上海工程技术大学-概率论作业答案

1、文档从网络中收集，已重新整理排版您9记版本可编辑.欢迎下载支持.习题一1 .设 AB.C 是三个事件，且 P(A) = P(B) = P(C) = 1 , P(AB) = P(BC) = O ,P(AC) = ,求A,B,C中至少有一个发生的概率.8解: (AB)/. P(ABC) = O P(AjBB) = p + q-rP(AB) = P(A) 一 P(AB) = r-qP( AB) = P( B)- P( AB) = r-pP(AB) = l-P(AjB) = l-r11一3设P(A) = - , P(B)=-,试分别在下列三种情况下求P(AB)的值：32(1) 43互不相容； AuB

2、: P(AB)J.O_ 1解：(1 ) P(AB) = P(B) = 2- 1 1 12 36一113(3 ) P(AB) = P(B)-P(AB) = - = - 2 8 8(2 ) P(A3) = P(B)_P(A) =-4. 盒子中装有同型号的电子元件100个，其中有4个是次品.从盒子中任取4个，求:(1) 4个全是正品的概率；(2) 恰有一个是次品的概率：(3) 至少有两个是次品的概率.1文档来源为:从网络收集整理.V。记版本可编辑.(3) p = l-0.8472-0.1458 = 0.0070 或文档从网络中收集，已重新整理排版.won!版本可编辑.欢迎下载支持.5. 从45件正品

3、5件次品的产品中任取3件产品，求英中有次品的概率.解：p = -= 0.27606从一副扑克牌(52张)中任取4张，求4张牌的花色各不相同的概率.解:132 * 4= 0.10551文档来源为:从网络收集整理.、v。记版本可编辑.7.某城市的电话号码由8个数字组成，第一位为5或6求(1) 随机抽取的一个电话号码为不重复的八位数的概率；(2) 随机抽取的一个电话号码末位数是8的概率.2 -P7解：(1)厂気厂0.01812-1062-1079.已知P(A)冷解：P(AB) = P(A)P(BA) =丄P(B)=P(AB) _ 1P(A I B) 68.房间里有4人，求：(1) 这4人的生日不在同

4、一个月的概率：(2) 至少有2人的生日在同一个月的概率.解：(1=诗“9994(2), = 1- = 0.4271P(BIA) = -, P(AB) = -,求P(AS).32123 P(A B) = P(A) + P(B) P(AB) = - +410.掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7.求其中有一颗为1点的槪率. 解：设A：其中一颗为1点，B：点数之和为7,则P(B) =666P(AB)=P(A I B)=P( AB) _ 1P(B) 3文档从网络中收集，已重新整理排版您9记版本可编辑.欢迎下载支持.11某个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，试问另一个也是女孩的概率是多少?解：英中一

5、个是女孩的样本空间为：(男.女)，(女，男)，(女，女) 故所求概率为*12. 一盒子中装有7只晶体管，其中5只是正品，2只是次品，从中抽取两次，每次任取一 只不放回，求：(1) 两次都取得正品的概率：(2) 第一次取得正品，第二次取得次品的概率;(3) 一次取得正品，另一次取得次品的概率；(4) 第二次取得正品的概率.解： /7 =-.-=7 610211文档来源为:从网络收集整理.V。记版本可编辑.(3)5 2765215 2 2 5 10 I I I7 6 7 6 215 = 56713袋中有红球和白球共100个，其中白球有10个.每次从袋中任取一球不放回，求第三 次才取到红球的概率.解

6、：设心表示事件“第j次取到白球S i = l,2,3一in 9 90则所求概率为：P(A.A,A2) =IA )P(A3IA,A2) = = 0.008314. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拔号不超过三次而拨对 所需电话的概率.若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解：3,、19 19 8 13p = 一 或 p = 一 + 一+ 一 一 = 一101010 910 9 810(2) /?=_3515. 两台车床加工同样的零件，第一台岀现废品的概率为0.03,第二台出现废品的概率为0.02.加工岀来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一

