三元一次方程组典型例题讲解

1、龙文教育学科辅导讲义授课对象郭家铭授课教师琴梅授课时间授课题目三元一次方程组典型例题课型新课使用教具教案、白板、笔教学目标会解三元一次方程组教学重点和难点能熟练的选择适当的方法解三元一次方程组参考教材教材教学流程及授课详案一、三元一次方程组之特殊型时间分配及备注x y z 12 例 1：解方程组 x 2y 5z 22 x 4y 分析：方程是关于 x 的表达式，通过 代入消元法 可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消 x ”的目标。解法 1 ：代入法，消 x.5y z 12 把分别代入、得6y 5z 22 y 2, 解得z 2.x 8,把 y=2 代入，得 x=8. y 2, 是原方程组的解

2、.z 2.根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：类型一：有表达式，用代入法型 .针对上例进而分析， 方程组中的方程里缺 z,因此利用、消 z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。解法 2 ：消 z. 5 得 5x+5y+5z=60 - 得 4x+3y=38x 4y由、得4x 3y38x 解得8,2.把 x=8,y=2 代入得z=2.x 8,y 2, 是原方程组的解 .z 2.根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型二：缺某元，消某元型 .2x y z 15 例 2：解方程组 x 2y z 16 x y 2z 17 分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等； 每一个未知数的

3、系 数之和也相等，即系数和相等。 具备这种特征的方程组， 我们给它定义为 “轮 换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。解：由 + + 得 4x+4y+4z=48 ，即 x+y+z=12 . - 得 x=3 ， - 得 y=4 ， - 得 z=5 ，x 3, y 4, 是原方程组的解 .z 5.xy20,典型例题举例：解方程组yz19,xz21.解：由 + + 得 2(x+y+z)=60 ， 即 x+y+z=30 . - 得 z=10 ，- 得 y=11 ，- 得 x=9 ，x 9, y 11, 是原方程组的解 .z 10.根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：类型三

4、：轮换方程组，求和作差型例 3 ：解方程组x: y: z 1: 2:72x y 3z 21分析 1 ：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，学生看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由 x:y=1:2 得y=2x ； 由 x:z=1:7 得 z=7x. 从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形 y 2x, 式，即 z 7x, ，根据方程组的特点， 学生可选用 “有表达式， 2x y 3z 21. 用代入法”求解。解法 1 ：由得 y=2x ，z=7x ，并代入，得 x=1. 把 x=1 ，代入 y=2x ，得 y=2 ； 把 x=1 ，代入 z=7x ，得 z=7.x

5、 1, y 2, 是原方程组的解 .z 7.分析 2 ：由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数 k，因此由方程 x:y:z=1 ：2：7 ，可设为 x=k,y=2k,z=7k. 从而也达到了消元的目的，并把 三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。解法 2 ：由设 x=k,y=2k,z=7k ，并代入，得 k=1.把 k=1 ，代入 x=k ，得 x=1 ；把 k=1 ，代入 y=2k ，得 y=2 ；把 k=1 ，代入 z=7k ，得 z=7.x 1, y 2, 是原方程组的解 .z 7.x y z 111 典型例题举例：解方程组 y : x 3:2y: z 5:4分析 1 ：观察此

6、方程组的特点是方程、 中未知项间存在着比例关系，2 由例 3 的解题经验，学生易选择将比例式化成关系式求解，即由得 x = 23 y； 由得 z= 4 y .从而利用代入法求解。5解法 1：略 .分析 2 ：受例 3 解法 2 的启发，有的学生想使用设参数的方法求解，但 如何将、转化为 x:y:z 的形式呢？通过观察发现、中都有 y 项，所 以把它作为桥梁，先确定未知项 y 比值的最小公倍数为 15 ，由5 得 y:x=15:10 ，由3 得 y:z=15:12, 于是得到 x:y:z=10:15:12 。解法 2 ：由、得 x:y:z=10:15:12.设 x=10k,y=15k,z=12k

7、 ，并代入，得 k=3.把 k=3 ，代入 x=10k ，得 x=30 ；把 k=3 ，代入 y=15k ，得 y=45 ；把 k=3 ，代入 z=12k ，得 z=36.x 30, y 45, 是原方程组的解 .z 36.根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型四：遇比例式找关系式，遇比设元型 . 二、三元一次方程组之一般型3x y z 4, 例 4 ：解方程组 x y z 6, 2x 3y z 12. 分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确 立消元目标消哪个未知项； 二是在消元的过程中三个方程式如何正确的 使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱” ，为此归

