z变换离散时间系统的z域分析

1、第八章z 变换、离散时间系统的 z 域分析章节第八章 z 变换、离散时间系统的 z 域分析 1-3 节日期教学目的理解 z 变换及其收敛域，掌握典型序列 z 变换教学重点典型序列 z 变换； z 变换的收敛域教学难点z 变换的收敛域教学方法讲授教学内容8.1 引言z变换方法的原理可以追溯到杰出的贡献。在离散信号与系统的理论中， 方程转化为简单的代数方程，使其求解过程得以简化。因此，其地位类似于连续系统中的拉氏变换。下面借助抽样信号的拉氏变换引出其定义。x(t )经均匀冲激抽样，则抽样信号 xs (t)为：xs(t) x(t) T (t) x(nT) (t nT)n0若连续因果信号18 世纪。棣

2、莫弗( De Moivre )、拉普拉斯( P.S.Lapalce)相继作出过z变换成为一种重要的数学工具。它把离散系统的数学模型差分nT)e stdt取拉氏变换：X s(s) 0 x(t)e stdt 0 x(nT) (t0 0 n 0x(nT) (t nT)e stdtn 0 0snTx(nT )e snT 0 (t nT)dt n 0 0x(nT )e snTn0令： z esT 或写作1lnTz ，且一般令 T 1 则：X(z) x(nT)z nn0x(n)z nn0(8-1)sze上式即为单边 z 变换。记为：X(z) Lx(n) x(n)z nn0x(0) x(1) x(2) zz

3、(8-2)8.2 z变换定义、典型序列 z 变换与拉氏变换类似，换为：z 变换也有单边和双边之分，对于一切 n只都有定义的序列 x(n) ，定义双边 z变X(z) L x(n)x(n)z n显然，如果 x(n) 为因果序列，则双边和单边是等同的。上面两式表明，序列的 z变换是复变量 z 1的幂级数(亦称洛朗级数) ，其系数是序列 x(n) 值。有 些文献当中也把 X(z) 称为序列 x(n) 的生成函数。由于离散时间系统非因果序列也有一定的应用范围，因此在着重介绍单边 z 变换的同时兼顾双边 z 变换分析。下面介绍一些典型序列的 (一)单位样值函数 定义为：z 变换。(n)(n 0)(n 0)

4、如图 8-1 所示。(n)10n 图 8-1 单位样值函数取 z 变换，得到：Z (n) (n)z n 1 n0 可见，与连续系统单位冲激函数的拉氏变换类似，单位样值函数的 z 变换等 于 1。二)单位阶越序列定义为：u(n)(n 0)(n 0)u(n)1n 0n 图 8-2 单位阶越序列如图 8-2 所示。取 z 变换，得到：Zu(n) u(n)z n z n n 0 n 0 若|z| 1 ，该几何级数收敛，它等于Zu(n)zz1x(n) nu(n)已知，当 |z| 1时有：Zu(n) z nn0x(n)0n 图 8-3 斜变序列(三)斜变序列 斜变序列为：如图 8-3 所示。取 z 变换，

5、得到：Zx(n) nz n n0 该变换可以用下面的方法间接求得。将上式两边分别对 z 1 求导，得到：两边各乘 z 1 ，就可得到斜变序列的n(z1)n1n0z 变换：Z nu(n)nz nn01(1 z 1)2z(z 1)2(|z| 1)同样，若对上式再对z 1 求导，可以得到：Zn2u(n)z(z 1)(z 1)3 / 213z(z2 4z 1)Zn3u(n) z(z(z 41)z4 1)(四)指数序列 单边指数序列：x(n) anu(n)x(n)如图 8-4 。取 z 变换，得到：Zanu(n)anz n(az 1) n0n图 8-4 单边指数序列n0若满足： |z| | a |，则可

