历年概率论与数理统计试题分章整理

1、历年概率论与数理统计试题分章整理 第1章精选一、选择与填空11级31、设 P(A) 0.5，P(AB)=0.2，则 P(B A) 51、设代B,C为随机事件，贝U下列选项中一定正确的是D 。若P(A) 0 ,则A为不可能事件 若A与B相互独立，则A与B互不相容 若A与B互不相容，则P(A) 1 P(B) 若 P(AB) 0 ,则 P(BC A) P(B A)P(C BA)(A)(B)(C)(D)10级1.若A, B为两个随机事件，则下列选项中正确的是C(A) AU B B A(B) AU B BAp(0 p 1)，则此人第4次射(C) AUB B A(D) AUB B1. 某人向同一目标独立重

2、复进行射击，每次射击命中的概率为 击恰好是第2次命中目标的概率为 3p2(1 p)2_。3-的概率为22.在0,1中随机取数X，在1,2中随机取数y，则事件x 09级16451. 10件产品中有8件正品，2件次品，任选两件产品，则恰有一件为次品的概率为4 172. 在区间0,1中随机地取两个数，则事件两数之和大于-的概率为一5 251.设代B为两个随机事件，若事件 A, B的概率满足0 P(A) 1,0 P(B)P(A B)=(A)(C)08级P(A B)成立，则事件代B C .互斥(B)对立相互独立(D)不独立1、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意拨号, 为 _B。1(A)-10则拨

3、号不超过三次而接通电话的概率(B) -310(C) 9101、在区间0, L之间随机地投两点，则两点间距离小于1(D)8L的概率为-2407级1、10把钥匙中有3把能打开门锁，今任取两把钥匙，贝U打不开门锁的概率为7_ 。2 52、在区间0,1之间随机地取两个数，则事件两数的最大值大于-发生的概率为。3 9、计算与应用11级有两个盒子，第一个盒子装有 2个红球1个黑球，第二个盒子装有2个红球2个黑球，现 从这两个盒子中各任取一球放在一起，再从中任取一球。(1) 求这个球是红球的概率；1,2，于(2) 重复上述过程10次，记X表示出现取出的球为红球的次数，求 E(X2)。解答：(1)令事件A 取

4、得一个红球，事件Bi 从第i个盒子中取得一个红球， 是PB2)232413，P(AB1B2)1221P(A1P(B1B2)343，B1 B2)21211HB1B2)346，P(AB1B2)2121P(AHB1B2)B1 B2)0346由全概率公式有P(A) P(B2)P(A B1B2) P(B1B2)P(A B1B2)P(EB2)P(A B1B2) P(BR)P(A B1B2)712.4 分(2)X B(10，右)E(X) 102 2E(X ) D(X) E(X)10级735D(X)12 687510 12 121757224.4分1.已知a，b为两个随机事件，且p(a) 1，p(b) 5，

5、(1)P(A B) ；(2)P(A B) ；(3)PB(A B)。P(BA)-，求:5P(AB)1 3P(A) P(B) P(AB) 1 32 52 75 102分(2)P(AB) P(A)P(AB)1 2丄2分2 510(3)方法1: PB (AB) 1PB (AB) 1P(B)1 612分P(A B)771 42解答：(1) P(AB) P(A)P(B A)2 分2 55方法 2: PB(A B) P(BA) (BB)P(A B)P(A B) 1P(A B) 709级1.设A,B为两个随机事件，且有P(A) 0.4, P(B) 0.4, P(B A) 0.5，计算:(1) P(A) ;(2

6、) P(AB);解答：(1) P(A) 1 P(A)0.6 ;(2) P(B A) 1 P(B A) 1P(AB)P(A)(3) P B|(AU B)0.5，故 P(AB) 0.3 ;1分.2 分(3)P(B (AU B)11P(B (AU B)P(B)1 P(B(AUB) P(AU B)3P(AB) 7 .P(A)P(B)08级1、设A, B为两个事件，P(A)0.3，P(B) 0.4， P(AB)(1)P(A) ；(2)P(AB)；(3)P B (A B).解答:P(A) 1 P(A)0.7P(AB) P(A)P(AB)0.70.50.2P(B (A B)P(B(AB)P(AB)P(AB)

