数列分组求和法

1、分组求和法i典题导入例1（2011山东高考）等比数列an屮，a, 32, a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a, a2, a3屮的任何两个数不在下表的同一列第一列第二列第三列第-行3210第二行6414第三行9818(1) 求数列(an)的通项公式；(2) 若数列bn满足:bn二an+ (- 1 )nln an,求数列bn的前2n项和S2n.自主解劄当31- 3时，不合题意；当31= 2时，当且仅当a2二6, as- 18时，符合题意；当ai二10时，不合题意.因此 ai = 2 , a2= 6, a3二 18.所以公比 q 二 3,故 an = 2 .因为 bn=an+ (- 1)

2、nln an 二 2 + ( 1)nln(2 ”3)二 2 3 + ( 1)n(ln 2 In 3) + (-1)nnln3,所以 S2n 二 bi + b2+- + b2n二 2(1 + 3+-+ 32n-1) + 1 +1 1 + -+ ( 1)2n(ln2 In 3) 1 32n+ 1 + 2 3+ ( 1 )2n2nln 3 = 2 x + nln 3 = 3勿 + nln 3 1.1 3丄由题悟法分组转化法求和的常见类型若亦二bnCn,且bn , Cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求(an)的前门项专业.专注bn, n为奇数，通项公式为an-的数列，其中数列bn , Cn是等比数

3、列或等差Cn, n为偶数数列，可采用分组求和法求和j以题试法1 - (2013威海模拟)已知数列Xn的首项人二3,通项Xn二2np+ nq(n N-, p, q为常数)，且X1, X4, X5成等差数列.求：(1) P, q 的值；数列Xn前n项和Sn的公式.解：由 Xi 二 3,得 2p + q 二 3,又因为 X4二 24p+ 4q ,X5二 25p + 5q ,且 Xi+ X5二 2X4,得 3 + 25p + 5q 二 25p + 8q,解得 p 二 1 , q 二 1 (2) 由(1),知 Xn二 2 + n ,所以 Sn二(2 + 22 + + 2n) + (1 + 2 + + n

4、)二 2n + 1 2 + n n +1211112数列1彳，34, 58, 7八6,的前n项和Sn%( ).A. n2 + 1 2 门1C n2 + 1 一1解析由题意知已知数列的通项为anZ12n- 1+，1 _n 1 +2n 121 2n 1=n2+ 1 1创1 答案C3已知等差数列an的前n项和为Sn,且Q3二5, Si5= 225.（1）求数列an的通项公式；设bn二2an + 求数列bn的前n项和Tn.解析：（1）设等差数列an的首项为a,公差为d,ai + 2d = 5,由题意，得15X14严+ 丁 d二浮= 1,-an 2n 1.解得d二 2,。b 2an+ 2n 2n, Tn

5、一 bl + b2+ +bn1(4 + 42+4n)+ 2(1 + 2+- + n)4n+1-422一+ n2 + n 一 一4+ n2 + n6334.设an）是公比为正数的等比数列，ai 2, a3 a2 + 4.求an的通项公式;设bn是首项为1,公差为2的等差数列，求数列an+ bn的前n项和Sn.解析设q为等比数列an的公比，则由ai 2, a3 a2 + 4得 2q + 4, 即孕一q - 2- 0,解得q 2或q - 1（舍去），因此q 2.所以an的通项为an =2n2= 2n(n N*)2nSn=人_人+ nX I廡刎式輝4+t 2k-i11*2n- 21、+1 N+ +1

6、1(D11 +1 + 一+一2)k 2 4+5.求和 Sn= 1 +1 1 1+2+4 石k项为时“+二个1厂1+ 2n 6数列an的前n项和为Sn,ai = 1,a2= 2, an+ 2-arp 1 + (一 1)n (n N*),贝 uSw。二答案2 600解析 由 n+ 2 an 二 1+(知 2k + 2 a2k= 2,a2k+i-a2k-i = 0,1 二 a3= as= - 二azn-i 二 1 ,数列a2k是等差数列，a*二 2k.S100 二(ai + a3+ a5+ + a99)+ + a4+ ae+ + aioo)100+ 2X50二 2 600.=50 + (2 + 4