7、倍, 求任意取出的一件产品是合格品的概率.解：设事件A ：取得的产品是合格品，事件色：取得的产品由第7台车床加工，7 = 1,22 1则所求概率为：P(A) =I 8J + P(B?)P(A I 坊)=_ 0.97 + _ 0.98 = 0.973316. 设有甲、乙两个口袋，甲袋中装有只白球，加只红球，乙袋中装有N只白球，M只 红球.现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任意取一球，问：(1) 取到白球的概率是多少？(2) 若已知取到白球，则原先是从甲袋中取得白球放入乙袋的概率是多少？解：设事件A：从乙袋取到白球，事件B：从甲袋取到白球nN + n + mN(1)所求概率为：P(A) = P

8、(B)P(A IB) + P(B)P(A IB)N +1 in + m + / M + N + l m + / M+N + l + +N + )(2)所求概率为：=P(A)nN + nnN + n + mN17. 设8支枪中有3支未经试射校正，5只已经试射校正.一射手用校正的枪射击时，中靶 的概率为0.8,而用未校正过的枪射击时，中靶的概率为0.3.现假泄从8支枪中任取一支进 行射击，结果中靶，求所用的枪是己校正过的概率.解：设事件A ：射击中靶，事件B：所用的枪是已校正过的= = 0.8163P(B I A)=-O.8 + -O.38 84918. 盒子中放有12个乒乓球，其中有9个是新的.

9、第一次比赛时从中任取3个来使用，比 赛后仍放回盒中，第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取岀的球都是新球的概率. 解：设事件A：第二次取岀的球全是新球事件色：第一次取岀的球当中有i个新球，i = 0J,2,3则所求概率为：P(A) =工P(Q)P(Ald)厂0厂3厂3厂1厂2厂3厂2厂1厂3厂3厂0厂3=匕上丄 上匕 上匕 上丄 匕匕匕 注丄上工=0 1458厂3厂3厂厂3十厂3厂3厂3厂35丄分C12C12CI2C12C12C12C12CI219设事件A与B相互独立，且P(A) = p,P(B) = q求下列事件的概率: P(AkjB)； (2)(3)解：(1) P(A U B) = P(

10、A) + P(B) - P(AB) = P(A) + P(B) - P(A)P(B) = p + qpq(2) P(AUP) = P(A) + P(P)_P(A)P= ” + (l_q)_”(m + M(3) P(A 0.99i-lr-1i-1/ log04 0.01 = 5.026 所以至少配备6门高射炮。22. 如图，三个元件分别记作A.B.C,且三个元件能否正常工作是相互独立的.设A,B,C三个元件正常工作的概率分別为0.7, 0.8和0.8,求该电路发生故障的概率.解：设事件A5C分别表示元件A,8,C正常工作 则所求概率为:p = 1-(1 一 P(B)P(C) P(A) = 1 一

11、(1 一0.2 0.2) 0.7 = 0.328或 “ =P(A) + P(ABC) = 0.3 + 0.7 0.2-0.2 = 0.32823. 大楼有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻每个设备被使用的概率为0.1, 问在同一时刻(1) 恰有2个设备被使用的概率；(2) 至少有3个设备被使用的槪率.解：(1)出(2) = C； (0.1)2 (0.9)3 =0.0729(2) p = 4+ A + A(5)=C； (0.1)3 (0.9)2 + C； (0.1)4 (0.9)1 + C； (0.1)，(0.9) = 0.0085624. 某人独立射击10次，每次射击的命中率均为0.6,

