ),(0 开路开路 短路短路直流直流 L L X X U Lj U L jUjBI L 11 功率： ) (2sin ) sin()cos( m iL iimLLL tIU ttIUiup t i O uL pL 2 瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消 L U I i 波形图及相量图： 电压超前电流 900 时域形式： 相量形式： )cos(2)

19、( u tUtu 已知已知 ) 2 cos(2 ) sin(2 d )(d )( u uC tCU tCU t tu Cti 则则 相量模型 iC(t) u(t)C + - - U C I + - - Cj 1 有效值关系：有效值关系： IC= CU 相位关系：相位关系： i= u+90 相量关系： IjXI C jU C 1 3. 电容元件VCR的相量形式 2 u C u CUI UU XC=1/w C， 称为容抗，单位为 (欧姆) B C = w C， 称为容纳，单位为 S 频率和容抗成反比, 0， |XC| 直流开路(隔直) w ，|XC|0 高频短路(旁路作用) |XC| 容抗与容纳：

20、 相量表达式: UCjUjBI I C jIjXU C C 1 功率： )(2sin )sin()cos(2 uC uuC CC tUI ttUI uip t iC O u pC 2 瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消 U C I u 波形图及相量图： 电流超前电压 900 4. 基尔霍夫定律的相量形式 0)(ti 同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正 弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示： 上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL； 而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。 02Re)( 21 tj eIIt

21、i 0I 0)(tu 0U )5(Cj I U C C 例1 试判断下列表达式的正、误： Liju )1( 0 05 cos5 )2( ti m CUjI )3( m L L I U X L )4( L ILjU )6( L dt di Cu )7( U I m U m m I U I U Cj 1 L 例2 A1A2 A0 Z1Z2 U 已知电流表读数： A1 8A A2 6A C jXZRZ 21 , 1 ）（若若 A0? 为何参数为何参数）（ 21 , 2 ZRZ A0I0max=? 为何参数为何参数）（ 21 , 3 ZjXZ L A0I0min=? 为何参数为何参数）（ 21 , 4

22、 ZjXZ L 解 AI1068 1 22 0 ）（ 1 ,IU 2 I 0 I AIZ1468 2 max02 为电阻，为电阻，）（ AIjXZ C 268 , 3 min02 ）（ A0 A1A2? AIAIIjXZ C 16 ,8 , 4 2102 ）（ 例2 )(:),5cos(2120 tit u(t)求求已知已知 + _ 15 u 4H 0.02F i 解 0 0120 U 2054jjjX L 10 02. 05 1 jjjX C 相量模型相量模型 U j20 - -j10 1 I 2 I + _ 15 3 I I CL jX U jX U R U IIII 321 Ajjj jj