7、P(A) P(B) P(AB)0.210.7 0.60.540.5，求:07级2、设A, B,C为三个事件，且P A13，PAB 0，AC(1)解答:(2)1BC ，求：8P(C A) ；( 2)P(C B)；/八 I P(AC) 1 (1)P(C A)P(A) 2P(CB) P(C) P( BC)(3)A, B,C至少有一个发生的概率(3)P(C B)P(B) 1 P(B)P A,B,C至少有一个发生5 716P(AB C)P(A) P(B) P(C) P(AB)P(AC)1P(BC) P(ABC)-317024一、选择与填空11级2、设随机变量X服从正态分布N(,F( a) F( a)1。

8、10级2)， F(x)为其分布函数则对任意实数a，有3.设随机变量X与丫相互独立且服从同一分布：PX k PY kk 1T (k列，则概率5Px Y的值为908级2、设相互独立的两个随机变量X，布函数是 C 。(A) Fz(z) max Fx (z), Fy(z)(C) Fz(z)Fx(z)Fy(z)Y的分布函数分别为Fx(x)，Fy(y)，则Z max(X,Y)的分(B) Fz(z) maxFx z), Fy(z)(D) Fz(z) Fx(x)FyW)3、设随机变量X N(1,4)，Y N(0,1)，且X与丫相互独立，则A 。(A) X 2YN(1,8)(B) X 2YN(1,6)(C) X

9、 2Y N(1,2)(D) X 2Y N(1,1)07级1、已知随机变量X服从参数n 2 ,13的二项分布,F(x)为X的分布函数，则F(1.5)1(A)94(B) 9(C)I(D)二、计算与应用ii级1、已知随机变量X的概率密度函数为f(x)1_ 1 X20,x 1,X 1.求：(1)X的分布函数F(x)；(2)概率Px12解答：(1)F(x) PX xxf (t)dt当x1时，F(x)xf (t)dtx0dt0-xx11当1x1 时，F(x)f(t)dt1dt t2(arcsin xx11当x1时，F(x)f(t)dt1dt t21J10,x1综上,F(x)1(arcsi nx ),1 x

10、 11,x1(2)PX2 P1 X212F(1)F(1)3分1 1 1 1 1 arcs in(-) arcs in( )222232、设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)2x, 0 x 1,0,其他求随机变量Y X3的概率密度函数。解法1：fY(y)解法2：由于Y X3所以x h(y) 3 y，237 1y 32y330,y PX3 yfx(h(y) h(y)FY(y) PY 6分其他当 y 0时：Fy(v)0当 0 y 1 时：&(y) PX3 y PX 3 y当 y 1 时：FY(y) 12y故 fY(y) Fy (y)30,其他fx(x)dx3 y?02xdx y3.5 分10级

11、2.已知连续型随机变量(1)常数解答：(1)c；( 2)f (x)dxCe |x|dx(2)当x 0时,F(x)当 x 0 时，F(x)PX故X的分布函数F(x)(3) P1 X 3F(3)的概率密度函数f (x) Ce Ix ( X的分布函数Fx (x) ；( 3)PXx1exdx2xF(1)概率P1)，求：3。1分0 1-exdx2x10 21 xe2xdx1 1e23)23.设随机变量X在区间0,2上服从均匀分布，求随机变量1 ,0x220,其他的反函数为x “，故fx ( . y) ( . y),X2的概率密度函数fY(y)。答：fX(X)方法1：fy(Y)方法当y当o2xfxC、y)

12、 G. y)0,1 _1_2 2：y0,Fy(v)_1_4 y2：0 时：FY(y)y 4时：PY y0其他PX2yFy(v) PX2 yP y-Jy 11fx(x)dx 0p y当 y 4 时：Fy(y)故 fy(y) Fy (y)_1_ y0,其他09级2.设有三个盒子，第一个盒装有4个红球，1个黑球；第二个盒装有3个红球，2个黑球；第 个盒装有2个红球，3个黑球.若任取一盒，从中任取3个球。(1) 已知取出的3个球中有2个红球，计算此3个球是取自第一箱的概率；(2) 以X表示所取到的红球数，求 X的分布律；(3)解答：(1)3P(A)i 1sin X，求Y的分布律.2设 Bi“取第 i

