6.1数列的概念及其表示

1、6.1数列的概念及其表示 高考文数高考文数 (新课标 专用) A A组组 统一命题统一命题课标卷题组课标卷题组 考点一由递推式求数列的通项考点一由递推式求数列的通项 1.(2014课标,16,5分,0.358)数列an满足an+1=,a8=2,则a1=. 1 1 n a 五年高考 答案答案 1 2 解析解析由an+1=,得an=1-, a8=2,a7=1-=,a6=1-=-1,a5=1-=2, an是以3为周期的数列,a1=a7=. 1 1 n a 1 1 n a 1 2 1 2 7 1 a 6 1 a 1 2 评析评析本题考查了数列的概念,递推数列,属于中档题目,根据已知条件,逐步计算即可求

2、出结 果,注意计算的准确性. 2.(2016课标全国,17,12分)已知各项都为正数的数列an满足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0. (1)求a2,a3; (2)求an的通项公式. 2 n a 解析解析(1)由题意得a2=,a3=. (2)由-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1). 因为an的各项都为正数,所以=. 故an是首项为1,公比为的等比数列,因此an=. 1 2 1 4 2 n a 1n n a a 1 2 1 2 1 1 2n 思路分析思路分析(1)根据数列的递推公式,由a1可求出a2,由a2可求出a3.(2)把递推公式

3、因式分解得出 an是等比数列,求出其通项公式. 解题关键解题关键把-(2an+1-1)an-2an+1=0化简为2an+1(an+1)=an(an+1)是关键. 2 n a 评析评析本题主要考查了数列的递推公式及等比数列的定义,属基础题. 考点二数列的通项及前考点二数列的通项及前n n项和项和 3.(2017课标全国,17,12分)设数列an满足a1+3a2+(2n-1)an=2n. (1)求an的通项公式; (2)求数列的前n项和. 21 n a n 解析解析(1)因为a1+3a2+(2n-1)an=2n,所以当n2时, a1+3a2+(2n-3)an-1=2(n-1), 两式相减得(2n-

4、1)an=2, 所以an=(n2). 又由题设可得a1=2,满足上式, 所以an的通项公式为an=(nN*). (2)记的前n项和为Sn, 由(1)知=-, 所以Sn=-+-+-=. 2 21n 2 21n 21 n a n 21 n a n 2 (21)(21)nn 1 21n 1 21n 1 1 1 3 1 3 1 5 1 21n 1 21n 2 21 n n 思路分析思路分析(1)条件a1+3a2+(2n-1)an=2n的实质就是数列(2n-1)an的前n项和,故可利用an与 前n项和的关系求解;(2)利用裂项相消法求和. 易错警示易错警示(1)要注意n=1时,是否符合所求得的通项公式;

5、(2)裂项相消后,注意留下了哪些项, 避免遗漏. 1.(2018浙江,20,15分)已知等比数列an的公比q1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列 bn满足b1=1,数列(bn+1-bn)an的前n项和为2n2+n. (1)求q的值; (2)求数列bn的通项公式. B B组组 自主命题自主命题省省( (区、市区、市) )卷题组卷题组 解析解析本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识,同时考查运算求解能力和 综合应用能力. (1)由a4+2是a3,a5的等差中项得a3+a5=2a4+4, 所以a3+a4+a5=3a4+4=28, 解得a4=8. 由a3+a5

6、=20得8=20, 解得q=2或q=, 因为q1,所以q=2. (2)设cn=(bn+1-bn)an,数列cn前n项和为Sn. 由cn= 解得cn=4n-1. 由(1)可知an=2n-1, 所以bn+1-bn=(4n-1), 1 q q 1 2 1 1 ,1, ,2, nn S n SSn 1 1 2 n 故bn-bn-1=(4n-5),n2, bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b3-b2)+(b2-b1) =(4n-5)+(4n-9)+7+3. 设Tn=3+7+11+(4n-5),n2, Tn=3+7+(4n-9)+(4n-5), 所以Tn=3+4+4+4-(4n-5

7、), 因此Tn=14-(4n+3),n2, 又b1=1,所以bn=15-(4n+3). 2 1 2 n 2 1 2 n 3 1 2 n 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 n 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 n 1 1 2 n 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 n 1 1 2 n 2 1 2 n 2 1 2 n 易错警示易错警示利用错位相减法求和时,要注意以下几点: (1)错位相减法求和,只适合于数列anbn,其中an为等差数列,bn为等比数列. (2)在等式两边所乘的数是等比数列bn的公比. (3)两式相减时,一定要错开一位. (4)相减后等比数列的项数. (5)进行检验.

