1.3 平面点集的一般概念

1、1 第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集的一般概念 1.3 平面点集的一般概念平面点集的一般概念 一、平面点集一、平面点集 二、区域二、区域 三、平面曲线三、平面曲线 2 第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集的一般概念 3 第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集的一般概念 一、平面点集一、平面点集 1. 邻域邻域 设设 为复平面上的一点，为复平面上的一点，定义定义 0 z ,0 z0 z0 (1) 称点集称点集 为为 点的点的 邻域邻域；| : 0 zzz 0 z (2) 称点集称点集 为为 点的点的 去心邻域去心邻域。|0: 0 zzz 0 z 4 第一章 复数与复变函数 1.3

2、平面点集的一般概念 内点内点 一、平面点集一、平面点集 2. 内点、外点、边界点、孤立点内点、外点、边界点、孤立点 ; 0 Gz (1) 内点内点 外点外点 边界点边界点 考虑某平面点集考虑某平面点集 G 以及某一点以及某一点 ， 0 z ,| : 0 zzz(2),0 有有.Gz 外点外点; 0 Gz (1),| : 0 zzz(2),0 有有.Gz 边界点边界点 0 z(1) 不一定属于不一定属于 G ； 在在 中，中， | 0 zz(2),0 既有既有,Gz 又有又有.Gz 边界边界 G 的边界点的全体称为的边界点的全体称为 G 的的边界边界。 孤立点孤立点; 0 Gz (1),| :

3、0 zzz(2),0 有有.Gz 5 第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集的一般概念 3. 开集与闭集开集与闭集 开集开集 如果如果 G 的每个点都是它的内点，则称的每个点都是它的内点，则称 G 为为开集开集。 一、平面点集一、平面点集 闭集闭集 开集的余集称开集的余集称 为为闭集闭集。 4. 有界集与无界集有界集与无界集 则则 G 称为称为有界集有界集， 否则称为否则称为非有界集非有界集或或无界集无界集。 余集余集 平面上不属于平面上不属于G的点的全体称为的点的全体称为G的余集。的余集。 为中心的圆盘包含为中心的圆盘包含G， 定义定义 如果存在一个以点如果存在一个以点0Z P15 例例1

4、.9 1.10 1.11 6 第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集的一般概念 二、区域二、区域 1. 区域与闭区域区域与闭区域 区域区域 平面点集平面点集 D 称为一个称为一个区域区域，如果它满足下列两个条件，如果它满足下列两个条件: (1) D 是一个开集；是一个开集； (2) D是是连通连通的，的， 闭区域闭区域 区域区域 D 与它的边界一起构成与它的边界一起构成闭区域闭区域或或闭域闭域, 记作记作 D。 不不 连连 通通 的一条折线连接起来。的一条折线连接起来。 即即 D 中任何两点都可以用完全属于中任何两点都可以用完全属于 D 连通连通 7 第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集

5、的一般概念 注注 区域是开集，闭区域是闭集，除了全平面既是区域又是区域是开集，闭区域是闭集，除了全平面既是区域又是 闭区域这一特例外，区域和闭区域是两种不同的点集，闭闭区域这一特例外，区域和闭区域是两种不同的点集，闭 区域并非区域。区域并非区域。 8 第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集的一般概念 ;1| )2(| iz 区域区域 1 2 + i 闭区域闭区域 3/ ( (角形角形) )区域区域 ;0 x 9 第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集的一般概念 三、平面曲线三、平面曲线 1. 方程式方程式 在直角平面上在直角平面上.0),( yxf 在复平面上在复平面上.0)( zf 如何

6、相互转换如何相互转换？ ( (比较熟悉比较熟悉) ) ( (比较陌生比较陌生) ) (1)0),( yxf 2/ )(zzx )2/()(izzy .0)( zf (2)0)( zf yixz .0),( yxf ( (建立方程建立方程) ) ( (理解方程理解方程) ) 10 第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集的一般概念 .4)1( 22 yx .0 y .xy .1 )3(2 2 2 2 2 yx .1 22 yx i i (1) i i (2) 2i 2 (3) 1 12 2 i3 i3 (4) 1 1 (5) 11 第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集的一般概念 三、平面曲线

7、三、平面曲线 2. 参数式参数式 , )( , )( tyy txx 在直角平面上在直角平面上. )( t , )()()(tyitxtzz 在复平面上在复平面上. )( t 例如例如 考察以原点为圆心、以考察以原点为圆心、以 R 为半径的圆周的方程为半径的圆周的方程。 )()()( yixzz (2) 在复平面上在复平面上 ,sin)( ,cos)( Ryy Rxx (1) 在直角平面上在直角平面上. )20( , )sin(cos iR . )20( ,e i Rz 12 第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集的一般概念 三、平面曲线三、平面曲线 3. 曲线的分类曲线的分类 , )()(

8、)(tyitxtzz 考虑曲线考虑曲线. )( t 简单曲线简单曲线当当 时，时，, , 2 t. )()( 21 tztz 21 tt , ),( 1 t 简单闭曲线简单闭曲线. )()( zz 简单曲线且简单曲线且 光滑曲线光滑曲线.0)( t z在区间在区间 上，上，和和 连续且连续且, )(t x )(t y 简单、不闭简单、不闭简单、闭简单、闭不简单、闭不简单、闭不简单、不闭不简单、不闭 13 第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集的一般概念 4. 内区域与外区域内区域与外区域 若尔当曲线定理若尔当曲线定理 任一简单闭曲线将平面分成两个区域，它们任一简单闭曲线将平面分成两个区域，它

9、们 都以该曲线为边界，其中一个为有界区域，称为该闭曲线的都以该曲线为边界，其中一个为有界区域，称为该闭曲线的 内部（内区域）内部（内区域）；另一个为无界区域，称为；另一个为无界区域，称为外部（外区域）。外部（外区域）。 5. 单连通域与多（复）连通域单连通域与多（复）连通域 否则称为否则称为多连通域多连通域。 定义定义 设设 D 为区域，如果为区域，如果 D 内的任何一条简单闭曲线的内的任何一条简单闭曲线的内部内部仍仍 属于属于 D，则，则 D 称为称为单连通域单连通域， 14 第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集的一般概念 三、平面曲线三、平面曲线 4. 有向曲线有向曲线 定义定义 设设

10、 C 为平面上一条给定的光滑为平面上一条给定的光滑( (或分段光滑或分段光滑) )曲线曲线， 指定指定 C 的两个可能方向中的一个作为正向的两个可能方向中的一个作为正向，则则 C 为带有为带有 方向的曲线，称为方向的曲线，称为有向曲线有向曲线，仍记为，仍记为 C。 代表与代表与 C 的方向相反的方向相反( (即即 C 的负方向的负方向) )的曲线。的曲线。 如果如果 C相应地，相应地， 则则 15 第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集的一般概念 逆时针方向。逆时针方向。 区域区域 区域区域 三、平面曲线三、平面曲线 4. 有向曲线有向曲线 简单闭曲线的正向一般简单闭曲线的正向一般约定约定为为： 当曲线上的点当曲线上的点 P 顺此方向沿曲线顺此方向沿曲线 前进时前进时, 区域边界曲线的正向一般区