12、求：(1) 击中三次的概率：(2) 至少有一次未击中的概率.解：(1) p = Pl0(3) = (0.6)3(0.4)7 =0.0425(2) = 1 几)(10) = (。羽。=0.9940习题二1. 设随机变量X的分布律为PX=k = , k = 2,(1) 确定常数a； (2)求PX3.1XXCl解：(1)由规范性：为几=1得：d=i2(2) PX3(=1-PX=1)-PX=2)-PX=3) = I-1-1- = |2. 设在15只同类型的零件中有2只次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样.以 X表示取出次品的只数，求X的分布律.解：PX=0 = $ =竺 PX = 1 = l

13、l = 1z PX=2 = =丄V 35C： 35C；535/. X的分布律为：X012P221213535351文档来源为:从网络收集整理.V。记版本可编辑.文档从网络中收集，已重新整理排版您9记版本可编辑.欢迎下载支持.=1 一 C；(0.2)一批产品中有20%的次品，进行重复抽样检查，共抽取5件样品，计算这5件样品中恰 好有3件次品、至多有3件次品的概率.解：设X表示5件样品中次品的件数，则X3(5,0.2)则恰好有3件次品的概率为：PX = 3 = C； (0.2)3 4 0.82 = 0.0512至多有3件次品的概率为：PX2j = l-PX =0 PX =1=1-C：爲 0001

14、o.9999,)00 一 C；(m) 0.00011 0.9999?0 1o I11-严-严=0.0047 0! 1!6. 某电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求:(1)每分钟恰有8次呼唤的概率：每分钟的呼唤次数超过10次的概率.解:(1)PX= 8 = =0.0298&x 4女解：F(x) = 4%-1-1x1lx28一口袋中装有5只球，编号为1, 2, 3, 4,5.从袋中同时取3只，以X表示取出的三(2) P X 10=工 丁E = 0.002840X一1127设随机变量X的分布律为111求X的分布函数42401文档来源为:从网络收集整理.、v。记版本可编辑.只球中的最大

15、号码，求随机变量X的分布律和分布函数, 解:X的可能取值为3, 4, 51c2C2PX=3 = = 0.1, PX =4 = K = 0.3, PX =5=昔=0.6X的分布律为:X345Pk 0A 0.3 0.6X的分布函数为：FM = 000.41x33 x 44 x 59设随机变量X的概率密度为fM =kcosx,0, I兀卜y，其它.求：(1)系数k； (2) X的分布函数F(x)：P0X ：ff解：(1) J ： cos xdx = 2/c2 cos xdx = 2k sin x|J =2k = 7T1丨(2)当一一SxS 时，F(x) = J /T cos/Jr = (sinx +

16、 1)2 2 2 2X的分布函数为：F(x) = -(sin x + 1)2A - 2- x -2(3)P0 x/r = FS) - F(0) = 1-1 = 12 210设连续型随机变量X的分布函数为0,F(x) = kx21,x 0,0x.求：(1)系数k： (2) P0.3X r.vr.k = (2)P03 v x v 1.3 = F(1.3) - F(03) = 1-0.32 = 0.91/ =2x 0x0, k2ork2 + Pk 100,x100.100/(兀)丁0,某仪器内装有3个这样的电子元件(设各电子元件损坏与否相互独立)，试求：(1) 使用的最初150小时内没有一个电子元件

17、损坏的概率：(2) 这段时间内只有一个电子元件损坏的概率.150 1001解：最初150小时内一个电子元件损坏的概率为：PX3 =-5-232 设Y：三次观测中观测值大于3的次数，则丫3(3,_)3故所求概率为:怦2皿(|)(扑C厝202714.设 XW(1,16),试求：(1) Px1.5： (2) p|x|l.-i 5 + 1解：(1)PX -1.5 = 1 -() = 1-(1-0(025) = 0.54984(2) P|X| = PX2orX0 = 1-0(0.75)+(0.25) = 0.825315.某产品的质量指标X N(160q2),若要求P120X0.8,允许o最大为 多少？