8、 2.(2015四川,16,12分)设数列an(n=1,2,3,)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列. (1)求数列的通项公式; (2)设数列的前n项和为Tn,求Tn. 1 n a 解析解析(1)由已知Sn=2an-a1, 有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2), 即an=2an-1(n2). 从而a2=2a1,a3=2a2=4a1. 又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1). 所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2. 所以,数列an是首项为2,公比为2的等比数列. 故an=2n. (2)由(1)得=. 所以T

9、n=+=1-. 1 n a 1 2n 1 2 2 1 2 1 2n 11 1 22 1 1 2 n 1 2n 方法点拨方法点拨Sn与an的关系式的问题,基本处理方法是“变更序号作差”. 易错警示易错警示代入检验首项a1是否满足一般规律. 3.(2014江西,17,12分)已知数列an的前n项和Sn=,nN*. (1)求数列an的通项公式; (2)证明:对任意的n1,都存在mN*,使得a1,an,am成等比数列. 2 3 2 nn 解析解析(1)由Sn=,得a1=S1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1=3n-2. 经验证,a1=1符合an=3n-2, 所以数列an的通项公式为an=3n-2.

10、(2)证明:要使a1,an,am成等比数列,只需要=a1am, 即(3n-2)2=1(3m-2),即m=3n2-4n+2, 而此时mN*,且mn, 所以对任意的n1,都存在mN*,使得a1,an,am成等比数列. 2 3 2 nn 2 n a 4.(2015浙江,17,15分)已知数列an和bn满足a1=2,b1=1,an+1=2an(nN*),b1+b2+b3+bn= bn+1-1(nN*). (1)求an与bn; (2)记数列anbn的前n项和为Tn,求Tn. 1 2 1 3 1 n 解析解析(1)由a1=2,an+1=2an,得an=2n(nN*). 由题意知, 当n=1时,b1=b2-

11、1,故b2=2. 当n2时,bn=bn+1-bn,整理得=, 所以bn=n(nN*). (2)由(1)知anbn=n2n, 因此Tn=2+222+323+n2n, 2Tn=22+223+324+n2n+1, 所以Tn-2Tn=2+22+23+2n-n2n+1. 故Tn=(n-1)2n+1+2(nN*). 1 n 1 1 n b n n b n 评析评析本题主要考查数列的通项公式,等差和等比数列等基础知识,同时考查数列求和等基本 思想方法,以及推理论证能力. 1.(2012大纲全国,6,5分)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,且Sn=2an+1,则sn=() A.2n-1B.C.D. 1

12、3 2 n 1 2 3 n 1 1 2n C C组组 教师专用题组教师专用题组 答案答案B由已知Sn=2an+1得Sn=2(Sn+1-Sn),即2Sn+1=3Sn,则=,而S1=a1=1,所以Sn=,故选B. 1n n S S 3 2 1 3 2 n 2.(2012大纲全国,18,12)已知数列an中,a1=1,前n项和Sn=an. (1)求a2,a3; (2)求an的通项公式. 2 3 n 解析解析(1)由S2=a2得3(a1+a2)=4a2,C解得a2=3a1=3. 由S3=a3得3(a1+a2+a3)=5a3, 解得a3=(a1+a2)=6. (2)由题设知a1=1. 当n1时有an=S

13、n-Sn-1=an-an-1, 整理得an=an-1. 于是a1=1, a2=a1, a3=a2, an-1=an-2, an=an-1. 4 3 5 3 3 2 2 3 n1 3 n 1 1 n n 3 1 4 2 2 n n 1 1 n n 将以上n个等式两端分别相乘,整理得an=. 易知a1=1也满足上式. 综上,an的通项公式为an=. (1) 2 n n (1) 2 n n 考点一数列的单调性考点一数列的单调性 1.(2016广西南宁二中模拟,7)已知数列an的通项公式为an=,则满足an+1an的n的值为 () A.3B.4C.5D.6 4 112n A A组组 201620182