6、收敛为：Zanu(n) 1 1az 1 zza若令 a eb，当|z| |eb |时，则：同样，对单边指数序列变换式两边对Zabnu(n)z bze z 1 求导，可以求得：1Znanu(n) (1 aazz 1) 2Zn2anu(n)az(z a)2 az(z a)(z a)3(五)正余弦序列单边余弦序列 cos( 0n)如图 8-5所示。因为：Zabnu(n)z b (| z| |eze 令 b j 0 ，则当 |z| |ej 0 | 1 时，得：|)同样，令 b j 0 ，则得：Zaj 0nu(n) z zej 0Za j 0nu(n)zz e j0将上两式相加，得：Za j 0nu(n

7、) Za j 0nu(n)由 z变换的定义可知：两序列之和的 z 变换等于各序列 到余弦序列的 z 变换：zzz ej 0 z e j 0 z 变换的和。根据欧拉公式，从上式可以直接得Zcos( 0n)u(n) 21 z zej 02 z ej 0zz e j 0z2 2zcos 0 1z(z cos 0 )同理可得正弦序列 z 变换：1zZsin( 0n)u(n)j 02j z ej 0 以上两式得收敛域都为： | z| 1。zz e j0zsin 0z2 2zcos 0 1在指数序列的变换式中，令 a e 0 ，则有：同理：Z na j 0nu(n)1 ej 0z 1Z na j 0 nu

8、(n)借助欧拉公式，有上面两式可以得到：1 z 1 cos 01 2 z 1 cos 0 2 z 2 z 1 sin 01 2 z 1 cos 0 2 z 2 上面两式就是单边指数衰减 ( 1) 及增幅 ( 1)的余弦、正弦的Z n cos( 0n)u(n)Z n sin( 0 n) u( n)z(z cos 0)z2 2 zcos 0 2zsin 0z2 2 zcos 0 2z 变换。收敛域为： | z| | | 。一些典型的单边 z 变换列于附录五。8.3 z 变换的收敛域只有当级数收敛时， z变换才有意义。对于任意给定的有界序列 x(n) ，使 z变换定义式级数收敛 之所有 z 值的集合

9、，称为 z变换的收敛域( region of convergence ，简写为 ROC)。对于单边变换，序列与变换式一一对应，同时也有唯一的收敛域。而在双边变换时，不同的序列在 不同的收敛域条件下可能映射为同一个变换式。也即：两个不同的序列由于收敛域不同，可能对应于相 同的 z变换。因此，为了单值的确定 z变换所对应的序列，不仅要给出序列的 z 变换式，而且必须同时 说明它的收敛域。在收敛域内， z 变换及它的导数是 z的连续函数，即 z变换函数是收敛域内每一点上 的解析函数。双边 z 变换的表达式满足收敛的充分条件是绝对可积：| x(n)z n | n 上式左边构成正项级数，有两种方法判定收

10、敛性：比值判定法和根值判定法。若一个正项级数为|an | ，判定其收敛的方法为：n比值判定：lnim n |an |当1时级数收敛，当1时级数发散，当1 时无法判定。利用上述判定方法讨论几类序列的收敛域。( 1)有限长序列 这类序列只在有限区间( n1 n n2)内有非零的有限值，此时 z 变换为： n2z 时，若 n 0 ，则 z n ； z 0 时，若 n 0，则 z n。当 n1, n2都大于 0 时，收敛域包括 ； 当 n1, n2都小于 0 时，收敛域包括 0。X(z) x(n)z n n n1 上式是一个有限项级数。 当 n1 0,n2 0时，收敛域为 z且 z 0，即： 0 |z

11、| ；当 n1 0,n2 0时，收敛域为 z，即： |z| ；当 n1 0,n2 0时，收敛域为 z 0，即： |z| 0。( 2)右边序列这类序列是有始无终的序列，即当 n n1 时， x(n) 0 ，此时 z变换为： / 21由根植判定法，该级数收敛应满足X (z) x(n)z nn n1lim n | x(n)z n | 1 n即：| z| nlim n |x(n) | Rx1n其中， Rx1 是级数的收敛半径。可见，右边序列的收敛域是半径为Rx1的圆外部分。若 n1 0 ，则收敛域包括 z ，即 | z | Rx1 ；若 n1 0 ，则收敛域不包括 z ，即 Rx1 | z |。显然，