7、+ 6+ 100)= 50 +7 求和：Sn二X+一 x9 25 X2 +1护1n 2+11+22 + 2s+ +2解D由于二八二十巧,一Sn 二1n n+1-1 -22n. J n n+ 11+ 二 +1.2 2(2)当 X二1 时，Sn=4n.当 XM 土 1 时,Sn 二 X + 丄 + X2+= F + X + 二 X(1X2 + 2 + -T +fX4 + 2 + -4+ +f12n+2+0 丿x丿0,解得n21.&!+念+念| + |a3o|二一(ai+ a2+ + a2o)+ (321 + + 83o)60 + 90 63 X30二S30 2S20=2 ( 60 + 60 63)

8、 X20 = 765.9. 数列an)的前n项和 Sn二 n? 4n + 2,则內 |+ |a2| + |ae| =.答案66解析当 n 二 1 时，ai 二 Si 二一1.当 n2 时an 二 Sn Sn - 1 二 2 fl 5.1n 二 1an 二2n 5 n25令 50,得n厂当 nw2 时，an0 ,*iai | + |a2| + + |aio| = (a+ a2)+ (a3+ a4 + + as)二 Sw 2 S2= 66.10. 数列an的通项公式为an二(-1 )n-1 - n- 3),则它的前100项之和s。等于()A. 200B. 200C. 400D400答案B解析 Si

9、oo 二(4 Xi 3) (4 X2 3) + (4 X3 3)(4X100 3)二 4X(1 2)+(3-4)+ +(99 100)二 4X( 50)二一200.11. (2012课标全国)数列an满足an+(-an二2n - 1，则佃的前60项和为答案1 830解析 an +1 + ( 1) na n= 2 n 1,二 1 + ai, a3二 2 ai, a4二 7 ai, a5二 ai, %二 9 + ai, a7二 2 ai, a8二 15 ai, a9二 ai, aio二 17 + ai, an 二 2 ai, ai2二 23 ai, , as7= ai, as8= 113+ ai,

10、 a59二 2 一 ai, a6o= 119 ai,3+ a2 + + a6o 二(ai + a2 + a3+ a4)+ (as+ a6+ az+ as) + (a57 + ass + as9 + a6o)二 10+ 26 + 42 + + 23415 X 10 + 234二二 1 830.212. 已知数列2 008,2 009,1 , 2 008, 2 009,这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 013项之和S2013等于()A. 1B. 2 010C. 4 018D. 0答案C解析 由已知得 an=an-1 + an+ 1 (n 2) ,.an+1

11、 二 anan-1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1 , 2 008 , 2 009 , 1 , 2 008,2 009.由此可 知 数列为周期数列，周期为 6,且 S6二 0.V2 013 二 6 X335 + 3,二& 013二 S3二 4 018.13.的方法，可求设 f(X)=x，利用课本中推导等差数列前n项和公式f(5)f(-4)f(0)ff(6)的值为A. 3、 2 B.、2 C. 22解：由于f(x) f(彳,则原式二丄 f(-5)f(6) f(-4)f(5)2ff(-5) J 12 =3.2,选 A2214数列an的前 n 项和为 Sn,满足：31=1 , 3tS

12、A (2t 3)Sn4 =3t,其中 tO,nN且n _ 2 (I)求证：数列a.是等比数列;设数列an的公比为f(t),数列bn满足b1=1,bn=f()(n_2),求bn的通项bnj(出)记二 b _硒 3 6364 一砧 520.b2nJ S Z求证一解(I-得：3tanAA(2t0(n an 2)又ai=1,30 a2) _(2t 3)q =3t,解得:2t +3a2 二3ta2a3a1a22t313t3n)当 n_2 时,3tSn-(2t - 3)SnA-3t,3tSn A(2t 3)Sn -3t 2t +3a，是首项为公比为”1的等比数列。23bni+20丄2t +3f(t),bnQt3222 1g七肓则L心丁丁 3(出)Tn=b2(bi一b3)b4(b3bs)b2n(b2n J b2m)4(D b4-bn)5 4n 14n(3 F勿 6).4(2 n? 3n)33_15.1002 -992 982 -97222-12的值是A. 2525B. 5050解:原式二(100 99) (98 97)C. 1010020200(2 1A5050,16.等差数列an的公差不为零，34- 7, 31, 32, a5成等比数列，数列Tn满足条件Tn二a34 + a8+-+ 32