14、0162018年高考模拟年高考模拟基础题组基础题组 三年模拟 答案答案C由an+1an,得an+1-an=-=0,解得n0数列an是单调递增数列; an+1-an0时,1数列an是单调递增数列; 01数列an是单调递减数列; =1数列an是常数列. 当an1数列an是单调递减数列;0a1a2a3a4,a5a6a7an1(nN*). 数列an中的最大项为a5=2,最小项为a4=0. (2)an=1+=1+,已知对任意的nN*,都有ana6成立,结合函数g(x)=1+ 的单调性,可知56,即-10a-8. 1 2(1)an 1 29n 1 29x 1 2(1)an 1 2 2 2 a n 1 2

15、2 2 a x 2 2 a 知识拓展知识拓展利用通项公式求数列最大(小)项的常用方法: (1)单调性法:利用数列的增减性或图象求最大(小)项. (2)邻项比较法:利用不等式组(n2,nN*)求最大(小)项. 1 1 , nn nn aa aa nn 1 * nn 1 aa, aa(2,N )nn 考点二由递推式求数列的通项考点二由递推式求数列的通项 1.(2018广西南宁月考,6)已知a1=1,an=n(an+1-an)(nN*),则数列an的通项公式是an=() A.nB.C.n2D.2n-1 1 1 n n n 答案答案A由an=n(an+1-an)得nan+1=(n+1)an,则=,所以

16、数列是常数列,通项公式= 1,即an=n,选A. 1 1 n a n n a n n a n n a n 1 1 a 2.(2017广西南宁期中)在数列an中,a1=2,an=an-1+ln(n2),则an=() A.2+lnnB.2+(n-1)lnn C.2+nlnnD.1+n+lnn 1 1 1n 答案答案A由an=an-1+ln=an-1-ln(n-1)+lnn(n2),可知an-lnn=an-1-ln(n-1)(n2).令bn=an-ln n,则数列bn是以b1=a1-ln1=2为首项,d=bn-bn-1=0为公差的等差数列,则bn=2,故2=an-lnn,an=2 +lnn. 1 1

17、 1n 3.(2018四川广元统考,15)在数列an中,a1=,an=(n2,nN*),设bn=,Sn是数列 bn的前n项和,则S2018=. 2 2 1 2 n a 22 1 4 nn aa 答案答案 2018 2019 解析解析由于=+2(n2,nN*),故是以=2为首项,2为公差的等差数列,故=2n,所以 bn=-,所以Sn=1-+-+-=1-=,所以S2018=. 2 n a 2 1n a 2 n a 2 1 a 2 n a 22 1 4 nn aa 1 (1)n n 1 n 1 1n 1 2 1 2 1 3 1 n 1 1n 1 1n1 n n 2018 2019 4.(2017云南

18、大理统考,16)若数列an的首项a1=2,且an+1=3an+2(nN*),令bn=log3(an+1),则b1+b2+ b3+b100=. 答案答案5050 解析解析由an+1=3an+2(nN*),得an+1+1=3(an+1),又a1=2,故数列an+1是以3为首项,3为公比的等比 数列,则an+1=3n,故bn=log3(an+1)=log33n=n,则b1+b2+b3+b100=1+2+3+100=5050. 5.(2018四川广安、眉山诊断性考试,17)设数列an满足a1=1,an+1=an+n+1(nN*). (1)求数列an的通项公式; (2)若数列的前n项和为Tn,求Tn.

19、1 n a 解析解析(1)由an+1=an+n+1(nN*), 得an+1-an=n+1,又a1=1, 所以n2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1 =n+(n-1)+2+1=, 当n=1时,也满足an=, 所以数列an的通项公式为an=(nN*). (2)由(1)知=2, 所以Tn=2 =2=. (1) 2 n n (1) 2 n n (1) 2 n n 1 n a 2 (1)n n 11 1nn 11111 1 2231nn 1 1 1n 2 1 n n 方法点拨方法点拨(1)主要考查累加法求数列的通项公式.(2)考查裂项相消法求数列的和.裂项相消 法