12、当 n1 0 时，右边序列变成因果序列，也就是说，因果序列是右边序列的一种特殊情况。(3)左边序列这类序列是无始有终的序列，即当 n n2 时， x(n) 0 ，此时 z变换为： n2X ( z)x(n)z n进行变量代换可得：X (z) x( n)znn n 2由根植判定法，该级数收敛应满足lim n | x( n)zn |1n即：Rx2 的圆内部分。|z| lnim n | x( n) | 其中， Rx2 是级数的收敛半径。可见，右边序列的收敛域是半径为若 n2 0 ，则收敛域不包括 z 0 ，即 0 | z | Rx2 ；若 n2 0 ，则收敛域包括z 0 ，即 | z | Rx 2 。

13、4)双边序列 般写作：该式可以看作是右边序列X ( z)x(n) z n第一项) 和左边序列1x( n) z nx( n) z nn 0 n 第二项) 的叠加。 收敛域为两部分收敛域的重叠部分：Rx1 | z| Rx2其中 Rx1 0,Rx2。所以，双边序列的收敛域通常是环形。若Rx1 Rx2 ，则该序列不收敛。以上可以看到，收敛域取决于序列的形式。 P52 表 8-1 列出了几类双边变换的收敛域。例 8-1 求序列 x(n) anu(n) bnu( n 1) 的 z变换，并确定它的收敛域(其中 b a 0)。解：这是一个双边序列。 先求单边 z 变换：X(z) x(n)z nanu(n) b

14、nu( n 1)z nan z nn 0 n 0 n 0如果 |z| a ，则该级数收敛，可得到：n n z X(z) a zn 0 z a 其零点位于 z 0 ，极点位于 z a ，收敛域为 |z| a。再求双边 z 变换：X(z) x(n)z nanu(n) bnu( n 1)z nn - n -1n n n n a z b z n 0 n0n n n n a z 1 b z n 0 n 若|z| a且|z| b ，则该级数收敛，可得到：X(z) z 1 b z z z a z b z a z b 其零点位于 z 0及 z (a b) / 2，极点位于 z a及 z b ，收敛域为 b |

15、z| a。注： z变换 X ( z)在收敛域内是解析的，因此收敛域内不应该包含任何极点。通常，收敛域以极点 为边界。对于多个极点的情况，右边序列的收敛域是从X(z) 最外面(最大值)有限极点向外延伸至z (可能包括 )；左边序列的收敛域是从 X (z) 最里面(最小值) 非零极点向内延伸至 z 0(可 能包括 z 0 )。备 注 / 21章节第八章 z 变换、离散时间系统的z 域分析 4-5 节日期教学目的掌握 z 变换基本性质以及逆变换的求法教学重点z 变换基本性质以及逆变换的求法教学难点逆变换的求法教学方法讲授教学内容8.4 逆 z 变换若X(z) L x(n) ，则 X ( z)的逆变换

16、记作 L 1 X (z) ，它由以下围线积分给出：1 1 n 1x(n) L 1X(z)CX(z)zn 1dz2 j CC 是包围 X (z)zn 1 所有极点之逆时针闭合积分路线，通常选择z平面收敛域内以原点为中心的圆。证明略。求逆变换的计算方法有三种。(一)留数法(围线积分法)借助于复变函数的留数定理，可以把逆变换的积分表示为围线C内所包含 X(z)zn 1的各极点留数之和。即：x(n) 1 X(z)zn 1dzX(z)zn 1在C内极点的留数 2 j C m或简写为：z zmx(n)Res X(z)zn 1m式中， Res 表示极点的留数，zm为 X(z)zn1的极点。若 zm 为一阶极

17、点，则若 zm 为 s 阶极点，则ResX(z)zn 1z zm (z zm)X(z)zn 1z zmmResX(z)zn1zzz zm)sX(z)zn 1z zm例 8-2 已知 X(z) (z3z1)(z5z2) ,1 z 2，求 x(n) Z 1 X(z)。(z 1)( z 2)解：因为X(z)zn1(3z 5) zn (z 1)( z 2) 1)当 n 0时，围线内只有 z 1 这个极点。所以x(n) ResX(z)zn 1z 1(3z 5) znz22z1n 1围线内所有极点z 2 。根据留数的性质：2)当 n 0时， z 0, z 1均为围线内的极点。所以x(n)Res X (z)

