第三讲怎样分析两等量点电荷的连线上及中垂线上场强的变化规律

1、 料推荐怎样分析两等量点电荷的连线上及中垂线上场强的变化规律一、量等量异号点电荷的连线上及中垂线上场强的变化规律高中物理静电场部分，习题中往往要用到真空中两个等量异号点电荷的连线上场强E的变化规律和连线的中垂线上场强E 的变化规律。 来考查两个场强矢量叠加的问题。下面阐述就此问题总结的两个规律的内容及其分析方法和过程。如图 1 所示，真空中两个等量异号点电荷的电量分别为Q 、Q ，连线为线段，为中垂线，垂足为。1. 分析总结中垂线上 E 的变化规律。中垂线 MN上各点场强的方向，可由电场线法或两点电荷在MN上各点产生的场强EA 、EB 按量矢量合成的平行四边形定则进行合成，通过画图可得到 MN

2、上所有点合场强 E 的方向都与 OB平行且由指向，那么的大小有什么变化规律呢？很多资料上用电场线的疏密结合平行四边形定则，作出合场强的图形来定性的讨论总结的大小变化规律，得出以上结论。结论中垂线上点处的最大，沿射线OM、射线ON方向 E 都逐渐减小，至无穷远处E 变为零。证明：如图 1 所示，中垂线上任意一点，令 OC=y，AB=L，在 Rt AOC图和 Rt BOC 中，有AC BC( l )2y22Q 、Q 在 C 点处的场强大小分别为EA 和 EB ，且EAEBkqkq( AC)2L22y()2显然以 EA 、 EB 为邻边作的平行四边形是菱形，且对角线代表的此点的和场强EC /AB且

3、EC2EA cos。在 Rt AOC 中，有AOLcos( L ) 2AC2y22EC 2EA coskqL( L )23y2 22对上式进行讨论，因式中k、q、 L 是常量，所以有：1 料推荐（1）当 y=0 时， EC 有最大值，且Em8kq2 ，即中垂线上垂足 O处的场强最大；L分母 ( L )23（2）当 y 变大时，y 2 2逐渐变大，那么EC 的值因单调递减而逐渐变2小；（ 3） 当 y时，即中垂线上距离O点无穷远处的位置E 变为 0，几乎不存在电场。从上述分析可以证明结论1 变化规律的正确性。2分析总结AB 两点连线上场强的变化规律此规律的总结如果仍用电场线理论和两场强矢量的叠加

4、进行作图比较， 归纳不出结论。 但用类比的方法，把分子动理论中分子间相互作用的引力和斥力随距离变化的规律引用过图来，就可以轻松准确地突破思维难关。如图所示， 当分子间的距离ar0 时，分子间的引力和斥力相等，即 F引 =F斥 。当 ar0时，分子间的引力和斥力都要随着距离的增大而减小，但斥力比引力要减小得快，总体表现为分子间的引力。当ar0 时，分子间的引力和斥力都要随着分子间的距离的减小而增大，但斥力比引力增加得快，总体表现为分子间的斥力。现在进行类比：如图1 所示，在中点O处，有kqEAEB( L )22由点电荷的场强公式，即kqEr 2可知 E 与 r 2 成反比，那么从O 开始沿OA方

5、向每移动一个小微元段x ，就有Q 在 D点产生的场强EA 增大，Q 在 D点处产生的场强减小，但是EA 增加得快，而 EB 减小得慢，即 D 点移动同样的距离，随EA 增加量比 EB 的减小量大， D 点的合场强 EDEAEB 一定要变大，即可得出从O点开始沿OA方向， OA上各点的场强要逐渐变大。同理从O点开始沿OB 方向分析，每移动相同的距离段，EA 减小得慢， EB 增加得快，各点的合场强也是逐渐变大。由此可得到以下规律。结论 2 在等量异号的两个点电荷间的连线上，两端点处场强最大，中点处场强最小。不论由 A 到 B 方向上的点，还是由 B 到 A 方向上的点，它们场强大小的变化规律总是

6、先减小后增大。2 料推荐证明：如图1 所示，在线段AB上任取一点D，令 AD=x，则 BD=L-x，Q 在 D 点产生的场强为kqEAx2Q 在 D 点处产生的场强EBkq(Lx)2由于 EA 、 EB 方向相同，且在同一条直线上，在D 点处的合场强为EDEAEBkqkq112(L2kq2(L2 xx)xx)为了讨论 ED 随 x 的变化规律，现对函数ED 求导，得EDkq2x32( Lx)3 2kq11x)33 ( Lx下面对导函数进行讨论：（1）当 xL 时， ED0 ，则在 (0, L 上，原函数 ED 为22递减函数，就可以得出AO 方向，线段AO 上各点的场强具有随x的增大而减小的变

7、化规律；（ 2） 当 xL时， EDL, L) 上原函数 ED 为递20 ，则在 2增函数，就可以得出OB方向，线段 OB上各点的场强具有随x 的增大而增大的变化规图律；（ 3）当 xL0 ，则原函数 ED 有最小值，即ED8kq时， ED2 。2L这 3 种情况可通过图3 的 EDx 图像描述出来。由此证明了结论2 的正确性。3 料推荐二、两等量同号点电荷的连线上及中垂线上场强的变化规律1. 中垂线上电场强度的变化规律如图所示， A、 B是带电量均为Q 的固定点电荷，两者相距2L。试说明，在AB连线的垂直平分线上的电场强度的变化规律。如图 4 所示，设 AB=2L，CAB，E AE Bk Q

8、2k Q2 cos2图rL由平行四边形定则可得E2EA sin2k Q2 cos2sinL令 y= cos2 sin =（1 - sin 2 ）sin= sin- sin 3y cos- 3sin 2 coscos（1 - 3sin 2）= 0sin 213当 sin3时， E 有最大值4 3kQ39L2方法二： y2cos4sin 21 (2sin 2cos2cos2)2由于 2sin 2cos2cos22 为定值。所以当且仅当 2sin 2cos2cos2时 y2 取21，解得当 sin34 3kQ得最大值， tan2时， E 有最大值239L由以上推导可得出以下几点：（1）当0 时，即在

9、 O点，合场强 E =0；（2）当argsin3时， E 存在最大值，其最大值为43kQ；最大值时 C 到 O点的距39L2离为2 L 。24 料推荐（3）当90 时，合场强 E =0；（4）在 AB的垂直平分线上的电场强度是先增大，后减小，方向始终是垂直于AB 连线且背离 O点的方向。2. 在连线上的电场强度分布情况：如图所示，在在线段 AB上任取一点 D，令 AD=x，则 BD= L-x ，处点电荷在 D 点产生的场强为kqEAx2B 处点电荷在D点处产生的场强kqEBx)2(2 L由于 EA 、 EB 方向相同， 且在同一条直线上，取向右为正方向。 则在 D点处的合场强为ED EAEBkqkqkq11x2(2 L