20、是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向.常见的裂项技巧: =;=(-);=; =. 1 ()n nk 1 k 11 nnk 1 nkn 1 k nkn 1 (21)(21)nn 1 2 11 2121nn 1 (1)(2)n nn 1 2 11 (1)(1)(2)n nnn 考点三数列的通项及前考点三数列的通项及前n n项和项和 1.(2018云南师范大学附属中学月考,14)已知Sn为数列an的前n项和,a1=1,当n2,nN*时,Sn-1+ 1=an,则a8=. 答案答案128 解析解析因为a1=1,且Sn-1+1=an(n2,nN*),所以Sn+1=an+1,两式相减,整

21、理得an+1=2an,所以an是首 项为1,公比为2的等比数列,则an=2n-1,所以a8=27=128. 2.(2017云南曲靖统考,14)设数列an的前n项和为Sn,若Sn,Sn-1,Sn+1(n2)成等差数列,且a2=-2,则a4 =. 答案答案-8 解析解析由题可得2Sn-1=Sn+Sn+1,整理有2an+an+1=0,即an+1=-2an,可知数列an是公比q=-2的等比数 列,故a4=a2q2=-8. 3.(2017贵州黔东南州模拟)已知数列an的前n项和为Sn,且a1=1,an+1+2SnSn+1=0,则该数列的前 2017项和S2017=. 答案答案 1 4033 解析解析因为

22、an+1+2SnSn+1=0,所以2SnSn+1=Sn-Sn+1,则-=2,又因为=1,所以是首项为1,公 差为2的等差数列,所以=1+2(n-1)=2n-1,则=22017-1=4033,即S2017=. 1 1 n S 1 n S 1 1 S 1 n S 1 n S 2017 1 S 1 4033 4.(2018四川内江一模,17)设Sn是数列an的前n项和.已知a1=1,Sn=2-2an+1. (1)求数列an的通项公式; (2)设bn=(-1)nan,求数列bn的前n项和. 解析解析(1)Sn=2-2an+1,a1=1, 当n=1时,S1=2-2a2,得a2=1-=1-=, 当n2时,

23、Sn-1=2-2an, 当n2时,an=2an-2an+1,即an+1=an, 又a2=a1, an是以a1=1为首项,为公比的等比数列, 数列an的通项公式为an=. (2)由(1)知,bn=, 当n2时,=-, bn是以b1=-1为首项,-为公比的等比数列, 1 2 S 1 2 a1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2n 1 ( 1) 2 n n 1 n n b b 1 2 1 2 数列bn的前n项和为=-. 1 11 2 1 1 2 n 2 3 1 2 n 2 3 5.(2018云南曲靖质量检测,17)记Sn为数列an的前n项和,已知Sn=2n+1-n-2,数列bn满足bn= log

24、2(an+1). (1)求an的通项公式; (2)求数列的前n项和Tn. 1 1 nn b b 解析解析(1)Sn=2n+1-n-2, 当n=1时,a1=S1=1; 当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1, n=1时也满足an=2n-1, an=2n-1. (2)由(1)知an=2n-1, bn=log2(an+1),bn=log2(2n)=n, =-, Tn=+, Tn=1-+-+-+-=1-=. 1 1 nn b b 1 (1)n n 1 n 1 1n 1 2 1 bb 2 3 1 b b 3 4 1 b b 1 1 nn b b 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n 1 1n

25、 1 1n1 n n B B组组 2016201820162018年高考模拟年高考模拟综合题组综合题组 时间:40分钟 分值:85分 一、选择题(每题5分,共10分) 1.(2018四川乐山调研,10)已知数列an中,前n项和为Sn,且an=,则的最大值为() A.-3B.-1C.3D.1 3 2 n S n 1 n n a a 答案答案C由题意知,Sn=an,n2时, an=Sn-Sn-1=an-an-1, 整理得=1+,由于数列单调递减,所以当n=2时,取得最大值2,故的 最大值为3,故选C. 2 3 n 2 3 n1 3 n 1 n n a a 1 1 n n 2 1n 2 1n 2 1

26、n 1 n n a a 2.(2017四川绵阳月考)观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,的特点,按此规律,则第100项为() A.10B.14C.13D.100 答案答案B令100,则n(n+1)200,因为nN*,所以n14,所以第100项为14. (1) 2 n n 思路分析思路分析观察数列,1有1个,2有2个,3有3个,4有4个,那么n就有n个,则各个数字出现的次数组 成一个等差数列,再根据等差数列的求和公式,找到前n项和小于或等于100时n的最大值,进而 得到答案. 3.(2018云南红河统一检测,15)观察这列数:1,2,3,3,2,1,2,3,4,4,3,2,3,4,5