18、z本题中围线内有两个极点 z 0, z 1 ，围线外有一个极点Res X (z) z 围线内所有极点ResX (z) z 围线外所有极点因此可以求得：2nz2x(n)ResX(z)zn 1z 2(3zz 51)z综合( 1)(2)可以得到：x(n) 2u(n) 2nu( n 1) 这道题说明，在应用留数法求逆变换时，应当注意收敛域内围线所包围的极点情况，特别应关注对 不同的 n 值，在 z 0处的极点可能具有不同的阶次。另外，收敛域的不同也会得到不同的结果，如书 上 P56,例 8-2 。(二)长除法(幂级数展开法)因为 x(n) 的 z 变换定义为 z 1 的幂级数X(z) x(n)z nN

19、(z),D(z) 。若收敛域为 |z| Rx1，则 若收敛域为 | z| Rx2，则 N(z),D(z)所以，只要在给定的收敛域内把 X (z)展开成幂级数，级数的系数就是序列x(n) 。一般情况下， X (z)是有理数，令分子、分母多项式分别为1N(z),D(z)按z的降幂(或 z 1的升幂)次序排列， 进行长除法； 按 z的升幂(或 z 1 的降幂)次序排列，进行长除法。2例 8-3 求 X(z)2z ,|z| 1的逆变换 x(n)。z1解：根据收敛域可将 X (z)展开成按 z的降幂排列的形式：X(z)2 z z2 1进行长除法可得： X(z) 1 z 2 z 4 z 61所以： x(n

20、) 121 ( 1)nu(n)例 8-4 求收敛域分别为 |z| 1,|z| 1两种情况下，解：对于 |z| 1， X ( z)相应的序列x(n) 是因果序列进行长除法可得： X(z) 1 4z 1得到： x(n) (3n 1)u(n)1 2z 11 2z1 z 2 的逆变换 x(n)。右边序列) ，这时 X(z)写成按 z的降幂排列：X(z)1 2z 1X(z) 1 21 2z z7z 2(3n 1)z nn0x(n) 是左边序列，这时 X(z)写成按 z的升幂排列：2z 1 1X(z) 2 1z 2 2z 1 11 进行长除法可得： X(z) 2z 5z2(3n 1)zn(3n 1)z n

21、n 1 n对于 |z| 1， X(z)相应的序列得到： x(n) (3n 1)u( n 1)(三)部分分式展开法这里，部分分式展开法类似于拉氏变换中的部分分式展开法，不再细述，需要说明的是，z变换的 / 21基本形式是 z ，所以在使用 z 变换部分分式展开法时， z zm通常是将 X(z) 用部分分式法展开，然后 z每个分式乘以 z ，这样对于一阶极点， X ( z)便可以展开成z 的形式。 z zm例 8-5 已知 X (z)2z2 1.z5z 0.5,|z| 1，求 x(n)。解：2A2zz 2 1.5z 0.5 z 0.5 z 1X(z)式中：因此A1A1Xz(z) (z 0.5)zA

22、2Xz(z) (z 1)z1z 0 .52z1X ( z)z 1 z 0.5 由于收敛域 |z| 1，所以 x(n) 是因果序列(右边序列) ，因此x(n) (2 0.5n )u(n)z3 2z2 1例 8-6 已知 X(z),|z| 1，求 x(n)。z(z 1)( z 0.5)解：X (z)z3 2z2 1 2 6 822zz2 (z 1)(z 0.5) z213z z 1 z 0.5所以13zX (z) 2 6 8 zz z 1 z 0.5容易求得：x(n) 2 (n 1) 6 (n) 8 13(0.5) nu(n) 部分逆变换列于表 8-2,3,4( P60)。8.5 z 变换的基本性

