高数B(上)试题及答案1

1、xx xxx 高等数学 b（上）试题 1 答案一、判断题（每题 2 分，共 16 分）（在括号里填写“”或“”分别表示“对”或“错”） （ ）1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量.（ ）2. 闭区间上的间断函数必无界.（ ）3. 若 f ( x)在某点处连续，则 f ( x )在该点处必有极限.（ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ ）5. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量.（ ）6.y = f ( x )在点x0连续，则 y = f ( x )在点x0必定可导.（ ）7. 若 x 点为 y = f ( x )0的极值点，则必有f(x ) =0 0.（ ）8. 若f(x) g(x)，则

2、f ( x) g ( x).二、填空题（每题 3 分，共 24 分）1. 设f ( x -1) =x2，则f (3) =16.2lim x sinx 1x1。3.limx 1 1 2 +x xsin + sin x + =1 +e2.4. 曲线x2 =6 y -y 3在 ( -2,2) 点切线的斜率为23.5设f(x ) =a ，则 lim 0h 0f ( x +2 h) -f ( x -3h ) 0 0h 5 a .6. 设f ( x) =sin x cos1x, ( x 0)，当f (0) = 0时，f ( x)在x =0点连续.7. 函数y =x3-3 x 在 x =-1处有极大值.8.

3、 设f ( x)为可导函数,f(1)=1，f ( x) = f1 + f ( x 2 )，则f (1) =1.三、计算题（每题 6 分，共 42 分）1求极限limn +( n +2)(n +3)(n +4)5n 3.解：limn +( n +2)(n +3)(n +4)5n 3 2 3 4 = lim 1 + 1 + 1 +n + n n n （3 分）(=1（3 分）2. 求极限limx 0x -x cos x x -sin x.解：limx 0x -x cos x x -sin x=limx 0=limx 0=31 -cos x +x sin x1 -cos x 2sin x +x co

4、s xsin x（2 分）（2 分）（2 分）3. 求y =( x +1)( x +2) 2 ( x +3)3在(0, +)内的导数.解：ln y =ln( x +1) +2ln( x +2) +3ln( x +3)，（2 分）y 1 2 3 = + +y x +1 x +2 x +3，（2 分）故y=(x +1)(x +2)2( x +3)31 2 3+ + x +1 x +2 x +3（2 分）4. 求不定积分2x +1dx1 +x 2.解：2x +1dx1 +x 2=11 +x2d(1 +x 2 ) +11 +x2dx（3 分）=ln(1+x2) +arctan x +c（3 分）5.

5、求不定积分x sin x 2 dx.解：x sin x2dx=12sin x2d (x2)（3 分）1=- cos x22+c（3 分）6求不定积分x sin 2xdx.解：x sin 2xdx1=2=-121x sin 2 xd(2 x) =-2x cos 2 x - cos2xdxxdcos2x)（2 分）（2 分）cosx1 1=- x cos 2 x + sin 2 x +c 2 4（2 分）7. 求函数y =(sinx )的导数.解：ln y =cos x ln sin x（3 分）y=(sinx)cosx+1(cot2x -lnsin x)（3 分）四、解答题（共 9 分）某车间靠

6、墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌 20 米长的墙壁,问应围成的长方形的长, 宽各为多少才能使这间小屋面积最大.解：设垂直于墙壁的边为x，所以平行于墙壁的边为20 -2 x，所以，面积为s =x (20 -2 x ) =-2x2+20 x， （3 分）由s=-4x+20 =0，知 （3 分）当宽x =5时，长y =20 -2 x =10， （3 分）面积最大s =5 10 =50（平方米）。五、证明题（共 9 分）若在( -,+)上f(x)0,f (0) =0.证明：f ( x) =f ( x)x在区间( -,0)和(0,+)上单调增加.证明：f (x) =xf (x) - f ( x )x 2，令g ( x) =xf (x) -f ( x)（2 分）g (0) =0 f(0) - f (0) =0， （2 分）在区间( -