【最新】高中数学-知识梳理_平面向量的数量积及应用_提高

1、平面向量的数量积及应用编稿：李霞 审稿：孙永钊【考纲要求】1理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.【知识网络】平面向量数量积及应用平面向量的数量积平面向量的应用平面向量的坐标运算【考点梳理】 考点一、向量的数量积1. 定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为q，我们把数量叫做和的数量积（或内积），记作，即.规定：零向量与任一向量的数量积为0.要点诠

2、释：（1）两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与余弦值决定 .（2）在运用数量积公式解题时，一定注意两向量夹角范围0q180.此外，由于向量具有方向性，一定要找准 q是哪个角.2. 平面向量的数量积的几何意义我们规定叫做向量在方向上的投影，当q为锐角时，为正值；当q为钝角时，为负值；当q=0时，；当q=90时，；当q=180时，.的几何意义：数量积等于的长度与 在方向上的投影的乘积.要点诠释：在方向上的投影是一个数量，它可正、可负，也可以等于0.3. 性质：（1） (2) 当与同向时，；当与反向时，. 特别地(3) (4) 4. 运算律设已知向量、和实数，则向量的数量

3、积满足下列运算律：(1) (交换律)(2) (3) 要点诠释：当时，由不一定能推出，这是因为对任何一个与垂直的向量，都有；当时，也不一定能推出，因为由，得，即与垂直.也就是向量的数量积运算不满足消去律.对于实数，有，但对于向量来说，不一定相等，这是因为表示一个与共线的向量，而表示一个与共线的向量，而与不一定共线，所以与不一定相等.5. 向量的数量积的坐标运算已知两个非零向量，那么；若，则；若，则，这就是平面内两点间的距离公式；若，则6. 重要不等式若，则 考点二、向量的应用（1）向量在几何中的应用 证明线段平行，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件；（）证明垂直问题，常用垂直的充要条件

4、；求夹角问题；利用夹角公式：.平面向量的夹角求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模或.（2）向量在物理中的应用向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用；向量在速度的分解与合成中的应用.【典型例题】类型一、数量积的概念【高清课堂：平面向量的数量积及应用401196 例4】例1已知向量的夹角为（ ）A30 B60 C120D150【解析】，是共线向量，向量和所成角为，又与共线且方向相反，向量和所成角为，从而选项C正确.【总结升华】仍旧是一个向量，本题的关键之处就是注意到，是共线向量，从而将和的夹角问题进行有效的转化.举一反三：【变式1】已知向量与的夹角为120，则_【答案】7【解析】 ,.【

5、变式2】已知, , 夹角为，则向量与向量的夹角的余弦值为_.【答案】【解析】由向量的数量积的定义，得，, 设与的夹角为，则即向量与的夹角的余弦值为.【变式3】两个非零向量、互相垂直，给出下列各式：；. 其中正确的式子有（ ）A2个 B3个 C4个 D5个【答案】B【解析】显然正确；由向量运算的三角形法则知与长度相等，但方向不同，所以错误；正确；由向量数量积的运算律可知正确；只有在时，与才互相垂直，错误，故正确，故选B.例2. 若、均为单位向量，且，则的最大值为（ ）A B1 C D2【答案】B【解析】方法一：，又、均为单位向量，且，的最大值为1.方法二：设=（1，0），=（0，1），=（x，y

6、），则x2+y2=1， =（1x，y）， =（x，1y），则=(1x)(x)+(y)(1y)=x2+y2xy=1xy0，即x+y1.又 =（1x，1y）， 思路一：如图:=（x，y）对应点在上，而式的几何意义为P点到上点的距离，其最大值为1.思路二： ，由x+y1，最大值为1.【总结升华】考查平面向量数量积和模的问题，特别注意有关模的问题一般采用平方解决，考查我们运用知识分析解决问题的能力. 注意方法一中的整体代换的思想，注意方法二中转换为代数运算求最值问题.举一反三：【变式1】若、均为单位向量，且，的最大值为_【答案】【解析】因为、均为单位向量，且，设=（1，0），=（0，1），,故的最大值

7、为.【变式2】设向量，满足，则的最大值等于（ ）A2 B C D1【答案】A【解析】由得，设，则AOB=120，ACB=60，O、A、C、B四点共圆。的最大值应为圆的直径2R，在AOB中，OA=OB=1，AOB=120，所以，由正弦定理得. 故选A.【变式3】已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为_;的最大值为_.【答案】1；1【解析】根据平面向量的点乘公式,可知,因此;,而就是向量在边上的射影,要想让最大,即让射影最大,此时点与点重合,射影为,所以长度为1 .例3.（2015 长沙校级二模）在ABC和AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，若，则与的夹角的余

8、弦值等于【答案】【解析】由题意可得=+2=33+12=36，=1由 可得 +=+=1+（1）+=（）=2，故有 =4再由=16cos，可得 6cos=4，cos=，【总结升华】考查平面向量数量积角度和模的问题，特别注意夹角的方向. 画出示意图，有助于分析解决问题.举一反三：【变式1】.（2015 上海模拟）已知向量，的夹角为，|=1，且对任意实数x，不等式|x+2|+|恒成立，则|的取值范围是（）A，+）B（，+）C1，+）D（1，+）【答案】C【解析】由题意可得x2+4x+4+2+ 恒成立，化简可得x2+2|x+（|3|1）0恒成立，=44（|3|1）0化简可得（2|+1）（|1）0，求得|

9、1，故选：C【高清课堂：平面向量的数量积及应用401196 例1】【变式2】已知、都是非零向量，且+3与7-5垂直，- 4与7-2垂直，求与的夹角。【答案】【变式3】已知与均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题 其中的真命题是（ ）Ap1，p4 Bp1，p3 Cp2，p3 Dp2，p4【答案】A【解析】，且，若，则,，即，；若，同理求得，故p1，p4正确，应选A.类型二、数量积的综合应用例4.设向量，.（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值；（3）若，求证：.【解析】（1）与垂直，即，.（2）， ，最大值为32，的最大值为.（3）证明：由，得，即，故.【总结升华】平面向量有几何和代数两种形式

10、，并通过平面直角坐标系将它们联系起来，所以可以说，向量实际上是解析几何的内容，它把数形很好地结合在一起，这正是数学学习中的一个重要思想方法，因此在解决数学问题时被广泛应用.高考中，除了对平面向量本身的概念、运算加以考察外，更重要的是他与其他知识的联系，即用向量来解决代数、几何等综合问题，从而考察学生综合解决问题的能力.举一反三：【变式1】已知向量（）若，求；（）求的最大值【解析】（）若，则，由此得，所以；（）由得当时，取得最大值，即当时，最大值为.【变式2】已知A、B、C为ABC的三个内角，=（sinB+cosB，cosC），=（sinC，sinBcosB）.（1）若，求角A；（2）若，求tan2A.【解析】（1）由已知，得，化简 ，即sinA+cosA=0，tanA=1.而A（0，