23、质(一)线性 表现在叠加性与均匀性，若：Zx(n) X(z)， (Rx1 |z| Rx2)Zy(n) Y(z)， (Ry1 |z| Ry2)则：Zax(n) by(n) aX(z) bY(z)， (R1 |z| R2)其中， R1 max(Rx1, Ry1 ) ， R2 min( Rx2 , Ry2 ) 。相加后序列收敛域一般为两个收敛域的重叠部分， 然而，如果在这些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。例 8-7 求序列 anu(n) anu(n 1) 的 Z 变换。解：设x(n) anu(n) ， y(n) anu(n 1)已知：X(z) z (|z| |a|) za而：n n

24、 n aY(z) y(n)z nanz n (|z| |a|)n 0 n 1 z a所以：Lanu(n) anu(n 1) X(z) Y(z) 1收敛域变大，扩展到整个z 平面。例 8-8 求序列 cos(n 0)u(n)和sin(n 0)u(n)的Z 变换。 解：已知cos(n 0)u(n) 1(ejn 0 e jn 0 )u(n)2Zejn 0u(n)z j 0 |z| 1ze0jnzZe jn0u(n)zj 0|z| 1ze0因此：Zcos(n 0 )u(n)zz z(z cos 0)z e j 0 z2 2zcos 0 1|z| 1Zsin(n 0)u(n)2zzsin 02zcos

25、0 1|z| 1(二)位移性位移性表示序列位移后的 Z 变化与原序列 Z 变换的关系。 实际中可能遇到序列的左移 (超前) 或右 移(延迟) 两种情况， 所取的变换形式又可能有单边与双边变换， 他们的位移性基本相同， 又各具特点， 分以下情况讨论。(1)双边 Z 变换设序列 x(n) 的双边 Z 变换为 Zx(n) X(z) ，则Zx(n m) z m X(z)证明：根据定义Z x(n m) x(n m)z n z m x(k)z k z mX(z) nk同理可得到：Zx(n m) zmX(z) 由以上特性可以看出， 序列位移只会使 Z 变换在 z 0或 z 处的零极点发生变化。 如果 x(n

26、) 为双边 序列，则 X ( z)收敛域为环形区域，在这种情况下序列位移并不会使Z 变换收敛域发生变化。(2)单边 Z 变换 若 x(n)是双边序列，其单边 Z 变换为 Zx(n)u(n) X(z)。则m1Zx(n m)u(n) zmX(z)x(k)z kk0 / 21证明：根据单边 Z 变换的定义，可得Z x(n m)u(n) x(n m)z n z m x(n m)z (n m)n 0 n 0 m1 zm x(k)z k zm x(k)z k x(k)z k k m k 0 k 0m1zmX(z)x(k)z k k0同样可以证明右移序列：1Zx(n m)u( n) z mX (z)x(k)

27、z k km1对于因果序列，由于x(k )z k 为零，于是对于右移序列有kmZx(n m)u(n) z m X(z)而左移序列的 Z 变换不变。y(n)。例 8-9 已知 y(n) 0.9y(n 1) 0.05u(n)，边界条件 y( 1) 0，用 Z 变换法求系统响应解：对方程式两端分别取Z 变换，注意使用到位移定理。1 0.05zY (z) 0.9z 1Y(z)z1Y(z) ( z 0.9)( z 1)0.05z2为求逆变换，令Y(z)z (z 0.9)( z 1)0.05zA1A2( z 0.9) (z 1)容易求得：A1 0z.051zz10.45z 0.90.05zz 0.90.5

28、z10.45z 0.5z z (z 0.9) ( z 1) y(n) 0.45 (0.9)n 0.5u( n)A2Y(z)(三)时间反转特性若 L x(n) X (z) ， 证明：则 Zx( n) X (z 1)Zx( n) x( n)z nx(n)(z 1) n X (z 1)(四) 序列线性加权( z 域微分) 若已知 Z x(n) X(z) ，则：dZnx(n) zddz X(z)证明：对 Z 变换式两边求导z 1 nx(n)z n01Lnx(n)dX(z) d x(n)z n x(n) d z ndz dz n 0 n 0 dz因此有：dZnx(n)zddz X(z)利用上式可以得到：