18、404040解：P 120 v X v 200) =(一)一(一 )=2(一)一 1 X 0.8bbb4040(一)0.9 1.28(1.29), b S 31.25(31.01)bb16测疑至某一目标的距离时发生的随机误差X (米)的概率密度为1f(x) =e 32(K) ,(_sx +s)40、莎求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30米的概率.解：XN(20,402)一次测呈:误差的绝对值不超过30米的概率为：P|X|30 = 1 = 1-PK = O = 1-(1-0.4931)3 = 0.869817设随机变量X的分布律为X-2-1013PkI111115651530试求：(1

19、)乙=2X： (2) Y2=X2的分布律.(2)解：(1)乙=-2X-6-2024Pk1111115651530Y2 =X29171530518设随机变量X7V(0J),求：(1) y = aictanX的槪率密度：(2) y = |X|的概率密度.1 -解：X的概率密度为：fx(x)= e 2 (yovxvxo) d2兀(1 ) *.* y = g(x) = arctan x, y9 = 乂 0,1 + JT7t 且 x = h(y) = tan y, (y) = tan y, g(=故由立理可得，K = arc tail X的概率密度为：1 -畔，z. , 、-f=esec- y -0zr

20、 7t y0y 0v0（2） Y的分布函数为：FY（y） = PXy =19设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求：(1) Y = ex的概率密度：(2) Y = 21nX的概率密度.g(0) = l,g(l) = w解：x的概率密度为：人心冷。:打故由泄理可得，r = -21nX的概率密度为：fY(y) = 0y0习题三1. 一口袋中装有四个球，它们依次标有数字122,3.从这袋中任取一球后，不放回袋中,再从袋中任取一球，设每次取球时袋中每个球被取到的可能性相同.以X,丫分別表示第一、二次取得的球上标有的数字，试写岀随机变量x和y的联合分布律. 解：2 设随机变的概率密度为k(6-x-y

21、).0,0 x 2,2 y 4,其它， 确N常数(2)求PXl,y3； (3)求PX1.5)： (4)求PX+Y4.解：(1) J*0 J f (x, y)dxdy = / j： k(6 -x- y)dy = kj； (6 一 2x)dx = Sk = (2) PX v 1,Y v3 = J*述l(6-x-y)dy =斯(|-如r1.54 11 r1.5?7(3) PX1.5) = -(6-x-y)Jy = - (6-2x)Jx = PX + Y 4) = Ja-j |(6-x-y)dy = |(|x2 -4x + 6)dx = | 3 设二维随机变具有概率密度2e 0, y 0,0,其它，(

22、1)求分布函数F(x,y) :(2)求概率PY 0, y 0 时，F(x, y) = J(J； 2e-(,+2v)dudv = 2J；不e2vdv = (1-严)(1- e2y)文档从网络中收集，已重新整理排版“ord版本可编辑欢迎下载支持-当取其他值时，F（x, y） = 0（1-厂）（_严）尤0,00其他 PYdy =严（1 _亠皿=-0 （）W：123Y123111Pj1114244244.求第1题中随机变量（XV）的边缘分布律.7 小 旷+ 5设随机变量（X#）的概率密度为f（x.y） = 求关于其它和关于y的边缘概率密度。/Mo網 fxM = /U刃= j+)dy = 2X02 2-

23、+_X30xl其他齐（沪匚/（3）心n宀評q0y2其他6设随机变量（X,Y）具有概率密度0x 0x0A(y)= P/te y)dx = 00y 01文档来源为:从网络收集整理.V。记版本可编辑.文档从网络中收集，已重新整理排版您9记版本可编辑.欢迎下载支持.7设随机变量X和丫的联合分布律为1文档来源为:从网络收集整理“。记版本可编辑.lxl0y2其他lxl1 = 1.4-2 = 4 x与丫的联合概率密度为：/（兀刃= 40f2 1 1人(刃=匸 f(x.y)dx = 0 y 2其他 fx(X)=匚/(X,刃心=丄 4_4(2 l A 不是相互独立的*因为不恒成立/(圮刃= /x(x)/,y)9

