一元二次方程知识点的总结

1、方知识结构梳理1、概念一元二次方程知识点的总结（1） 含有 个未知数。（2） 未知数的最高次数是（3） 是 方程。（4） 一元二次方程的一般形式是 。（1）法，适用于能化为(x +m )2=n(n0)的一元。一元二次方程（2） 法，即把方程变形为 ab=0 的形式， 2、解法 （a，b 为两个因式）, 则 a=0 或二 （3） 法次（4） 法，其中求根公式是程当（5） 当当时，方程有两个不相等的实数根。 时，方程有两个相等的实数根。 时，方程有没有的实数根。可用于解某些求值题（1）一元二次方程的应用 （2）（3）可用于解决实际问题的步骤 （4）（5）（6）知识点归类考点一 一元二次方程的定义如

2、果一个方程通过移项可以使右边为 0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这 样的方程叫做一元二次方程。注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：方程是整式方程。它只含有一个未知数。 未知数的最高次数是 2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。例 下列关于x的方程，哪些是一元二次方程？x22+5=3；x2-6 x =0；（3）x +x =5；（4）-x2=0；（5）2 x ( x -3) =2 x2+1考点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax2+bx +c =0（a，b，c 是已知数，a 0）。其中 a，b，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。2注意：（1）二

3、次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。 （2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。（3）形如ax2+bx +c =0不一定是一元二次方程，当且仅当 a 0 时是一元二次方程。例 1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。（1）5x2=72x； （2）(x-2)(x+3)=8； （3）(3x-4)(x+3)=(x+2)2例 2 已知关于 x 的方程 (m-1)xm 2+2-(m+1)x-2=0是一元二次方程时，则m =考点三 解一元二次方程的方法使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解

4、，如：当x= 2时，x -3 x +2 = 0所以x =2 是 x2-3 x + 2 = 0方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。法一 直接开平方法解一元二次方程若x 2 = a (a0 )，则x叫做 a 的平方根，表示为x = a，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。（ 1 ）x2= a (a0 )的 解 是x = a；（ 2 ）(x+m )2=n (n0 )的 解 是x = n -m；（3）(mx + n )2=c (m0, 且 c 0 )的解是x =c -nm。例 用直接开平方法解下列一元二次方程（1）9 x 2 -16 = 0； （2）(x+5 )2-16 = 0 ；

5、（3） (x-5 )2=(3x+1 )2法二 配方法解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含 未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开 平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。注意 ：用配方法解一元二次方程x2+ px + q = 0，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。 例 用配方法解下列方程：（1）x 2 + 6 x - 5 = 0； （2）x 2 -72x - 2 = 0法三 因式分解法如果两个因式的积等于 0，那么这两个方程中至少有一个等于 0，即若

6、pq=0 时，则 p=0 或 q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为 0；（2）将方程左边 分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为 0，得两个一元一次方程。（4）解这两 个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。-4 ac 的值；（3）若 b2( )关键点：（1）要将方程右边化为 0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有： 提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。例 用因式分解法解下列方程：（1）5 x2= 4 x； （2）(2 x 2 -3) -25 = 0； （3）x 2 -6 x +9 = (5-2 x)2。法四 公式法一元二次方程

7、ax 2 +bx +c =0(a0)的求根公式是：x =-b b 2 -4 ac2a用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为ax 2 +bx +c =0(a0)的形式，确定的值a, b.c（注意符号）；（2）求出b2 2-4 ac 0 ，则 a, b.把及b 2 -4 ac的值代人求根公式x =-b b 2 -4 ac2a，求出x , x1 2。例 用公式法解下列方程 （1） 2 x - 3 x -1 = 0； （2）(2 x x +)2 +1 = 0； （3）x 2 + x + 25 = 0技巧 选择适合的方法解一元二次方程直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非

8、负数或也是一个含未知 数的平方式的方程因式分解要求方程右边必须是 0，左边能分解因式；公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或 因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法， 因为配方法解题比较麻烦。例 用适当的方法解下列一元二次方程：（1）(2x - 3 )2=9 (2x + 3 )2；（2）x2- 8 x + 6 = 0；（3） x + 2 ( x -1) = 0考点四 一元二次方程根的判别式一元二次方程ax2+bx +c =0(a0)根的判别式 b2-4 ac运用根的判

9、别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：（1） b2-4 ac 0 方程有两个不相等的实数根；（2） b2-4 ac=0方程有两个相等的实数根；（3） b 2 -4 ac0方程没有实数根；利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：把所有一元二次方程化为一般形式；确定a, b.c的值；计算b 2 -4 ac 的值；根据 b 2 -4 ac的符号判定方程根的情况。bb1 2+x ； （2） (x-x )例 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：（1）2 x 2 - 3 x - 5 = 0；（2）9 x 2 = 30 x - 25；（3）x 2 + 6 x +10 = 0考点五在方程

10、根的判别式的逆用 ax 2 +bx +c =0(a0)中，（1）方程有两个不相等的实数根b 2 -4 ac0（2）方程有两个相等的实数根2-4 ac=0（3）方程没有实数根2-4 ac0注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为 0 这一条件。例m为何值时，方程(2m+1)x2+4 mx +2 m -3 =0的根满足下列情况：（1）有两个不相等的实数； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根； 考点六 一元二次方程的根与系数的关系若x , x12是一元二次方程ax2+bx +c =0(a0)的两个根，则有x +x =- 1 2b b， x x =a a根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：（1）x12 +x 2 =(x+x )22 1 2-2 x x12（2）1 1 x +x + = 1 2x x x x1 2 1 2（3）( x +a )( x +a ) =x +x +a (x+x 1 2 1 2 12)+a2；（4）x -x12=(x-x12)2=(x+x12)2-4 x x1 2例 已知方程2 x2-5 x -3 = 0的两根为