29、Zn2x(n) zddzZnx(n) zddz zddzXdz dzz2 ddz2 X(z)zddzX(z)同样道理可以得到：符号 dzdzdzdzz d z d dz dzZnmx(n)zdz X(z)zdz X(z) 共求导 m次。例 8-10 求斜变序列 nu(n) 的 Z 变换。 解：dd Znu(n) z d Zu(n) z ddz dz z 1 (z 1)(五) 序列指数加权( z 域尺度变换)Zanx(n) X az (Rx1若已知 Z x(n) X(z) (Rx1 |z| Rx2 ) ， a为非零实数，则：a Rx2)证明：Zan x(n)anx(n)z nn0x(n)n0Xa

30、同样可以得到：Za n x( n) X(az) (Rx1 |az| Rx2)Z( 1) n x(n) X( z) (Rx1 | z| Rx2)(六) 初值定理若 x(n)是因果序列，已知 Zx(n) X(z) x(n)z n ，则： n0x(0) lim X(z) z证明：因为X(z) x(n)z n x(0) x(1)z 1 x(2)z 2 n0当 z ，上式中除了第一项外，都趋于零。所以结论得证。(七) 终值定理若 x(n)是因果序列，已知 Zx(n) X(z) x(n)z n ，则：n0x( ) lim x(n) lim ( z 1)X(z)n z 1证明：因为 / 21Zx(n 1)

31、x(n) zX(z) zx(0) X(z) (z 1)X (z) zx(0)取极限得到：lim(z 1)X (z)x(0) lim x(n 1 x(n) z n z 1n 0x(0) x(1) x(0) x(2) x(1) x(3) x(2) x( )所以可以看出，终值定理只有当 单位圆内(在单位圆上只能位于 zlim x(n) lim( z 1)X (z) n z 1n 时 x(n)收敛才可应用。也就是说，要求 X(z) 的极点必须处在 z 1 点且是一阶极点) 。例如 X(z) ，则 x(0) lim X (z) 1，而 x( )不存在，因为有极点 z 1。 z 1 z以上两个定理的应用类

32、似于拉氏变换， 如果已知序列 x(n) 的 Z 变换 X ( z) ，在不求逆变换的情况下， 可以利用这两个定理方便的求出序列的初值和终值。(Rx1 | z| Rx2) (Rh1 | z| Rh2 )(八) 时域卷积定理 已知两序列 x(n), h( n) ，其 z变换为Z x(n) X(z) Z h( n) H (z) 则：Zx(n)* h(n) X(z)H(z)或写作：-1x(n)* h(n) Z-1X(z)H(z)一般情况下，其收敛域是两收敛域的重叠部分，即max(Rx1,Rh1) |z| min(Rx2,Rh2) 。若位于某一 z变换的极点被另一 z 变换的零点抵消，则收敛域将会扩大。

33、证明：Zx(n) * h(n) x(n)* h(n)z nx( m)h(n m)z nnmx(m) h(n m)z (n m) z mmnx(m)z mH (z)mX(z)H (z) 可见两序列在时域中的卷积等效于在z 域中两序列 z变换的乘积。例 8-11 求下列两单边指数序列的卷积：x(n) a nu(n), h(n) bnu(n) 。解：因为X(z) z (|z| |a|); H(z) z (|z| |b|)z a z bz2Y(z) X(z)H(z) (z a)(z b)显然，其收敛域为两收敛域的重叠部分。用部分分式法求逆变换1Y(z)az bz 例 8-12 求下列两序列的卷积：a

34、b z a z by(n) x(n)* h(n) 1 (an 1 bn 1)u(n)abx(n) u(n),h(n) anu(n) an 1u(n 1) 。解：已知X(z) zz1(| z| 1);H (z)z1zz 1a (|z| |a|)Y(z)X(z)H(z) z 1 z a z a y(n) anu(n) 显然，零极点相消了，若 |a| 1 ，则收敛域比两收敛域重叠部分要大。(| z| |a|)则：(九)序列相乘( z 域卷积定理) 已知两序列 x(n),h(n) ，其 z 变换为Lx(n)Lh(n)X(z) (Rx1 |z| Rx2) H (z) (Rh1 |z| Rh2)1Lx(n