24、设x和丫是两个相互独立的随机变量，x在(0,1)上服从均匀分布，丫的概率密度为1 -丄/r(y) = 0,20, y 0. 求(X)的概率密度/UoD： 设含有7的二次方程为r+2Xt + Y = o.求/有实根的概率.解:(1) fxM = 1 0%r = J/(x,y)dxdy = J护dy = (1-戸)dx =1-/2? f1 -4=厂必=1 - 厉(-(0) = 044510设X和丫是两个相互独立的随机变量，其分布律分别为X01Y-101Pk0.60.4Pk0.2030.5试分别求乙=x +丫和乙= nux(X,y)的分布律.解：P0.120.18030.080.120.2(X,Y)

25、(0,-1)(0.0)(0.1)(1,-1)(1-0)(1,1)z, = x +Y-1010127 vf Y001111文档从网络中收集，已重新整理排版您9记版本可编辑.欢迎下载支持.Z2=max(X,r)的分布律为-1012Pk0.120.180.420.2PkZ|=X + y的分布律为:030.7H.设x和y是两个相互独立的随机变量，x在(o,o2)上服从均匀分布，丫的概率密度试求Z = X + Y的概率密度.5 0x0.20 其他A(y) = 0,0, y 0. =A* A =匸 fx MfY (z - x)dxo.J；55f)dx = 5(1y亠),02 5 - 5exdx = 5(e

26、 - l)e-5z,0Z|,112设随机变量X和y相互独立，X在(0,1)上服从均匀分布，Y在(0,2)上服从均匀分布,求乙=max(X)和Z2 =nin(X,Y)的概率密度.解：Fx(x) = x00xl0y 2仏訴迟2T21Z00zliz2z200zllz2其它1文档来源为:从网络收集整理.、v。记版本可编辑.0 203|亿n =1 - 1-母1-冃=l-(l-z)(l-|) = -z-z2 0z10zh其它.3Znin（Z）=恥詔2习题四1 设随机变量X的分布律为X-102Pk11111366124求 E(X), E(X+l), E(X2).1 - 61 - 21 - 62+- 32-+

27、1 - 6-4O +* - 635242. 口袋中共有8只球，其中5只白球，2只红球和1只黑球.从中随机地取岀3只球，以X表示这三只球中所含红球数，试求E（X）解：X的分布律为:X012PkC：_5G 14C：C； _15c： 28g _ 3C： 28.I (x)= o- + 1+ 2=-14282840xl,3.设随机变量X的概率密度为=0,1 X 2,求 E(X),E(X2).其它，(2-Qdx = l6解：E(X) =厂xf(x)dx = x xdx + x (2-x)dx = 1E( X 2) = J x2 fxdx = J： x2 xdx + 4.某车间生产的圆盘其直径在区间（d）内

28、服从均匀分布，试求圆盘而积的数学期望.解：圆盘直径的概率密度为：/(X)=b_a0ax(f)2尹丄心誇(/ + +lr)5.设随机变量X的概率密度为ex0,fM = 0,x0,求(1)齐=2X, (2) Y2 =e2X的数学期望.解：E(Y) = J 2xf(x)dx = 2x-exdx = -2(x + Oi-*-= 2E(Y2)=匚e2xf(x)d.x =.e-xdx =120 yVxVl6设二维随机变咼(X“)的概率密度为/(x)= 其它,求 E(XYE(X2+Y2).7设随机变MXrX2相互独立，它们的槪率密度分别为/iW = 12x,0,0xl,其它；/2W=10,x5.求 E(XX