13、箱”(i 1,2,3) ，A1 c： g1 1 c； c2P(Bi A)P(Bi)P(ABi)33 C5P( B) P(BJP(AB)23 C53“取出的3个球中有2个红球”，则c； c3c3(2)P(A)P(A)1 031 G31P(A)1 03C厂i c33 C53C；C；CT5130，因此,(3)因此,X0123P1311301026XP X0PX1P X23 1_310丫的分布律为Y101P183615108153.设连续型随机变量X的分布函数为0,Fx(x)bx2,a1, fx(x)；0,x 1,x 1.(1) 求系数a,b的值及X的概率密度函数(2) 若随机变量丫 X2，求丫的概率

14、密度函数fY(y).解答：(1)由于连续型随机变量的分布函数 F(x)是连续函数，因此:lim F(x) F(0)，lim F(x) F(1)，即得 a 0,b 1，x 0x 12x, 0 x 1,fX(X) Fx(X)0,其他.(2)(方法1)对任意实数y，随机变量丫的分布函数为：FY(y) PY2y PX y当y0时：Fy(y)0 ,当y0时：FY(y)PJ x.y Fx( J)Fx( ,y)，当0y 1 E吋：Fy(y) 、y0 y ,当y1时：F,y)1 0 1于是，fY(y) Fy(v)1, 00,y 1, 其他.*3分(方法2)fy(y)fx C, y) G. y)fx(.y) (

15、 . y),0 y 1，0,其他.2 2 2/y00,0 y其他.1， 1, 00,y 0,其他.3分08级2、已知连续型随机变量X的分布函数为0,x0F(x)ex3,0x1 ,1,x1x 2求：(1)常数e；(2) X的概率密度函数;(3)概率P 1解答:(1)(2)f(x)连续型随机变量的分布函数为连续函数,1 .7(3)P 123x , 0 x F (x)0,其他1 1x - f(2)f(1)3、设随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，求随机变量丫X 2的概率密度函数fy(y)。解答:fx(X)yx2的反函数为x y和xfy(y)fx(、y) G y)fx( . y) ( . y) ,

16、 y 00,y 01 e2-V.re 2汀0,y 00,07级2、已知连续型随机变量X的分布函数为0,x1F(x)abares inx,1x1 ,1,x1求(1)常数a和b ; (2) X的概率密度f(x) ； (3)概率P 2 X 0。解答：(1)由于连续型随机变量的分布函数 F(x)是连续函数，将1和1代入F(x)，得到关于a和 b的方程：0 F( 1) a2b，0 F(1)解得:(2)f (x)10,=2,xx1 1 b ；2， ；F(x)对x求导，得X的概率密度为(3)1P 2 X 0 = F (0) F( 2)。e2X的概率密度fy(y)。11x20其他23、设随机变量X在区间(1,

17、2)上服从均匀分布，求解答：(解法一)由题设知，X的概率密度为fx(x) 对任意实数y，随机变量丫的分布函数为:FY(y) PYyZ 2XPey当 y e2 时：FY(y)PY yPe2Xy 0 ；当e2 y e4时：FY(y) Pe2Xy px1 In y2丄Iny2 fX(x)dx1 In y2 dx11 In y 1 -2当 y e4 时：FY(y)PY y 2XPey 1故0,2y e1Fy(v)-Iny 1,2e y4 e1,4y e于是，124云e yefY(y)Fy(v)。0,其他(解法二)fY(y)1fx(;ln y)(g In y),y 0八 c*z20,y 01丄11In

18、y 2124eye2y22y0,其他0,其他一、选择与填空11级X在区间0,3上服从均匀分布,丫服从参数为2的指数分布,3、设随机变量X与丫相互独立,2则概率 P min(X,Y) 1 3e 。2、设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X与丫不相关，fx(x)、fY(y)分别为X、丫的概率 密度，则在Y y条件下，X的条件概率密度fX|Y(xy)为A。(A) f x (x)(B) J(y)(C) fx(x)fY(y)(D)10级3. 设随机变量X与丫相互独立且都服从参数为(A)参数为的指数分布(B)fx(x)fY(y)(0)的指数分布，则min (X,Y)服从 B参数为2的指数分布(C)参数