27、,5,4,3,4,5,6,6,5,4,则第2 017个数是. 二、填空题(每题5分,共25分) 答案答案337 解析解析每6个数一组,第n组第1个数为n(nN*),20176=3361, 第2017个数是第337组的第1个数,故为337. 4.(2018云南玉溪质检,16)若数列an为1,2,2,3,3,4,4,则该数列的通项公式an=. 答案答案an= 1, 2 1, 2 n n n n 为奇数 为偶数 解析解析当n为奇数时,设n=2k-1(kN*),a2k-1=k,此时an=; 当n为偶数时,设n=2k(kN*),a2k=k+1,此时an=+1. an= 1 2 n 2 n 1, , 2

28、1,. 2 n n n n 为奇数 为偶数 5.(2018四川广元统考,16)在首项都为2的数列an,bn中,a2=b2=4,2an+1=an+an+2,bn+1-bn32n-1,且bnZ,则数列的前n项和为. 1 2 n n nb a 答案答案2n-1 解析解析由2an+1=an+an+2知,数列an为等差数列,因为a1=2,a2=4,所以an=2n.由bn+1-bn2n+,得bn+2-bn+1 2n+1+,则bn+2-bn32n-1,且bnZ,所以bn+2-bn=32n,又b1=2,b2=4,通过累加可得 bn=2n,则=2n-1,故数列的前n项和为=2n-1. 1 2 1 2 n n n

29、b a 2 2 n n n n n nb a 1 (12 ) 12 n 6.(2017四川泸州三诊,16)已知数列an的前n项和Sn=-an-+2(nN*),则数列an的通项公 式an=. 1 1 2 n 答案答案 2n n 解析解析当n=1时,a1=S1=-a1-1+2,解得a1=. 当n2时,Sn=-an-+2, Sn-1=-an-1-+2, 两式相减得an=Sn-Sn-1=-an-+2-,即an=an-1+,所以2nan=2n-1an-1+1(n2), 所以数列2nan是等差数列,首项为2a1=1,公差为1,所以2nan=n,即an=. 1 2 1 1 2 n 2 1 2 n 1 1 2

30、 n 2 1 1 2 2 n n a 1 2 1 2 n 2n n 7.(2017四川成都二诊,16)数列an满足a1,an+1=-an+1,且=2,则4a2018-a1的最大值为 . 3 2 2 n a 2017 1i 1 i a 答案答案- 3 2 解析解析由an+1=-an+1an+1-1=an(an-1)=-=-,所以 =+=-+-+-= -=2,所以a2018=-, 又a1, 所以4a2018-a1=4-4-a1 =-+-2+=-,当且仅当=时取“=”. 2 n a 1 1 1 n a 1 (1) nn a a 1 1 n a 1 n a 1 n a 1 1 n a 1 1 1 n

31、a 2017 1i 1 i a 1 1 a 2 1 a 2017 1 a 1 1 1a 2 1 1a 2 1 1a 3 1 1a 2017 1 1a 2018 1 1a 1 1 1a 2018 1 1a 1 1 2 23 a a 1 2 1 2 1 1 23a 3 2 1 2 1 2 1 1 23a 1 1 232 223 a a 1 2 1 2 3 2 1 23 2 a 1 2 23a 8.(2018云南统一检测,17)设数列an满足a1=2,an+1-an=2n. (1)求数列an的通项公式; (2)设bn=log2a1+log2a2+log2an,求数列的前n项和Sn. 1 n b 三、解答题(共50分) 解析解析(1)an+1-an=2n,an-an-1=2n-1(n2), 通过累加可得an=(2n-1+2n-2+2)+2=2n(n2). 当n=1时,a1=2,满足上式. 数列an的通项公式为an=2n(nN*). (2)bn=log2a1+log2a2+log2an=1+2+n=, =2. Sn=2 =2=. (1) 2 n n 1 n b 2 (1)n n 11 1nn 11111 1 2231nn 1 1 1n 2 1 n n 9.(2018四川达州一诊,18)已知函数f(x)=ax2+bx的图象经过点(