2013年全国高等学校招生统一考试文科数学试题(二)

1、y n 输出 n 开始 1a2n ， 1nn 32aa 20a 结束 （第 5 题） 2013 年全国高等学校招生统一考试文科数学试题（二） 2013 年普通高等学校统一考试数学试题（江苏卷） 参考公式：样本数据参考公式：样本数据，的方差的方差其中其中 , 21 xx n x ).( 1 1 2 n i i xx n s n i i x n x 1 1 棱锥的体积公式：棱锥的体积公式： .h, 3 1 为高是锥体的底面积其中sshv 棱柱的体积公式：棱柱的体积公式：.h,为高是柱体的底面积其中sshv 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共

2、计分，共计 7070 分。请把答案填写在答题卡相印位分。请把答案填写在答题卡相印位 置上。置上。 1函数的最小正周期为 ) 4 2sin(3 xy 2设（ 为虚数单位） ，则复数的模为 2 )2(iziz 3双曲线的两条渐近线的方程为 1 916 22 yx 4集合共有 个子集1 , 0 , 1 5右图是一个算法的流程图，则输出的的值是 n 6抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩（单位：环） ， 结果如下： 运动员第一次第二次第三次第四次第五次 甲 8791908993 乙 8990918892 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 7现在某类病毒记作，其中正整数， n

3、my xm （，）可以任意选取，则n7m9nnm， 都取到奇数的概率为 8如图，在三棱柱中，分别是abccba 111 fed， 的中点，设三棱锥的体积为，三棱 1 aaacab，adef 1 v 柱的体积为，则 abccba 1112 v 21:v v 9抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部和边 2 xy 1xd 界) 若点是区域内的任意一点，则的取值范围是 ),(yxpdyx2 a b c 1 a d e f 1 b 1 c 10设分别是的边上的点，ed，abcbcab，abad 2 1 bcbe 3 2 若（为实数） ，则的值为 acabde 21 21 ， 21

4、11已知是定义在上的奇函数。当时，则不等式)(xfr0 xxxxf4)( 2 的解集用区间表示为 xxf)( 12在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点xoyc)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 为 ，右准线为 ，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到 的距flbbf 1 dfl 离为，若，则椭圆的离心率为 2 d 12 6dd c 13在平面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，xoy),(aaap x y 1 0 x 若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 ap，22a 14在正项等比数列中，则满足 n a 2 1 5 a3 76 aa 的

5、nn aaaaaa 2121 最大正整数的值为 n 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 6 小题，共计小题，共计 9090 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） 已知，)sin,(cos)sin,(cosba是是0 （1）若，求证：；2|baba （2）设，若，求的值) 1 , 0(ccba, 16 （本小题满分 14 分） 如图，在三棱锥中，平面平面，abcs sabsbc ，过作，垂足为，bcab abas asbaf f 点分别是棱的中点求证：g

6、e是scsa是 （1）平面平面；/efgabc （2）sabc 17 （本小题满分 14 分） 如图，在平面直角坐标系中，点，直线xoy)3 , 0(a42:xyl 设圆的半径为 ，圆心在 上c1l a b c s g f e x y a l o （1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，c1 xyac 求切线的方程； （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐cmmoma2c 标的取值范围a 18 （本小题满分 16 分） 如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行aca 到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到现有甲、乙cabbc 两 位游客从处下山，甲沿匀速步

7、行，速度为在甲出发后，乙aacmin/50mmin2 从 乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到假设缆车匀速直线运动的abbmin1c 速度为，山路长为，经测量，min/130macm1260 13 12 cosa 5 3 cosc （1）求索道的长；ab （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，c3 乙步行的速度应控制在什么范围内？ 19 （本小题满分 16 分） 设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和记， n aad)0(d n sn cn ns b n n 2 ，其中为实数 * nnc （1）若，且成等比数列，证明：（） ；0

8、c 421 bbb是是 knk sns 2 * ,nnk （2）若是等差数列，证明： n b0c 20 （本小题满分 16 分） 设函数，其中为实数axxxf ln)(axexg x )(a （1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范)(xf), 1 ( )(xg), 1 ( a 围； （2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论)(xg), 1()(xf 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 文科数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。 考生注意： 1.