19、为-的指数分布、计算与应用(D) (0,)上的均匀分布11级3、设二维随机变量(X ,Y)的联合分布律为X10110Z00Z0打100(1)求概率P X(2)求X与丫的相关系数XY，并讨论X与丫的相关性，独立性。1 1 1 解答：(1) P X Y P X 1,Y0 PX1,Y0 .3 分442(2) EX 0,EY 0, E(XY) 0，故 cov(X,Y) 0, xy 0。因xy 0,故X与丫不相关。 2分由联合分布律显然Rj Rg Pgj，所以X与丫不独立。 2分1、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为Axy, 0 y x 1, g)0 ,其他.求：(1)常数A ;(2) (X,

20、Y)的边缘概率密度函数fY(y);(3) 在Y y的条件下，X的条件概率密度函数fX|Y(xy)；2 1(4) 条件概率PX - Y -。3 2f (x, y)dxdy 1解答：(1)1xdx Axydy 1 A 80 0.1 分.2 分(2)fY(y)18xydxf(x,y)dx y0,24y(1 y ), 0 y其他(3)当o y 1时,fxY(xy)=f(x，y)fY(y)(4)px 2丫 1322x订0, 巡dx 2 3其他727.2分10级1.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为Ax2 y, f(x, y) c0,x2 y 1其他求: (1)(2)(3)常数A ；(X,Y)的

21、边缘概率密度函数fy(y)；在丫 y的条件下，X的条件概率密度函数fx|Y(x y)；(4)条件概率PX 0Y2。解答：(1)f (x, y)dxdy(2)(3)(4)1dx11x22Ax ydxdy 1 AfY(y)f(x, y)dx214y 21 2 x ydx y 40,其他PX1 时，fxY(x y)= f (x,y)fY(y)3 2x y20,其他0Y丄2Tx2y2dxy 2 ylA2刼09级1.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为一e x y, x0,(2)试判断X与丫是否相互独立?f(x, y)o,y o, 其它.(1)求关于X的边缘密度函数fx(x)；(3)计算 P X

22、 Y 1 .解答：(1) fx(x)=f(x, y)dy7精选e x y dy, x 0,0ex, x 0,；4分0,x 0.0,x 0.e y（2）与（1）类似，易知fY（y）,y0，满足 f (x, y)fx（x）fY（y），因此X与丫相互独0,y0立；.4分11 xx y(3)PX Y 1= 0dx 0 e x y dy 12e12分某次抽样调查结果表明，考生的外语成绩X （百分制）近似服从正态分布X N（72, 2），并且分X01.02.03.0(x)0.5000.8410.9770.999P60 x 84(咚)解答：根据题意有,12 12()2()1=68.2%，故（空）0.841，

23、因此12，Px 96 1(兰)1(2)0.023 .08级1、设二维随机变量（X ,Y）的联合概率密度函数为f（x,y） _,0,x2y211、求: （ 1）（2）（3）其他（X，丫）的边缘概率密度函数fx（x）和条件概率密度 概率PY x；随机变量ZfY|x(y x)；解答：（1）fx(x) =X2 Y2的概率密度函数fz（z）。-dy,f (x, y)dy1 x1 x20,1其他0,x2,1 x 1其他(2)（3）当zx 1时:fYx(y x)f(x,y)fx(x)2/0,x2y2 1 ；其他PYXf (x, y)dxdyFz(z) PZ z Pf X 0时：2 Y2zFz(z)z 1 时

24、：Fz(z)f(x, y)dxdyw2y2 z当 z 1 时：Fz(z)1Sxdy数在60分至84分之间的考生人数占考生总数的 68.2%，试求考生的外语成绩在96分以上的概 率.因此，fz(Z) Fz(Z)2z,0 z 10, 其他07级1、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为Ax, 0 y x 1f(x,y)卄宀0 , 其它求(1)常数A ；(2) (X，丫)的边缘概率密度函数fY(y)和条件概率密度函数fX|Y(xy)；(3) 概率 PX Y 1 01.解答：(1)由于f (x, y)dxdy1，1x即dx0 0Axdy 1，推得 A 3。10 y 132(2) fY(y) =3