35、)h(n) 21j21j C1 X vz H(v)v 1dv或写作：Lx(n)h(n) 1 C X(v)H z v 1dv2 j C2vz 变换一些主要式中， C1,C2 分别为 X z, H(v) 或 X(v),H z 收敛域重叠部分内逆时针旋转的围线。 vv这里对收敛域和积分围线的选取限制较严，从而限制了它的应用。这里不再细讲。 性质列于表 8-5( P73)。 / 21章节第八章 z 变换、离散时间系统的z 域分析 6-8 节日期教学目的使用 z 变换分析系统教学重点z 变换解差分方程；离散系统的系统函数教学难点z 变换解差分方程教学方法讲授教学内容8.6 z变换与拉普拉斯变换的关系三种

36、变换域方法之间有着密切的联系， 在一定条件下可以相互转化。 第四章讨论过拉氏变换与傅氏 变换的关系，现在研究 z 变换与拉氏变换的关系。（一） z 平面与 s 平面的映射关系z 变换定义的时候有 z 与 s 的关系：sT 1z e 或 s ln zT式中， T 是序列的时间间隔。为了说明 坐标的形式，即：s z 的映射关系，将 s 表示成直角坐标形式，而把 z 表示成极sj z re j因此有：re j e( j )T于是得到：r e T e2sT 2 s上式表明 s平面上任一点 s0映射为 z平面上一点 z es0T 。特殊情况下， s z平面有如下应设关系：（1）s平面上的虚轴（0,s j

37、 ）映射到 z平面是单位圆，其右半平面（0 ）映射到 z平面是单位圆的圆外，而左半平面（ 0 ）是单位圆的圆内。（2）s平面上的实轴（0,s ）映射到 z 平面是正实轴，平行于实轴的直线（ 为常数）映射k到 z平面是始于原点的辐射线， 通过 j s （k 1, 3, ） 而平行于实轴的直线映射到 z平面是负实轴。2s z平面映射关系如表 8-6（P75）。（3）由于 e j 是以 s为周期的周期函数，因此在 s平面上沿虚轴移动对应于 z平面上沿单位圆周期性 旋转，每平移 s，则沿单位圆转一圈。所以 s z映射并不是单值的。P76图 8-11说明了上述映射关系。掌握上述映射关系，容易利用 s域中

38、零极点分布与系统性能的类似方法研究离散时间系统函数z 平面特性与系统时域特性、频响特性以及稳定性的关系。（二） z 变换与拉氏变换表达式之对应 此部分内容讨论能否借助 X（s）写出 X（z） 。以下分析中，必须注意对于连续时间信号的突变点函 数值与对应序列样值的区别。若连续时间信号 x?（t）由 N 项指数信号相加组合而成，即： NN x?（t）x?i （t）Aiepit u（t）i 1 i 1其拉氏变换为：N AiL x?（t）Aii 1 s pi若序列 x（nT）是对 x?（t）的抽样信号，由 N 指数序列相加组合而成，即：NNx(nT) xi(nT)AiepinTu(nT)i 1 i 1

39、其 z 变换为：N Zx(nT) i1 x(nT )的样值等于 x?(t)在t nT 各点之抽样值。 此点波形发生跳变。具体讲，对于任意 i 值有：0, Ai2 Aiepitx?i (t)xi (nT)可以看出，按抽样规律建立二者联系时必须在Ai1 epiT z 1然而在 t 0(n 0) 点违反了这一规律， 原因是在(t 0)(t 0)(t 0)(n 0)(n 0)(n 0)0,AiAiepinT0 点补足 Ai /2 ，即：xi (nT)u(n)x?i(t)u(t)|t ntn 0例 8-13 已知 x(t) e atu(t), X(s)1x?i(t)u(t)|t nt Ai /2 n 0

40、,求抽样序列 e anTu(nT )的 z变换。 sa解：只有一个一阶极点 s a ，因此X(z) 1 aT1 z e0例 8-14 已知 x(t) sin( 0t)u(t),X(s)2 0 2 ,求抽样序列 sin( 0nT)u(nT)的 z变换。s0解：显然，极点位于 s j 0 ， X(s) 可展成部分分式jz 1 sin( 0T)X(s) s j2s j 0jjX(z) 12 jT 12jT 1 2X(z)1 z 1ej0T1 z 1ej0T1 2z 1cos(0T)z 2这种对应规律在借助模拟滤波器原理设计数字滤波器是会很有用。 P79表 8-7列出了常用连续信号 的拉氏变换与抽样序