9、 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上 c b a d m n 粘帖的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2. 第卷每小题选出答案后，用 2b 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第卷用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书 写作答，若在试题卷上答题，答案无效。 4. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。 第卷 一.选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1. 复数 z=i（-2-i）

10、（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在 a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限 2.若集合 a=xr|ax2+ax+1其中只有一个元素，则 a= a.4 b.2 c.0 d.0 或 4 3.若 sin =，则 cosa= 2 3 3 a.- b.- c. d. 2 3 1 3 1 3 2 3 4.集合 a=2,3,b=1,2,3,从 a,b 中各取任意一个数，则这两数之和等于 4 的概率 是 a b.c. d. 2 3 1 2 1 3 1 6 5.总体编号为 01，02，19，20 的 20 个个体组成。利用下面的随机数表选取 5 个个 体，选取方法是从随机数表第 1 行的第

11、 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字， 则选出来的第 5 个个体的编号为 a.08 b.07 c.02 d.01 6.下列选项中，使不等式 x x2成立的 x 的取值范围是 1 a.（，-1）b. （-1，0） c.0，1） d.（1，+） 7.阅读如下程序框图，如果输出 i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是 a.s8 b. s9 c. s10 d. s11 8.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为 a.200+9 b. 200+18 c. 140+9 d. 140+18 9.已知点 a（2，0） ，抛物线 c：x2=4y 的焦点为 f，射线 fa 与抛物线 c 相

12、交于点 m，与其 准线相交于点 n，则|fm|：|mn|= a.2: b.1:2 c. 1: d. 1:3 55 10.如图。已知 l1l2，圆心在 l1上、半径为 1m 的圆 o 在 t=0 时与 l2相切于点 a，圆 o 沿 l1以 1m/s 的速度匀 速向上移动，圆被直线 l2所截上方圆弧长记为 x， 令 y=cosx，则 y 与时间 t（0 x1，单位：s） 的函数 y=f（t）的图像大致为 第第卷卷 注意事项：注意事项： 第第卷共卷共 2 2 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试卷上作答，答案无效。页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试卷上作答，答案无效。 二填空题

13、：本大题共二填空题：本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分。分。 11.若曲线 y=x+1（r）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则 = 。 12.某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第一天植 2 棵，以后每天植树的棵树是前 一天的 2 倍，则需要的最少天数 n（nn*）等于 。 13.设 f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数 x 都有|f（x）|a，则实数 a 的取值 3 范围是 。 14.若圆 c 经过坐标原点和点（4，0） ，且与直线 y=1 相切，则圆 c 的方程是 。 15.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上，且

14、ab/cd,则直线 ef 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 。 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7575 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分 12 分） 正项数列an满足-（2n-1）an-2n=0. 2 （1）求数列an的通项公式 an； （2）令 bn=，求数列bn的前 n 项和 tn。 1 （ + 1） 17.（本小题满分 12 分） 在abc 中，角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，已知 sinasinb+sinbsinc+cos2=1. （1） 求证：a，b，c

15、成等差数列； （2） 若 c=，求 的值。 2 3 18 （本小题满分 12 分） 小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋。游戏 规则为以 o 为起点，再从 a1,a2,a3,a4,a5,a6（如图）这 6 个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两 个向量的数量积为 x，若 x0 就去打球，若 x=0 就去唱 歌，若 xb0)的离心率，a+b=3. 2 2 + 2 2 = 3 2 (1) 球椭圆 c 的方程； (2) 如图，a,b,d 是椭圆 c 的顶点，p 是椭圆 c 上除顶点外的任意点，直线 dp 交 x 轴于点 n 直线 ad 交 bp 于点 m，设 bp 的斜率为 k，mn

16、的斜率为 m，证明 2m-k 为定值。 21 （本小题满分 14 分） 设函数常数且 a（0，1）. ()= 1 , 0 1 1 （1 ）, 2, 则关于实数x的不等式的| 2xaxb 40m x 40m 解集是 . b. (几何证明选做题) 如图, ab与cd相交于点e, 过e作bc的平行线 与ad的延长线相交于点p. 已知, pd = 2da = 2, 则pe = . ac c. (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线 (t为参数)的焦点坐标 2 2 xt yt 是 . 三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共 6 小题，共 75 分） 16. (本小题满分 12 分)

17、 已知向量, 设函数. 1 (cos ,),( 3sin ,cos2 ), 2 xxx xabr( )f x a b () 求f (x)的最小正周期. () 求f (x) 在上的最大值和最小值. 0, 2 17. (本小题满分 12 分) 设sn表示数列的前n项和. n a () 若为等差数列, 推导sn的计算公式; n a () 若, 且对所有正整数n, 有. 判断是否为等比数列. 1 1,0aq 1 1 n n q s q n a 18. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱柱abcda1b1c1d1的底面abcd是正方形, o为底面中心, a1o平面abcd, . 1 2abaa o

18、d1 b1 c1 d a c b a1 () 证明: a1bd / 平面cd1b1; () 求三棱柱abda1b1d1的体积. 19. (本小题满分 12 分) 有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛, 由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次, 根 据年龄将大众评委分为 5 组, 各组的人数如下: 组别 abcde 人数 5010015015050 () 为了调查评委对 7 位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从b组中抽取了 6 人. 请将其余各组抽取的人数填入下表. 组别 abcde 人数 5010015015050 d b c e p a 抽取人数 6 () 在()中, 若a, b两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手, 现从这两组被抽 到的评委中分别任选 1 人, 求这 2 人都支持 1 号歌手的概率. 20. (本小题满分 13 分) 已知动点m(