25、xdx,(1 y2), 0 y 1f (x,y)dxy2】八j0,其他0,其他2x0 y x 1当0 y1 时：fx|Y(xy)f(x，y)A 2，1 yfY(y)0,其他1 y1PX Y叮旳3xdx ；一、选择与填空11级3、将一枚质量均匀对称的硬币独立地重复掷 数，则X和丫的相关系数为 B on次，以X和丫分别表示正面向上和反面向上的次(A) 1(B)1(C) 010级2.设随机变量X服从参数为(A o(D) 0.50)的泊松分布，且PX 1PX 2，则D(X 1)的值为(B) 3(D)(A)09级2.设X和Y为独立同分布的随机变量,X的分布律为P X130-，P X 1-，令随机44(D

26、严16变量Zmax(X, Y)，则数学期望E(Z)13(A)-(B)-4 408级2、设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则PX2 1E(X 壬00,E(X2) E(Y2)2，则 E(X Y)2 63、设随机变量X和丫的相关系数为0.5, E(X) E(Y)07级2、 下面四个随机变量的分布中，期望最大，方差最小的是_B_。1(A) X服从正态分布N(5,?)(B) Y服从均匀分布U(5,7)1(C) Z服从参数为-指数分布(D) T服从参数为3的泊松分布63、若二维随机变量(X,Y)的相关系数xy 0,贝U以下结论正确的是 B(A)X 与Y 相互独立(B)D(X Y) D(X) D(Y)(C

27、)X 与丫互不相容(D)D(XY) D(X) D(Y) 13、设随机变量X服从参数为 的指数分布，则PX . DX =- oe二、计算与应用10级将2封信随机地投入2个邮筒，设随机变量X,Y分别表示投入第1个和第2个邮筒的信的 数目，试求：(1) (X,Y)的联合分布；(2) X的数学期望E(X)及方差D(X)；(3) (X , Y)的相关系数 ;(4)判断X , Y是否不相关.是否相互独立解答：(1)Y 一-X0120001/4101/2021/4004分(2) X与丫同分布，且X的分布为：X012P1/41/21431因此 E(X) 1，E(X2)-，D(X) -2 分22111(3) 方

28、法 1: E(Y) 1，D(Y) -，E(XY) -，cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y) -222故COV(X,Y)12 分* DX JDY方法2:由于X Y 2，即丫 X 2，X与丫存在线性关系，因此1o2分(4) 相关，不独立2分09级4.设随机变量X与Y的相关系数 1/4， D(X) D(Y) 1，令U X Y， V X aY，且 U与V不相关，求常数a.方法 1) cov(U ,V) cov(X Y,X aY)D(X) aD(Y) (a 1)cov(X,Y)1 a (a 1) .D(X) ；D(Yy 5(a 1)4由于U与V不相关，因此cov(U,V) 0，4分于是a 1.

29、2分精选(方法 2) E(UV) E(X Y)(X aY)2121 E(X)2 (a 1)-E(X)E(Y)a1 E(Y)242 2E(U)E(V) E(X Y)E(X aY) E(X) (a 1)E(X)E(Y) aE(Y)52、设随机变量1 X1和X2的分布律为X201X1101P11P111224244由于U与V不相关，因此cov(U,V) 0 ,4分于是a 1.2分08级并且 PX1X201。则 cov(U,V) E(UV) E(U )E(V) (a 1)(1) 求X1 , X2的数学期望以及方差；(2) 求 (X1,X2)的联合分布律；(3) 求X1，X2的协方差；(4) 判断X1，

30、 X2是否不相关，是否独立。1 1 1 解答：(1)E X1 0, E X2D X1D X21221224(2)-10101401410120(3) cov( X1,X2) E(X1X2) EX1 EX2 0 ；(4) 由 covgX) 0 知 X1X2 0 故 X1,X2不相关；又(X1,X2)联合分布律中不满足Pij PiPj，所以X1,X2不独立。设某企业生产线上产品的合格率为0.96，不合格品中只有-的产品可进行再加工，且再加4工的合格率为0.8，其余均为废品。已知每件合格品可获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均利润不低于 2万元，问该企业每天至少应生产多少产品？解答：每件产品的合格率为0.96 0.04 - 0.8 0.984，不合格率为0.016,设随机变量X表示生4产每件产品的利润，则X