伯努利方程推导解析

1、第三章流体动力学基础3.1流体流动的描述.分类3.2流体流动的连续性方程3.3理想流体运动的微分方程3.4理想流体沿流线的伯努例方程3.5理想流体沿流线的伯努例方程3.6粘性流体的运动微分方程飒-加叫一加血-X 嚳砂生& 一 “丄Q丄 X-r-2-说明：对不可压缩的和可压缩的理想流体均适用。一般地，质量力是已知的，式中共有未知数五个：A P， b S 匕 以上三个方程式，若加上连续性方程及状态方程就构成 问题的完备方程组，再根据具体问题的初始和边界条件, 就从理论上提供了求解这五个未知数的可能性.二 G!；、3.4理想流体沿流线的伯努利方程Z意义：反映了在重力作用下的理想不可压缩流体稳定流 动

2、中，沿同-流线上，单位重量流体具有的位能、压能 和动能的相互转换和守恒关系.在科学史上，父子科学家、兄弟科学家并不鲜见，然而，伯努利家族3代人中产生了 10多位数学家、科学家，出类拔萃的至少有3位。一、公式冷导对于欧拉方程，考虔以下特殊条件：1 理想流体；2.稳定流动；3不可压缩流体;4.质童力只有重力；5质点沿一条特定流线运动。丄並=叫p dx dt租疋流动Xdx- dx =pdx叫生如叫飢如讥竺次dxdydz两边乘以dx沿流线移动，流线微分方程式vdv = vdx. Vv dz =匕讥 v dx = vdzXVV.Xv.1 dp.d.匕.d.、Xdx- di - i( dx + t/v +

3、 (L) p dxdx dy&v*类似的，=d=J()Ydv= /() pdy2Zdz-dz = d(-) p dz2Xdx- -dx = /() p ex21 dpv；三式相加,pay2I dpv2Zdz-丄丄灰=d(丄) p dz2(Xdx + n/y + 处)-(挈p ex稳定流 b : dp = dxdy + dzdx dy dz质量力只冇币:力：X = Y = 0, Z=-g不可压缩流：p = constp v2gZ d(L) = d()P 2彖爲兵/_gdz_d（2） = （P 2积分：d（上）=（?）JPi p2有Z| + + y = Z2+ +y 2gY 2g或 z +邑+ =

4、 Gy 2g理想it体沿流线的伯努利丽了一流体的重度，N/m3;f常数：1和2同i流线上的两点；+!；、1、写岀理想流体沿流线的伯努利方程2、写出理想流体在丫方向上的欧拉方程3、试从欧拉方程推导们努利方程（要求 以微尤体在丫方向上的受力为例作详细推 导）宗爲兵9伯努利方程中各项的物理意义和几何意义总水头復” +卩+厂rb/厂b丿”0 pgy乙kiC三项具有长度的啟纲，农示某种高度I国水头找c单位重量流体的三种不同流量形式1z流体对于基准面的位置高度；取位重量流体流经该点时相对于基准面的位能。1 P “加1L 流体因具有压强p而可在管中上升的7A2Y 高度；单位垂置流体流经该点时相对、(90于基

5、准面的压能、匚 流体以速度V反抗重力向上自由喷射所能达到 2 的高度；单位重量流体流经该点时所具有的动 能.宗爲兵10Y 2g意义：反映了在重力作用下的理想不町压缩流体稳定流 动中，沿同 流线上，单位重量流体具有的位能能 和动能的相互转换和守恒关系.11伯努利方程成立的5条件：1 理想流体；2 稳定流动；3 不可压缩流体;4质量力只有重力；5质点沿一条特定流线运动。+ = C2g的養 8 体帜 Ifl 却A9IMW流速大的位置压强小.流速小的位置压强大小孔吹气13飞机升空的原理水从一个大容器经虹吸管流入Z| /m大气中，若出口截面上流速均丄榨I】一 匀分布，试求出口处的流速及儿A点处流体的压强

6、.设液面高 度保持不变.解：(D选定虹吸管的出口处为基准面.沿 流线的仁2点列出伯努利方程：因为液面高度保持不变，故W相对于V2来 说可以忽略不计，即vt = O;Pl = 02 = Pa或 U = J2g( - J = J2 x 981 x 7 = ll.7m/5(2)为了确定A点的压强，沿流线1点和A点列出伯努利方程：.2冇邑+吃勺+丛+么y 2g 人 y 2gv( 0在A点和2点处应用连续牲方程=fh J = Aj, j va Vj,因为出口管截而匕速度均匀分布, 故#2 =冬AZ|师-Lf j 1 1 十。 厂处咛 IY7 2g22g11 72= (-1)9810+1.01x10-一

7、x98IO2x9.81= 2.31x10讪席 (小于大气压)糸爲兵17二、伯努利方程的应用一毕托管用途：测量流场内某点流速的仪器 依据：沿流线的伯努利方程.原型：直角管两端开口，一端面向来流，另一端向上，管内液面高出水面乩A端形成一驻点（速度为0）,驻点处的压力称为总压力. B点在A点的上游，与A点位于同一水平流线，不 受侧管影响.Pa=XH + H）Pb =皿18应用伯努利方程于A、B两点：(z20 +血+仏=0+厶+ 0尸2g/2g因为：Pa （仏 + H）Pb = yHA.!；、式中p人一总压，Pa = XH十H)P厂静压，PB = /wo2吃了一动压，N/-!2g(由丁运动产生的压力)

8、例题:一毕托管安装在某烟道内,与毕托管连接的酒精压差计读数 为h=5mm,酒梢的相对密度为 d=0.8,若烟气温度400 r时其重 度为Yg=513N/mS求测点处烟气 的流逑.V0.8X1039.815A3X ().005=12.3m/233.5粘性流体的运动微分方程（实际流体运动的微分方程;NS方程）理想流体的伯努利 方程粘性流体的伯努 利方程基于牛顿第二 定律推导了理 想流体运动的 微分方程一 欧拉方程和一at勿乔勿& I- P 17 1- P - - - X K Zdtd儿dtP:dtX. Y、Z：单位质童流体所受的质 量力在坐标轴方向上的三个分量。应用广泛但不能解决诸如二维 流动、三

9、维流动的问题。故还需要用粘性流体运动的微分方程理想流体运动的微分方程一欧拉方程实际流体的流动叫力JV/JIT - = = 生去生労勿az1 - p 1 - p IP _ - - X y Z增加一个粘性顶0 T、7；是作用在单位质量流体上 的粘性力在x、y、z轴上的投影。N/kg 下面来求三个坐标轴上粘性力的投影.宗烦底23牛顿内摩擦定律（又称牛顿粘性定律）:y流体流动时流体的内摩擦力（又称粘性力）匚一T = rA NA：流体层接触面的面积，mS内摩擦应力或粘性应力,N/m20（由速度梯度产生，作用流体接触血上，方向在X轴ho）沿X轴方向的粘性力由在在三个方向上的 速度梯度产生。24X轴方向上的粘性力（由Px产生）:AC面上的粘性应力：。一 = 亠.d2 .、EG面上的粘性应力：+詣厶）Vv相对的两表面上产生的粘性应力方向相反，与仏力向相反7粘性力为：一Z二宗爲底25所以，在AC和EG两个面上产生的粘性应力之和为川pcLxdyd匕式.得单位质量流体Mil方向匕的粘性力Z勢+牛p ox ay oz用相同的方法可以得到，单位质量流体在理H和渤方向上的粘性力27不可压缩实际流体的运动微分方程，亦称纳维一斯托克斯方程,NS方程:1 c)p匕 少匕