(完整版)复平面上的轨迹问题

1、复平面上的轨迹问题一、 教学目标：1、2、3、4、了解通过复平面可以把复数与平面解析几何中的某些曲线联 系起来。巩固复习复数的几何意义和解析几何中的求轨迹的方法。 理解并熟记常见曲线的复数方程。掌握利用复数求轨迹的几种方法。二、 教学重点与难点重点：复数的几何意义的应用与复平面上的轨迹的求法难点：复数的几何意义与复平面上的轨迹的综合应用 三、 教学过程（一）、知识概述：1、复数与轨迹：复数(z=x+yi , (x,y r)对应着复平面内的一个点（x,y），若复数的实部与虚部是一对变量，则它对应的点就构成了复平面上的动点，因此复数若按某种条件变化时，则复平面上的动点自然 就构成了具有某种特征的曲

2、线（或曲面）。2 、求复数的轨迹问题的核心问题：理解用复数形式表示复平面上的两点距离d =|z -z | 1 2。3、熟练掌握以下几种复数形式的基本轨迹：设 动 点 z 、 定 点 z 、 z 、 z 分 别 对 应 于 复 数0 1 2z , z , z , z , r 0, r 0, a 0 0 1 2 1 2。-z-（1） 圆：| z -z |=r ,0其中 r 为半径，z 为圆心；单位圆：0| z |=1.（2） 圆面（不包括圆周）：| z -z |r0。（3） 圆环面：r | z -z |r (r|z -z |1 2)，其中 z 、z 为对1 2应椭圆的焦点，2a 为其长轴长（当2a

3、 =| z -z | 1 2时，表示线段 z z ；当1, 22a | z -z | 1 2时，不表示任何图形）。（6） 双曲线：| z -z | -| z -z |=2a (2a| z -z | 1 2（二）、例题分析：时，不表示任何图形）。例1、 设1z + rz，求 z 在复平面内所对应的点的轨迹。解题提示：1 1 - 1 - z + r z + = z + z -z +z z z -zz z=0z -z1- - (1 - ) =0 z = z 或 | z |=1 z r 或 | z |=1 z 2。点评分析：本题利用了整体法求复数的轨迹。利用整体法求复数的轨迹的思路是：运用复数的有关性

4、质，通过复数的有关运算、化繁 为简，寻找复数形式的基本轨迹。例2、 已知复数 z 满足arg z =p4，求复数 w =z +1z在复平面内对应点的轨迹。解法提示：要求复数 w=z +1z在复平面内对应点的轨迹，可以令w=x +yi ( x , y r )，再利用复数相等的充要条件求出w的直角坐标方程。点评分析：本题利用了设点法求复数的轨迹。利用设点法求复数的轨迹的思路是：（1）先设点z =x +yi ( x , y r )，（2）再找出 z 满足的条件，（3 ）由复数相等的充要条件写出轨迹的参数方程，（4 ）消去参数 化为普通方程。例3、 若复数 z 在以 1+i 为圆心，1 为半径的圆周上

5、运动，问w =1 -iz1 +iz的图形是怎样？解题分析：已知圆的方程为| z -(1 +i ) |=1 ，由w=1 -iz1 +iz解出 z 代入圆的方程即得关于w的方程。点评分析：本题利用了相关点法求复数的轨迹。例4、 设复数 z 满足| z -1 - 3i |=1。（1）求arg z的最大值与最小值。（2）以|oz|为一边作正方形 ozab（按逆时针顺序），求点 b 的轨迹方程。点评分析：此题沟通了解析几何与复数之间的内在联系，由正方形向量垂直向量旋转复数乘除法。这是复数方法解决几何问题 的常用方法。(三)课堂总结：1、解决复平面上的轨迹问题实质上同平面解析几何中的求轨迹问 题是运用相同的方法。2 、理解用复数形式表示复平面上的两点距离 轨迹问题的关键。四、 能级层次训练题d =|z -z | 1 2是运用复数求1、满足条件| z -2i | +| z +1 |= 5的点 z 的轨迹是（ ）a 椭圆b 直线c 线段d 圆2、设| z -(1 + 3i) |2 ，且 0 arg z p3，则复数 z 在复平面内对应区域的面积是_.- -3、已知复数的模为 2，则的最大值为（ ）a 1 b 2 c5d 34、表示点 z 的复数满足不等式 值与最小值。