41、列 z 变换的对应关系。8.7 利用 z 变换解差分方程这种方法的原理是基于 z 变换的线性和位移性， 把差分方程转化为代数方程， 从而使求解过程简化。 线性时不变离散系统的差分方程一般形式是NMak y(n k)br x(n r)k 0 r 0 将等式两边取单边 z 变换，并利用 z变换的位移公式可以得到：N 1 M 1akz kY(z)y(l)z l br z rX(z) x(m)z mk 0 l k r 0 m r / 21若系统为零输入响应，则Nak y(n k) 0 k0是，对应的响应序列是上式的逆变换，即：Nakzk0Y(z)1kY(z)y(l )z l 0lkNak z kk0N

42、kakzk01y(l)z l lky(n) Z 1Y(z)显然这是零输入响应，该响应由系统的起始状态y(l)( N l 1) 而产生的。若系统为零起始状态，即 y(l ) 0( N l NM k ak z kY(z) k 0 r 0 若激励信号为因果序列，上式可变成：1) ，则：1rmbr z r X (z)x(m)z mmrNMakz kY(z)br z rX(z)k 0 r 0是，Mbr z rY(z) X (z) rN0X(z)H (z)kakzk0这里，Mbr z rr0H ( z) rN0称为系统函数，是由系统的特性所决定的。此时对应的序列为：k akz k0y(n) Z 1X(z)

43、H (z) 这里得到的是系统的零状态响应，它完全是由激励产生的。综合以上两种情况可以看出，离散系统的总 响应等于零输入响应与零状态响应的和。例 8-15 离散系统为 y(n) by(n 1) x(n)，若激励 x(n) anu(n) 。1)起始值 y( 1) 0 ，求响应y(n) 。2)起始值 y( 1) 2 ，求响应y(n) 。解：(1)对差分方程两边取单边z 变换：Y(z) bz 1Y( z) by( 1) X (z)由于 y( 1) 0 ，所以Y(z) bz 1Y(z) X (z)Y(z) 1Xb(zz)1已知 X(z) zza(| z| |a|) ，于是z2az bz由于该系统处于零状

44、态，(2)此时Y(z)(z a)(z b)y(n) 1 (an 1 bn 1)u(n) ab 所以系统的完全响应就是零状态响应。Y(z) 1 bz 11X(z) by( 1)1 bz 1 (z a)(z b) z b az bz 2bz a b z a z b z bz22bzy(n)1 (an 1 bn 1) 2bn 1 (n 0) ab8.8 离散系统的系统函数(一)单位样值响应与系统函数上节已给出系统函数的形式为H (z)Y(z) X(z)Mbr z r r0Nakz kk0它表示系统的零状态响应与激励的z 变换的比值。将上式分子与分母多项式经因式分解可写为：M(1 zrz 1)H(z)

45、 G rN 1 1(1 pkz 1) k1单位样值响应的卷积表示：y(n) x(n)* h(n)由时域卷积定理Y(z) X(z)H (z)则y(n) Z 1X(z)H(z)其中H (z) Zh(n) h(n)z n n0其中 zr,pk是 H ( z)的零极点，它们由差分方程的系数 ak,br 决定。利用系统函数可以求系统的零状态响应(除了使用卷积方法外) 。系统的零状态响应可以用激励与 例 8-16 求下列差分方程描述系统的系统函数和单位样值响应：y(n) ay(n 1) bx(n)解：将差分方程两边取 z 变换：Y(z) az 1Y(z) ay( 1) bX(z) / 21Y(z)(1 az 1) bX ( z) ay( 1) 如果系统处于零状态，即 y( 1) 0 ，则：z变换函数 X ( z)的形式反映了时间函数H(z) YX(zz) 1 baz 1 zbza X ( z) 1 az 1 z a h(n) ban u(n) (二)系统函数的零极点分布对系统特性的影响 (1)由系统函数的零极点分布确定单位样值响应