29、2).2aE(XiX2) = E(X1)E(X2) = -6 = 48.计算第1题，第3题中随机变量X的方差及标准差.文档从网络中收集，已重新整理排版您9记版本可编辑.欢迎下载支持.9772351(X) = E(X2)-E(X)2=-12=1 标准差：6“)=阿百=班6 6 69.设随机变量X服从参数为2的泊松分布，Z = 3X2,求E(Z),D(Z).解：E(X) = 2, (%) = 2E(Z) = E(3X - 2) = 3E(X) - 2 = 4D(Z) = D(3X-2) = 32D(X) = 1810. 设随机变量 X 与丫相互独立，且 E(X) = E(r)= 1,D(X) =

30、2, (/) = 4,求 E(X+r)2.解：e(x+r)= e(x)+E(r)= 2,(x+r)= d(x)+r)(r)= 6,/. E(X+ Y)2 = D(X +Y) + E(X+ Y)2 = 1011. 设随机变量X与丫相互独立，且X N(72O,3()2), y n(640、252).设乙二乂 Y, 求Z的槪率分布，并求概率PXY.解：E(X-Y) = E(X)E(Y) = 80, D(X -Y) = D(X) + D(K) = 1525/. Z (80,1525)0-80x y)= ?x - r 0 = p( z 0 = i -(=)=(2.05)= 0.9798J152512.

31、试证明：如果X与丫相互独立，则有D(XY) = D(X)D(r)+ E(X)D(Y) + E(r)2D(X).解：等式右边=(r)F(x2)+E(y)2r)(x)= E(r2)-E(r)2E(X2) + E(y)2E(X2)-E(X)2)=E(X2r2)-E(X)2E(y)2 = D(XY)=等式左边13. 已知正常男性成人血液中，每亳升白细胞平均数是7300,均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每亳升含白细胞数在52009400之间的概率.解：设X：每亳升血液中含白细胞数所求概率 p = P5200 X 9400 = P-2100 X -7300 2100PIX-73OOI1-700221

32、OO214设随机变量Z的分布律为:Z207T70.30.40.31文档来源为:从网络收集整理.、v。记版本可编辑.且设X=sin乙Y = cosZ,试验证X和丫是不相关的，但X和丫不是相互独立的.X-101A030.40.3解：X的分布律为:Xr = sinZcosZ XY的分布律为：Y010.60.4y的分布律为:XYPkE(X) = a E(Y) = 0.4. E(XY) =09p =o x 和 y 不相关7D(x)D(r)另一方而：x和y的联合概率密度为： cov(X.y)= E(XY) - E(X)E(Y) = 0X01-1030000.41030显然 PX=1,Y = 0hPX=1

33、PY = 0X和丫不相互独立15. 设 D(X) = 25, )(/) = 36,=0.4,试求 (X+Y)以及 D(X-K).解：D(X +Y) = D(X) + D(Y) + 2cov(X,Y) = D(X) + D(Y) +D(X)D(Y)= 25 + 36 + 2-0.4-536=85D(X-Y) = D(X) + D(Y)-2 cov( X, Y) = 3716. 设二维随机变量(X, Y)在G上服从均匀分布，英中G = (x,y)IOx 1,0 y 1920 = P0.8 1-(0.8) = 1-0.7881 = 0.2119 2.某银行的统计资料表明，每个定期存款储户的存款的平均

34、数为5000元，均方差为500元,任意抽取100个储户，问每户平均存款超过5100元的概率为多少？(2)至少要抽取多少储户，才能以90%以上的概率保证，使每户平均存款数超过4950元.解：(1)设第7户储户的存款为XJ = 1,2，,100,则E(Xr) = 5000, D(Xr) = 5OO2100 工 X, 100 5000 近似由中心极限泄理得：j jN(0)V100-500i(x1yx?-5000002 1-0(2) = 1-0.9772 = 0.0228?yx. 5ioo)= p(-100 tr 15000100lnilyx.-500000(2) Piyx 4950 = P加 胃nh5000500亦2 1-0(-0.1V)=(0 1 亦) 0.9査表得：0y/n 1.282 /. 11 164.4至少要抽取165户储户，才能以90%以上