8、纳出： （一） 消元的选择 1.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元； 2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。（二） 方程式的选择采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。3x y z 4 解： x y z 6 2x 3y z 12 （明确消 z，并在方程组中体现出来画线）+ 得 5x+2y=16 ， （体现第一次使用在后做记号 ）+ 得 3x+4y=18 ， （ 体现第二次使用在后做不同记号 ）由、得5x 2y 16,3x 4y 18.2,3.解得 把 x=2 ， y=3 代人，得 z=1.x 2, y 3, 是原方程组的解 .z 1.2xs4u

9、ry3z9,典型例题举例：解方程组 3x2suyr5z11,5x6y7z13.分析：通过比较发现未知项 y 的系数的最小公倍数最小， 因此确定消 y 以方程作为桥梁使用，达到消元求解的目的。解：2 得 6x 4y+10z=22 ， 2x +4y+ 3z=9 ， + 得 8x+13z=31 . 3 得 9x 6y+15z=33 ，5x 6y+7z =13 ， 得 4x+8z =20 .x+2z=5 .8x13z 31,由、得x2z 5.x 1,解得z 3.1把 x=-1 ， z=3 代人 ，得 y 1.2x 1,1 y 1, 是原方程组的解 .2 z 3.三、三元一次方程组的相关变式题型x 2y

10、 z 2x y 3z 3x 2y 4z 1 例五、解方程组 9 10 3 1x 2y z 9（1） 2x y 3z 10（2） 解：原方程组可化为 3x 2y 4z 3（3） 由（1）+（3），得 4x 3z 6（4） 由（1）+（2） 2 ，得5x 7z 29（5） 4x 3z 6（4） 由（4）和（ 5）组成方程组，得 5x 7z 29（5） x3 解这个方程组，得 z 2 把x 3,z 2代入（ 1），得 3 2y 2 9 y 2 x3 y2 z 2 是原方程组的解xyz 例六、已知 2x 3y 4z 0，3x 4y 5z 0，求 x y z 的值。2x 3y 4z 0（1） 解：由题意

11、，得 3x 4y 5z 0（2） x 31z 解这个方程组，得 y 22zx y z31z 22z z8 2当 x 31z， y 22z 时， x y z31z 22z z52 132 所求代数式的值为 13y例 6 已知方程组 z a 的值。解：（2）（ 1）， （3）+（4），得 把z 3a代入（ 2）和（ 3），3a(1)5a(2)4a(3) 的解使代数式x 2y 3z 的值等于10，求得 z x2z 6a,z2a(4)3a2a3a ，把 x a,y2a,z3a代入 x2y 3z ，得3 3a10553 所求 a 的值为3axby2x乙两同学解方程组cx2y10，已知甲的正确解答是 yx

12、3了 c ，求出的解是y6.5，则求a,b,c 的值。y 2a,xaaa 2 2aa例 7 甲、24，y zx2解： 把 y 4代入原方程组，得2a 4b 22c 24 10 c 1x3由 y 6.5满足 axby 2，得 3a 6.5b2a 4b 2(1)a53a 6.5b 2(2)解得 b 2 所求a,b,c的值分别为 5, 2,12和（1）组成方程组，得a5b2c1在此需要说明的是，每一个三元一次方程组的求解方法都不是唯一的， 需要进一步的观察，但是学生只要掌握了最基本的解方程组思想和策略，就 可以以不变应万变，就可以很容易的学会三元一次方程组的解法。四、三元一次方程组的实际应用例一:某

13、车间有 60 人，生产甲乙丙三种零件， 每人每小时能生产甲 24 个， 或乙 20 个，或丙 16 个，现用零件甲 9 个，乙 15 个，丙 12 个，装配成某 机件，如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件恰好成套？共有多少套？ 解：设生产甲、乙、丙三种零件各有 x 人，y 人，z 人.根据题意得 x+y+z=6024x/9=20y/15=16z/12解得 x=12,y=24,z=242412/9=32答：安排生产甲、乙、丙三种零件各有 12 人， 24 人， 24 人，共有 32 套 .例二 : 甲、乙、丙三个数的和是 35 ，甲数的 2 倍比乙数大 5，乙数的 1/3 (三分之一)等于丙数的 1/2 (二分之一)，求这三个数。解 : 设甲是 x，